高中数学独立性检验的基本思想及其初步应用教学案新人教A版选修22.docx

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高中数学独立性检验的基本思想及其初步应用教学案新人教A版选修22

2019-2020年高中数学独立性检验的基本思想及其初步应用教学案新人教A版选修2-2

教学目标

（1）通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求列联表）的基本思想、方法及初步应用；

（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法。

教学重点：

独立性检验的基本方法

教学难点：

基本思想的领会及方法应用

教学过程

一、问题情境

5月31日是世界无烟日。

有关医学研究表明，许多疾病，例如：

心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。

这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？

我们看一下问题：

某医疗机构为了了解肺癌与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了9965个人，其中吸烟者2148人，不吸烟者7817人。

调查结果是：

吸烟的2148人中有49人患肺癌，2099人未患肺癌；不吸烟的7817人中有42人患肺癌，7775人未患肺癌。

问题：

根据这些数据能否断定“患肺癌与吸烟有关”？

二、学生活动

（1）引导学生将上述数据用下表

（一）来表示：

（即列联表）

不患肺癌

患肺癌

总计

不吸烟

7775

42

7817

吸烟

2099

49

2148

总计

9874

91

9965

（2）估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异：

在不吸烟者中，有

≈0.54％的人患肺癌；

在吸烟的人中，有

≈2.28％的人患肺癌。

问题：

由上述结论能否得出患肺癌与吸烟有关？

把握有多大？

三、建构数学

1、从问题“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，借助样本数据的列联表，柱形图和条形图的展示，使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能会有关系。

但这种结论能否推广到总体呢？

要回答这个问题，就必须借助于统计理论来分析。

2、独立性检验：

（1）假设：

患肺癌与吸烟没有关系。

即：

“吸烟与患肺癌相互独立”。

用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则有P（AB）=P（A）P（B）

若将表中“观测值”用字母代替，则得下表

（二）：

患肺癌

未患肺癌

合计

吸烟

不吸烟

合计

学生活动：

让学生利用上述字母来表示对应概率，并化简整理。

思考交流：

越小，说明患肺癌与吸烟之间的关系越（强、弱）？

（2）构造随机变量

（其中）

由此若成立，即患肺癌与吸烟没有关系，则K2的值应该很小。

把表中的数据代入计算得K2的观测值k约为56.632，统计学中有明确的结论，在成立的情况下，随机事件P（K2≥6.635）≈0.01。

由此，我们有99%的把握认为不成立，即有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关系”。

上面这种利用随机变量K2来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。

说明：

估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异是用频率估计概率，利用K2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，观测数据取值越大，效果越好。

在实际应用中，当均不小于5，近似的效果才可接受。

（2）这里所说的“患肺癌与吸烟有关系”是一种统计关系，这种关系是指“抽烟的人患肺癌的可能性（风险）更大”，而不是说“抽烟的人一定患肺癌”。

（3）在假设成立的情况下，统计量K2应该很小，如果由观测数据计算得到K2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理（即统计量K2越大，“两个分类变量有关系”的可能性就越大）。

3、对于两个分类变量A和B，推断“A和B有关系”的方法和步骤为：

①利用三维柱形图和二维条形图；

②独立性检验的一般步骤：

第一步，提出假设：

两个分类变量A和B没有关系；

第二步，根据2×2列联表和公式计算K2统计量；

第三步，查对课本中临界值表，作出判断。

4、独立性检验与反证法：

反证法原理：

在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立；

独立性检验原理：

在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立。

四、数学运用

例1在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶.分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？

你所得的结论在什么范围内有效？

①第一步：

教师引导学生作出列联表，并分析列联表，引导学生得出“秃顶与患心脏病有关”的结论；

第二步：

教师演示三维柱形图和二维条形图，进一步向学生解释所得到的统计结果；

第三步：

由学生计算出的值；

第四步：

解释结果的含义.

②通过第2个问题，向学生强调“样本只能代表相应总体”，这里的数据来自于医院的住院病人，因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体，而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误，除非有其它的证据表明可以进行这种推广.

变式练习：

课本P97练习

【板书设计】：

【作业布置】：

课本P97习题3.2第1题

3.2.1独立性检验的基本思想及其初步应用

课前预习

阅读教材P91-P95，了解相关概念，如：

分类变量、列联表、独立性检验。

学习目标

（1）通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求列联表）的基本思想、方法及初步应用；

（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法。

学习重点：

独立性检验的基本方法

学习难点：

基本思想的领会

学习过程

一、情境引入

5月31日是世界无烟日。

有关医学研究表明，许多疾病，例如：

心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。

这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？

我们看一下问题：

某医疗机构为了了解肺癌与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了9965个人，其中吸烟者2148人，不吸烟者7817人。

调查结果是：

吸烟的2148人中有49人患肺癌，2099人未患肺癌；不吸烟的7817人中有42人患肺癌，7775人未患肺癌。

问题：

根据这些数据能否断定“患肺癌与吸烟有关”？

二、学生活动

【自主学习】

（1）将上述数据用下表

（一）来表示：

不患肺癌

患肺癌

总计

不吸烟

吸烟

总计

（2）估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异：

在不吸烟者中患肺癌的人约占多大比例？

；

在吸烟的人中患肺癌的人约占多大比例？

。

问题：

由上述结论能否得出患肺癌与吸烟有关？

把握有多大？

【合作探究】

1、观察、分析样本数据的列联表和柱形图、条形图，你能得出什么结论？

2、该结论能否推广到总体呢？

3、假设：

患肺癌与吸烟没有关系。

则两事件发生的概率有何关系？

不患肺癌

患肺癌

总计

不吸烟

a

b

a+b

吸烟

c

d

c+d

总计

a+c

b+d

a+b+c+d

试用上表

（二）中字母表示两概率及其关系，并化简该式。

你能得到何结论？

4、构造随机变量

（其中），结合3中结论，若成立，则K2应该很（大、小）

根据表

（一）中的数据，利用4中公式，计算出K2的观测值，该值说明什么？

（统计学中有明确的结论，在成立的情况下，P（K2≥6.635）≈0.01。

）

5、结合表

（二）和三维柱形图、二维条形图如何判断两个分类变量是否有关系？

利用独立性检验呢？

二者谁更精确？

【当堂检测】

在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶.分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？

学校：

二中学科：

数学编写人：

游恒涛审稿人:

马英济

3.2.2独立性检验的基本思想及其初步应用

教学目标

通过对典型案例的探究，进一步巩固独立性检验的基本思想、方法，并能运用K2进行独立性检验．

教学重点：

独立性检验的基本方法

教学难点：

基本思想的领会及方法应用

教学过程

一．学生活动

练习：

（1）某大学在研究性别与职称（分正教授、副教授）之间是否有关系，你认为应该收集哪些数据？

女教授人数，男教授人数，女副教授人数，男副教授人数。

（2）某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：

专业

性别

非统计专业

统计专业

男

13

10

女

7

20

为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到

K2

，∵K2，

所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为．（答案：

5%）

附：

临界值表（部分）：

（K2≥k0）

0.10

0.05

0.025

0.010

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

二．数学运用

例1为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：

喜欢数学课程

不喜欢数学课程

　　总　计

　　　男

　　　37

　　　85

　　　122

　　　女

　　　35

　　　143

　　　178

　　总　计

　　　72

　　　228

　　　300

由表中数据计算得到的观察值.在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间有关系？

为什么？

（学生自练，教师总结）

强调：

①使得成立的前提是假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”.如果这个前提不成立，上面的概率估计式就不一定正确；

②结论有95%的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”的含义；

③在熟练掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，可直接计算的值解决实际问题，而没有必要画相应的图形，但是图形的直观性也不可忽视.

例2、为研究不同的给药方式（口服或注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如表所示。

根据所选择的193个病人的数据，能否作出药的效果与给药方式有关的结论？

有效

无效

合计

口服

58

40

98

注射

64

31

95

合计

122

71

193

分析：

在口服的病人中，有的人有效；在注射的病人中，有的人有效。

从直观上来看，口服与注射的病人的用药效果的有效率有一定的差异，能否认为用药效果与用药方式一定有关呢？

下面用独立性检验的方法加以说明。

说明：

如果观测值K2≤2.706，那么就认为没有充分的证据显示“A与B有关系”，但也不能作出结论“成立”，即A与B没有关系

小结：

独立性检验的方法、原理、步骤

三、巩固练习：

某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表：

请问有多大把握认为“高中生学习状况与生理健康有关”？

不健康

健　康

总计

不优秀

41

626

667

优　秀

37

296

333

总　计

78

922

1000

3.2.2独立性检验的基本思想及其初步应用

学习目标

通过对典型案例的探究，进一步巩固独立性检验的基本思想、方法，并能运用K2进行独立性检验．

学习重点：

独立性检验的应用

学习过程

一．前置测评

（1）某大学在研究性别与职称（分正教授、副教授）之间是否有关系，你认为应该收集哪些数据？

。

（2）某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：

专业

性别

非统计专业

统计专业

男

13

10

女

7

20

为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到

K2

，∵K2≥3.841，

所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为。

附：

临界值表（部分）：

（K2≥k0）

0.10

0.05

0.025

0.010

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

二．典型例题

例1为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：

喜欢数学课程

不喜欢数学课程

　　总　计

　　　男

　　　37

　　　85

　　　122

　　　女

　　　35

　　　143

　　　178

　　总　计

　　　72

　　　228

　　　300

由表中数据计算得到的观察值k≈4.514.在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间有关系？

为什么？

例2、为研究不同的给药方式（口服或注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如表所示。

根据所选择的193个病人的数据，能否作出药的效果与给药方式有关的结论？

有效

无效

合计

口服

58

40

98

注射

64

31

95

合计

122

71

193

谈一谈：

结合例1和例2你如何理解独立性检验。

三、巩固练习：

某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表：

请问有多大把握认为“高中生学习状况与生理健康有关”？

不健康

健　康

总计

不优秀

41

626

667

优　秀

37

296

333

总　计

78

922

1000

2019-2020年高中数学球的体积和表面积教案新人教A版

教学目标

1．知识与技能

通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：

“分

割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

2．过程与方法

通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝πR3和面积公式Ｓ＝４πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。

3．情感与价值观

　　通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二.教学重点、难点

重点：

引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

难点：

推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三.学法和教学用具

1．学法：

学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值　　　　的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

2．教学用具：

投影仪

四.教学设计

（一）创设情景

教师提出问题：

球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？

引导学生进行思考。

教师设疑：

球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？

激发学生推导球的体积和面积公式。

（二）探究新知

．球的体积：

如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。

步骤：

第一步：

分割

　如图：

把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为，底面是“小圆片”的底面。

如图：

得

第二步：

求和

第三步：

化为准确的和

　　当n→∞时，→0（同学们讨论得出）

所以

得到定理：

半径是Ｒ的球的体积

练习：

一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径（钢的密度是7.9g/cm3）

．球的表面积：

球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。

思考：

推导过程是以什么量作为等量变换的？

半径为R的球的表面积为Ｓ＝４πR2

练习：

长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。

（答案50元）

（三）典例分析

课本P47例4和P29例5

（四）巩固深化、反馈矫正

正方形的内切球和外接球的体积的比为，表面积比为。

（答案：

；　3：

1）

在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积。

（答案：

2500πcm2）

分析：

可画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径

（五）课堂小结

本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。

（六）评价设计

作业P30练习1、3，B

（1）