通用版高考数学一轮复习11集合学案理.docx
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通用版高考数学一轮复习11集合学案理
第一章集合与常用逻辑用语
第一节 集合
[考纲要求]
1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系.
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
4.在具体情境中,了解全集与空集的含义.
5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及集合运算.
突破点一 集合的概念与集合间的基本关系
1.集合的有关概念
(1)集合元素的特性:
确定性、互异性、无序性.
(2)集合与元素的关系:
若a属于集合A,记作a∈A;若b不属于集合A,记作b∉A.
(3)集合的表示方法:
列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
记法
集合间的基本关系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A
A
B或B
A
相等
集合A中的每一个元素都是集合B中的元素,集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素
A⊆B且B⊆A⇔A=B
空集
空集是任何集合的子集
∅⊆A
空集是任何非空集合的真子集
∅
B且B≠∅
一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
(1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( )
(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )
(3)∅∈{0}.( )
答案:
(1)×
(2)× (3)×
二、填空题
1.已知集合P={-2,-1,0,1},集合Q={y|y=|x|,x∈P},则Q=________.
解析:
将x=-2,-1,0,1分别代入y=|x|中,得到y=2,1,0,故Q={2,1,0}.
答案:
{2,1,0}
2.已知非空集合A满足:
①A⊆{1,2,3,4};②若x∈A,则5-x∈A.则满足上述要求的集合A的个数为________.
解析:
由题意,知满足题中要求的集合A可以是{1,4},{2,3},{1,2,3,4},共3个.
答案:
3
3.设集合M={1,x,y},N={x,x2,xy},且M=N,则x2019+y2020=________.
解析:
因为M=N,所以或由集合中元素的互异性,可知x≠1,解得所以x2019+y2020=-1.
答案:
-1
4.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的值是________.
解析:
因为集合A有且只有2个子集,所以A仅有一个元素,即方程ax2+2x+a=0(a∈R)仅有一个根.①当a=0时,A={0}符合题意;②当a≠0时,要满足题意,需有Δ=4-4a2=0,即a=±1.综上所述,a=0或a=±1.
答案:
0或±1
1.(2019·厦门一中模拟)设集合M={x|x=2m+1,m∈Z},P={y|y=2m,m∈Z},若x0∈M,y0∈P,a=x0+y0,b=x0y0,则( )
A.a∈M,b∈P B.a∈P,b∈M
C.a∈M,b∈MD.a∈P,b∈P
解析:
选A 设x0=2n+1,y0=2k,n,k∈Z,则x0+y0=2n+1+2k=2(n+k)+1∈M,x0y0=2k(2n+1)=2(2nk+k)∈P,即a∈M,b∈P,故选A.
2.(2019·广州模拟)已知集合{x|x2+ax=0}={0,1},则实数a的值为( )
A.-1B.0
C.1D.2
解析:
选A 依题意知a≠0,则{0,-a}={0,1},所以a=-1.故选A.
3.(2019·湖南长郡中学选拔考试)已知集合A={0},B={-1,0,1},若A⊆C⊆B,则符合条件的集合C的个数为( )
A.1B.2
C.4D.8
解析:
选C 由题意得,含有元素0且是集合B的子集的集合有{0},{0,-1},{0,1},{0,-1,1},即符合条件的集合C共有4个.
1.与集合概念有关问题的求解策略
(1)确定构成集合的元素是什么,即确定性.
(2)看这些元素的限制条件是什么,即元素的特征性质.
(3)根据元素的特征性质求参数的值或范围,或确定集合中元素的个数,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
2.判断集合间关系的常用方法
列举法
根据题中限定条件把集合元素表示出来,然后比较集合元素的异同,从而找出集合之间的关系
结构法
从元素的结构特点入手,结合通分、化简、变形等技巧,从元素结构上找差异进行判断
数轴法
在同一个数轴上表示出两个集合(集合为数集),比较端点之间的大小关系,从而确定集合与集合之间的关系
3.集合的子集、真子集的个数
含有n(n∈N*)个元素的集合有2n个子集,有2n-1个非空子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.
1.设集合A={0,1,2,3},B={x|-x∈A,1-x∉A},则集合B中元素的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
解析:
选A 若x∈B,则-x∈A,故x只可能是0,-1,-2,-3,当0∈B时,1-0=1∈A;当-1∈B时,1-(-1)=2∈A;当-2∈B时,1-(-2)=3∈A;当-3∈B时,1-(-3)=4∉A,所以B={-3},故集合B中元素的个数为1.
2.(2019·贵阳高三检测)设集合P={x|x<1},Q={x|x2<1},则( )
A.P⊆QB.Q⊆P
C.P⊆∁RQD.Q⊆∁RP
解析:
选B 依题意得Q={x|-1 3.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为________. 解析: ∵B⊆A,∴①若B=∅,则2m-1 ②若B≠∅,则 解得2≤m≤3. 由①②可得,符合题意的实数m的取值范围为(-∞,3]. 答案: (-∞,3] 突破点二 集合的基本运算 1.集合的三种基本运算 符号表示 图形表示 符号语言 集合的并集 A∪B A∪B={x|x∈A,或x∈B} 集合的交集 A∩B A∩B={x|x∈A,且x∈B} 集合的补集 若全集为U,则集合A的补集为∁UA ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 2.集合基本运算的常见性质 (1)A∩A=A,A∩∅=∅. (2)A∪A=A,A∪∅=A. (3)A∩∁UA=∅,A∪∁UA=U,∁U(∁UA)=A. (4)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)=∅. 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( ) (2)若集合A=,则∁RA=.( ) (3)设集合U={x|-3 答案: (1)√ (2)× (3)√ 二、填空题 1.(2018·江苏高考)已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B=____________. 答案: {1,8} 2.已知集合A={x|-2≤x<3},B={x|x<-1},则A∩(∁RB)=____________. 解析: 因为B={x|x<-1},则∁RB={x|x≥-1},所以A∩(∁RB)={x|-2≤x<3}∩{x|x≥-1}={x|-1≤x<3}. 答案: {x|-1≤x<3} 3.(2019·合肥模拟)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且∁U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩(∁UB)=________. 解析: 由题意,知A∪B={1,2,3}.又B={1,2},∴∁UB={3,4},∴A∩(∁UB)={3}. 答案: {3} 4.(2019·淮南二中调研)已知全集U=R,集合A={x|x<3或x≥7},B={x|x 解析: 因为A={x|x<3或x≥7},所以∁UA={x|3≤x<7},又(∁UA)∩B≠∅,则a>3. 答案: (3,+∞) 1.(2019·衡水模拟)已知集合A={x|-x2+4x≥0},B=,C={x|x=2n,n∈N},则(A∪B)∩C=( ) A.{2,4} B.{0,2} C.{0,2,4}D.{0,4} 解析: 选C 集合A={x|0≤x≤4},B={x|-4 2.(2019·太原阶段性测评)设集合A={-1,0,1,2},B={x|y=},则图中阴影部分所表示的集合为( ) A.{1}B.{0} C.{-1,0}D.{-1,0,1} 解析: 选B 由题意得图中阴影部分表示的集合为A∩(∁RB).∵B={x|y=}={x|x2-1≥0}={x|x≥1或x≤-1},∴∁RB={x|-1 3.设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P*Q={z|z=ab,a∈P,b∈Q},若P={1,2},Q={-1,0,1},则集合P*Q中元素的个数是( ) A.2B.3 C.4D.5 解析: 选B 因为a∈P,b∈Q,所以a的取值只能为1,2;b的取值只能为-1,0,1.z=ab的不同运算结果如下表所示: b a -1 0 1 1 1 1 1 2 1 2 由上表可知P*Q=,显然该集合中共有3个不同的元素. 1.集合基本运算的求解策略 求解思路 一般是先化简集合,再由交、并、补的定义求解 求解原则 一般是先算括号里面的,然后再按运算顺序求解 求解思想 注重数形结合思想的运用,利用好数轴、Venn图等 2.解决集合新定义问题的策略 耐心阅读,分析含义,准确提取信息是解决这类问题的前提,剥去新定义、新法则、新运算的外表,利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合,是解决这类问题的突破口. 1.(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( ) A.{0} B.{1} C.{1,2}D.{0,1,2} 解析: 选C ∵A={x|x-1≥0}={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}. 2.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA=( ) A.{x|-1 C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2} 解析: 选B ∵x2-x-2>0,∴(x-2)(x+1)>0,∴x>2或x<-1,即A={x|x>2或x<-1}.则∁RA={x|-1≤x≤2}.故选B. 3.已知集合A={x|x2-3x-10<0},B={x|y=ln(x-2)},则A∩(∁RB)=( ) A.(2,5) B.[2,5) C.(-2,2]D.(-2,2) 解析: 选C 解一元二次不等式x2-3x-10<0,得-2 4.已知集合A={x∈N|x2-2x-3≤0},B={1,3},定义集合A,B之间的运算“*”: A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},则A*B中的所有元素之和为( ) A.15B.16 C.20D.21 解析: 选D 由x2-2x-3≤0,得(x+1)(x-3)≤0,又x∈N,故集合A={0,1,2,3}.∵A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},∴A*B中的元素有0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去),2+3=5,3+1=4(舍去),3+3=6,∴A*B={1,2,3,4,5,6},∴A*B中的所有元素之和为21. [课时跟踪检测] 1.已知集合M={x|x2+x-2=0},N={0,1},则M∪N=( ) A.{-2,0,1} B.{1} C.{0}D.∅ 解析: 选A 集合M={x|x2+x-2=0}={x|x=-2或x=1}={-2,1},N={0,1}, 则M∪N={-2,0,1}.故选A. 2.(2018·浙江高考)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁UA=( ) A.∅B.{1,3} C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5} 解析: 选C ∵U={1,2,3,4,5},A={1,3}, ∴∁UA={2,4,5}. 3.(2019·衡水模拟)已知集合A={x|y=},B={y|y=x2+1},则A∩B=( ) A.[1,+∞)B.[2,+∞) C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.[0,+∞) 解析: 选B 由于集合A={x|y=}表示的是函数y=的定义域,所以由x2-2x≥0可知集合A={x|x≤0或x≥2}.集合B={y|y=x2+1}表示的是函数y=x2+1的值域,因此B={y|y≥1}.∴A∩B=[2,+∞).故选B. 4.(2019·河北五个一名校联考)若集合A={x|3+2x-x2>0},集合B={x|2x<2},则A∩B等于( ) A.(1,3)B.(-∞,-1) C.(-1,1)D.(-3,1) 解析: 选C 依题意,可求得A=(-1,3),B=(-∞,1), ∴A∩B=(-1,1). 5.(2019·浙江五校联考)设全集U=R,集合A={x|x≥3},B={x|0≤x<5},则(∁UA)∩B=( ) A.{x|0 C.{x|0 解析: 选D 由题意得∁UA={x|x<3},所以(∁UA)∩B={x|0≤x<3},故选D. 6.(2019·长沙模拟)已知集合A={1,2,3},B={x|x2-3x+a=0,a∈A},若A∩B≠∅,则a的值为( ) A.1B.2 C.3D.1或2 解析: 选B 当a=1时,x2-3x+1=0,无整数解,则A∩B=∅;当a=2时,B={1,2},A∩B={1,2}≠∅;当a=3时,B=∅,A∩B=∅.因此实数a=2. 7.(2019·资阳模拟)设全集U=R,集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|x-1≥0},则图中阴影部分所表示的集合为( ) A.{x|x≤-1或x≥3} B.{x|x<1或x≥3} C.{x|x≤1} D.{x|x≤-1} 解析: 选D 图中阴影部分表示集合∁U(A∪B),又A={x|-1 ∴A∪B={x|x>-1}, ∴∁U(A∪B)={x|x≤-1},故选D. 8.(2019·石家庄重点高中毕业班摸底)已知集合M=x+=1,N=,则M∩N=( ) A.∅B.{(3,0),(0,2)} C.[-2,2]D.[-3,3] 解析: 选D 因为集合M={x|-3≤x≤3},N=R,所以M∩N=[-3,3],故选D. 9.设集合A={x|y=lg(-x2+x+2)},B={x|x-a>0},若A⊆B,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-1)B.(-∞,-1] C.(-∞,-2)D.(-∞,-2] 解析: 选B 因为集合A={x|y=lg(-x2+x+2)}={x|-1 10.已知全集U={x|-1 A.{a|a<9}B.{a|a≤9} C.{a|a≥9}D.{a|1 解析:
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