第3讲P类NP类NPC类.docx

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第3讲P类NP类NPC类

上次内容：

（1）5个算法设计技术，分而治之，贪心技术，回溯，动态规划，局部搜索

（2）局部搜索设计近似算法，现在也有了。

（3）许多问题设计不出多项式时间求解算法，也有很多问题能找到多项式算法，大学学的算法都是多项式时间的。

（4）企图把问题分类，能否分为两类，一类可以设计多项式时间算法，另一类不能设计多项式时间算法。

前人建立了一种模型，说明问题很难，怎样说明。

实际也是多年研究的结果，科学就是解释现象。

例子：

实例：

布尔变量集合：

U={u1,u2,u3,u4,u5}，C={{

},{

},{

},{

}}

询问：

是否存在U真值指派，使（

）（

）（

）（

）=1

SAT问题一般描述：

实例：

布尔变量集合：

U={u1,u2,…,un}，项集合C={c1,c2,…,cm}，

ck={yk1,yk2,…,ykt},ykj{u1,u2,…,un,

}.

询问：

是否存在U的真值指派，使c1c2…cm=1，就是，

ck=yk1yk2…ykt

在人工智能的搜索求解中，推理规则均采用合取范式表示。

tsp问题：

实例：

城市集合：

C={c1,c2,…,cm},d（ci,cj）Z+，ci,cjC，正整数K.

询问：

是否存在城市排列c

（1）c

（2）…c（m），使

Hamilton回路问题：

实例：

无向简单图G=（V,E），|V|=n。

询问：

是否存在定点排列v

（1）,v

（2）,…,v（n），使（v（i）,v（i+1））E（G）,i=1,…,n-1，（v（n）,v

（1））E（G）。

上述两个问题均是询问解得存在性，判断是否具有满足条件的解。

书上的表：

表上是以前的计算机的计算时间。

问题的算法时间复杂性有很多，什么样的好呢？

每秒100万次的计算机。

T（n）

问题输入长度n

10

20

30

40

50

60

n

0.00001

0.00002

0.00003

0.00004

0.00005

0.00006

n2

0.0001

0.0004

0.0009

0.0016

0.0025

0.0036

n3

0.001

0.008

0.027

0.064

0.125

0.216

n5

10.1

320

1243

1.7p

25.2p

130p

2n

0.001

1

17.9p

12.7天

35.7年

366世纪

3n

0.059

58分

6.5年

3855世纪

表说明多项式时间复杂度与指数时间复杂度，区别大。

主要是增长速度区别。

§3.2确定型图灵机与P类

下面要说明什么是多项式时间可以求解的问题，实际要定义多项式时间复杂度，什么是时间复杂度，什么是空间复杂度。

自圆其说，说明自然界中的问题，解决问题。

英文名字：

DTM

（1）一个硬壳；

存储带：

一个方格存一个符号；

读写头在那里，可以左右移动，一次移动一个方格。

状态控制器可以读写带方格中的内容；

（2）硬壳中放入数据；

带上放的符号：

有限个，其中包括空白符号b，

={b}，是输入符号集合。

符号有限个，不能无限多个。

（3）有限个状态；状态个数不随问题实例长度变化而变化。

Q={q0,q1,q2,…,qy,qn}，q0：

起始状态，qy,qn都是停机状态，qy表示停机时回答yes，qn表示停机时回答no。

qf={qy,qn}

（4）状态转换规则。

什么是状态，三要素表示DTM状态：

（qk,读写头位置，读写头指向位置的带符号），现在不关心读写头位置，只关心读写头指定带方格的符号。

在造计算机时，有一个地址寄存器。

（Q-{qf}）Q：

这是一个映射。

（qi,si）（

）：

含义，当前状态qi，当前读写头所指方格中的符号si，则下一个状态qi’，将带方格中的符号修改为si’，读写头移动一个位置：

={L,R,S}

程序实际就是状态转换规则：

初始状态q0，按照程序转换状态，到结束时状态qf，回答yes或no。

我们编的程序就是告诉计算机怎样改变状态。

真正实现计算机，还有很多工作，怎样用语言的形式描述状态转换规则。

那些硬件，那些软件，电子计算机怎样实现。

例子：

利用turing机判断正整数的奇偶性。

（1）={0,1,b}；

（2）Q={q0,q1,q2,qy,qn}

（3）状态转换规则如下：

Q

0

1

b

q0

（q0,0,r）

（q0,1,r）

（q1,b,l）

q1

（q2,0,s）

（q2,1,s）

（q2,b,s）

q2

（qy,0,s）

（qn,1,s）

（q2,b,s）

以下是输入的带符号，输入数据，实例，

B

b

1

0

1

0

b

b

b

b

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

（1）q0,1,r---q0,0读写头位置1;

（2）Q0,0,r---q0,1读写头位置2

（3）q0,1,r---q0,0读写头位置3;

（4）q0,0,r---q0,b读写头位置4；

（5）q0,b,L---q1,0读写头位置3;

（6）q1,0,s---q2,0读写头位置3

直接讲就可以了。

定义3.1：

把问题的任意实例I输入给DTM，都能经过DTM有限步计算到达停机状态qf{qy,qn}，则称问题是确定turing机可计算的，否则称为确定turing机不可计算的。

有的问题不可计算。

不是所有问题都可以计算。

团问题：

实例：

无向图G=（V,E），正整数JZ+，

询问：

是否存在G的一个完全子图G’,|V（G’）|J？

输入数据格式认为是一种语言，规则当然是语言，带格式的数据，人们把它看作语言。

问题的描述：

<,L,>

描述问题的符号集合，

描述实例的形式化，输入数据的格式是什么，L，也称为一种语言。

针对任意一个输入IL，回答是什么？

（I）{yes,no}

***实例有了以后，就有答案了，解也就有了,回答yes的解可能多个。

每个实例对应一个确定的答案。

定义3.2：

问题<,L,>是用某个DTM程序可解的，任意实例IL，只要I写在带上，从q0状态开始执行，总可经过有限步计算停机，且在带上保留着该问题的解答（I）{yes,no}。

所用的状态数为计算的时间复杂度：

TM（I）。

计算中所占用的带方格数为空间复杂度SM（I）。

L（n）={I|IL,|I|=n}，实例集合，长度为n的语言集合。

问题规模怎么描述。

TM（n）=max{TM（I）|IL（n）}，问题输入长度为n时的时间复杂度。

SM（n）=max{SM（I）|IL（n）}，问题输入长度为n时的空间复杂度。

所有长度为n的实例中，计算时间最长的那个实例的时间复杂度定义为T（n）。

本质上，TM（n）也是几乎不可能精确得到的，我们往往只能得到TM（n）的一个上界。

定义3.4:

多项式时间可解的：

存在存在多项式函数P（n），使TM（n）P（n）。

则称问题是多项式时间可计算的。

P类问题------DTM多项式时间可计算的。

§3.3非确定图灵机与NP类

素数分解问题：

实例：

大整数n

询问：

是否存在两个素数p1,p2，使得：

p1*p2=n?

密码学上十分重要的问题。

验证容易，求解难。

货郎判定问题，团问题都是这样，Hamilton回路问题。

Sat问题：

实例:

U={u1,u2,u3,u4,u5},

C={（u1,u2,

）,（u2,

u5）,（

u3,

）,（u2,u3,u5）}

询问：

是否存在U的真值指派使C中的项均满足。

解释何谓满足，就是使项对应布尔表达式取值为1。

TSP问题：

实例：

城市集合：

C={c1,c2,…,cm},d（ci,cj）Z+，ci,cjC，正整数K.

询问：

是否存在城市排列c

（1）c

（2）…c（m），使

验证容易求解难。

三个问题都是这样。

Hamilton回路问题：

实例：

无向简单图G=（V,E），|V|=n。

询问：

是否存在定点排列v

（1）,v

（2）,…,v（n），使（v（i）,v（i+1））E（G）,i=1,…,n-1，（v（n）,v

（1））E（G）。

所以给出NTM模型如下：

（1）硬壳：

（2）机器的符号，={b}

（3）状态集合：

Q={q0,q1,q2,…,qf},qf{qy,qn}

（4）状态转换函数：

（qi,si）（qi’,si’,）

，哪一个状态，哪一个符号，怎么移动，NTM自己通过猜测部件获得选择。

把这件事讲清楚很难。

解释什么是NTM，

●实际就是验证机器，由猜测部件猜测最好的动作，然后状态控制器去执行动作。

求出最优解。

根据猜测部件求出的解回答结果。

●猜测部件猜测正确，则多项式时间内可以回答正确答案。

我们只需要编验证程序就可以。

●猜测部件猜测错了，就不能保证最后回答对了。

猜测部件应该能够保证，若是就能猜出来。

●相当于验证了。

猜测一个动作就相当于猜测一个解。

一步一步猜，所以一步一步改变状态。

●Sat问题若猜测部件给定一个解，能否编一个程序验证是否满足？

能否编一个程序对任意猜测的解去验证是否满足？

当然能，这有什么不确定的地方？

因为不知道猜测什么解，所以下一步不确定。

●问题是猜测部件有多大能力。

可以认为猜测解。

定义3.5：

NTM可解，<,L,>给定，任意IL,NTM总可在有限步停机，给出正确答案。

定义3.6:

时空复杂度。

L（n）={I|IL,（I）=1,|I|=n}，回答是的实例长度为n的集合。

TNTM（n）=max{TNTM（I）|IL（n）}

SNTM（n）=max{SNTM（I）|IL（n）}

定义3.7：

NP类问题，TNTM（n）P（n）。

问题类。

NTM多项式时间可解的问题。

是否可以编个程序，

v[1],…,v[m]：

所有图的点

P[1]=v[1],L=0.

Fori=2Tomdostep1

Guess（v[1],x）

Ifx{P[1],…,P[i-1]}returnerror

P[i]=x;

Ifx=v[2],L=L+d（v[i-1],v[2]）

Ifx=v[3],L=L+d（v[i-1],v[3]）

…

Ifx=v[m],L=L+d（v[i-1],v[m]）

Endfor

IfL≤KReturnYESelseNO.

v[1],…,v[m]：

所有图的点

P[1]=v[1],L=0.

Guess（v[1],x[2m]）

Fori=2Tomdostep1

Ifx[i]{P[1],…,P[i-1]}returnerror

P[i]=x[i];

Ifx[i]=v[2],L=L+d（v[i-1],v[2]）

Ifx[i]=v[3],L=L+d（v[i-1],v[3]）

…

Ifx[i]=v[m],L=L+d（v[i-1],v[m]）

Endfor

IfL≤KreturnYESelsereturnNO.

说明：

●P类，NP类，多项式时间可验证的问题类NP类。

●PNP

●定理3.1：

NP类的问题，均可用DTM在T（n）=O（2P（n））时间内求解。

存在P（n）。

●简单说明怎样证明。

因为每一步有好几个选择，用O（2P（n））可以全部枚举出来。

不让猜测部件猜了，把所有可能的解都举出来，每个都验证，因为一次验证多项式时间：

q（n）,解的长度不会超过q（n），总时间复杂度不超过：

||q（n）.

§3.4多项式变换与NPC类

前面的东西没法证明TSP问题不存在多项式时间复杂度。

举例子，很多人花费大量时间企图证明TSP问题不存在多项式算法，但是都没有证出来。

求解问题时想到用变换。

实际上求解问题用变换效果并不好。

但是可以用变换证明问题的计算难度。

用一个问题的语言描述另一个问题，任何一个实例都行方可。

把一个问题转换为另一个问题解决。

用1的语言描述2，若1存在多项式算法，则2也存在多项式算法。

举个例子：

sat,n皇后问题

x11

x12

x13

x1n

x21

x22

1

x2n

1

1

1

1

1

1

1

1

xn1

xnn

sat,团问题

Sat问题：

实例:

U={u1,u2,u3,u4,u5},C={（u1,u2,

）,（u2,

u5）,

（

u3,

）,（u2,u3,u5）}

询问：

是否存在U的真值指派使C中的项均满足。

1说明别人做过n皇后问题，速度很快，就是找不出好算法来。

2说明怎样做？

变量：

x11,x12,…x1n,…xn1,…,xnn

每行只有一个取1：

{xi1,…,xin}，{

}，。

。

。

，{

}。

每列只有一个取1：

每个斜线只有一个取1。

项个数，不超过

，时间复杂度O（n3）

变换：

reduction

Hamilton回路可以用Sat表达：

V1

V2

V3

V4

1

x11

（1）

x12

x13

x14

2

x21

x22

x23

（1）

x24

3

x31

x32

（1）

x33

x34

4

x41

x42

x43

x44

（1）

{y12,y13,y14}

{y21,y23,y24}

{y31,y32,y34}

{y41,y42,y43}

每行一个1，每列一个1，第i行与第i+1行

（x11,x12,x13,x14）,（

）,…………,（

）

（x21,x22,x23,x24）,（

）,…………,（

）

（x31,x32,x33,x34）,（

）,…………,（

）

（x41,x42,x43,x44）,（

）,…………,（

）

（x11,x21,x31,x41）,（

）,…………,（

）

（x12,x22,x32,x42）,（

）,…………,（

）

（x13,x23,x33,x43）,（

）,…………,（

）

（x14,x24,x34,x44）,（

）,…………,（

）

有边取1，无边取0。

{y12},{y21},{y14},{y41},{

},{

},{y23},{y32},{y24},{y42},{y34},{y43}。

两点之间一定要有边。

（

yjk）,1j,k4。

（

yjk）,1j,k4。

（

yjk）,1j,k4。

（

yjk）,1j,k4。

多项式变换定义：

●1=<1,L1,1>；2=<2,L2,2>

●变换f：

1*2*，IL1，f（I）L2，1（I）=2（f（I））

●f变换可以在p（|I|=n）时间内计算完成。

则f称为由1到2的多项式规约。

若1可以多项式归约到2，则若2存在多项式算法，则1也有多项式算法。

前面的多项式规约进一步修改如下：

●1=<1,L1,1>；2=<2,L2,2>

●变换f：

1*2*，IL1，f（I）L2，

1（I）=12（f（I））=1