第七章8机械能守恒定律必修2有解析.docx
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第七章8机械能守恒定律必修2有解析
[目标定位] 1.知道什么是机械能,理解物体动能和势能的相互转化.2.理解机械能守恒定律的内容和守恒条件.3.能用机械能守恒定律分析生活和生产中的有关问题.
一、动能与势能的相互转化 机械能守恒定律
1.动能与势能的相互转化
(1)动能与重力势能间的转化:
只有重力做功时,若重力做正功,则重力势能转化为动能;若重力做负功,则动能转化为重力势能.
(2)动能与弹性势能间的转化:
只有弹力做功时,若弹力做正功,则弹性势能转化为动能;若弹力做负功,则动能转化为弹性势能.
2.机械能
(1)定义:
动能和势能(包括重力势能和弹性势能)的统称,表达式为E=Ek+Ep.
(2)机械能是状态量,是标量,没有方向但有正负之分.
3.机械能守恒定律
(1)内容:
在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与势能可以相互转化,而总的机械能保持不变.
(2)守恒定律表达式
Ek2+Ep2=Ek1+Ep1,即E2=E1
4.机械能守恒条件的理解
(1)从能量特点看,系统内部只发生动能和势能的相互转化,无其他形式能量(如内能)之间转化,系统机械能守恒.
(2)从做功角度来看,只有重力做功或系统弹力做功,系统机械能守恒,具体表现为:
①物体只受重力或系统内弹力作用;
②除重力和系统内弹力外,其他力不做功;
③除重力和系统内弹力外,其他力做功的代数和为零.
深度思考
合力为零或合力做功为零时,物体的机械能一定守恒吗?
答案 不一定.合力为零或合力做功为零,并不能说明是否只有重力或系统内弹力做功.如物体沿斜面匀速下滑时,合力或合力做功均为零,而物体的动能不变,势能减小,故物体机械能减小.
例1
下列关于机械能是否守恒的叙述,正确的是( )
A.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B.做变速运动的物体机械能可能守恒
C.外力对物体做功为零时,机械能一定守恒
D.若只有重力对物体做功,物体的机械能也可能不守恒
答案 B
解析 做匀速直线运动的物体机械能不一定守恒,比如,降落伞匀速下降,机械能减小,故A错误.做变速直线运
动的物体机械能可能守恒,比如自由落体运动,故B正确.机械能守恒的条件是只有重力(弹力)做功,或者除重力(弹力)外其他力对物体做功为零,故C、D错误.
机械能守恒的判断方法:
(1)做功条件分析:
只有重力和系统内弹力做功,其他力不做功.
(2)能量转化分析法:
系统内只有动能、重力势能及弹性势能间相互转化,即系统内只有物体间的机械能相互转移,则机械能守恒.
(3)定义判断法,如物体沿竖直方向或沿斜面匀速运动时,动能不变,势能变化,机械能不守恒.
针对训练1 (多选)如图1所示,下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
图1
A.甲图中,物体A将弹簧压缩的过程中,物体A机械能守恒
B.乙图中,物块B沿粗糙斜面下滑时机械能守恒
C.丙图中,不计任何阻力时,A加速下落,B加速上升过程中,A、B系统机械能守恒
D.丁图中,小球沿水平面做匀速圆周运动时,小球的机械能守恒
答案 CD
解析 甲图中重力和弹力做功,物体A和弹簧组成的系统机械能守恒,但物体A机械能不守恒,A错;乙图中除重力做功之外,还有摩擦阻力做功,机械能不守恒,B错;丙图中绳子张力对A做负功,对B做正功,代数和为零,A、B系统机械能守恒,C对;丁图中小球的动能不变,势能不变,机械能守恒,D对.
二、机械能守恒定律的应用
1.机械能守恒定律的不同表达式
表达式
物理意义
从不同状态看
Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E初=E末
初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化角度看
Ek2-Ek1=Ep1-Ep2或ΔEk=-ΔEp
过程中动能的增加量等于势能的减少量
从转移角度看
EA2-EA1=EB1-EB2或ΔEA=-ΔEB
系统只有A、B两物体时,A增加的机械能等于B减少的机械能
2.应用机械能守恒定律的解题步骤
(1)选取研究对象(物体或系统).
(2)明确研究对象的运动过程,分析研究对象在运动过程中的受力情况,弄清各力的做功情况,判断机械能是否守恒.
(3)选取恰当的参考平面,确定研究对象在初、末状态的机械能.
(4)选取机械能守恒的某种表达式,列方程求解.
例2
某游乐场过山车模型简化为如图2所示,光滑的过山车轨道位于竖直平面内,该轨道由一段斜轨道和与之相切的圆形轨道连接而成,圆形轨道的半径为R,可视为质点的过山车从斜轨道上某处由静止开始下滑,然后沿圆形轨道运动.
图2
(1)若要求过山车能通过圆形轨道最高点,则过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度至少要多少?
(2)考虑到游客的安全,要求全过程游客受到的支持力不超过自身重力的7倍,过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度h不得超过多少?
答案
(1)2.5R
(2)3R
解析 选圆形轨道底部所在的平面为零势能参考平面.
(1)设过山车总质量为M,
从高度h1处开始下滑,恰能以v1过圆形轨道最高点.
在圆形轨道最高点有:
Mg=M
①
运动过程机械能守恒:
Mgh1=2MgR+
Mv
②
由①②式得:
h1=2.5R
高度h至少要2.5R.
(2)设从高度h2处开始下滑,过圆周最低点时速度为v2,游客受到的支持力最大是FN=7mg.
最低点:
FN-mg=m
③
运动过程机械能守恒:
mgh2=
mv
④
由③④式得:
h2=3R
高度h不得超过3R.
1.利用机械能守恒定律可从两个角度列方程:
(1)守恒式:
mgh1+
mv
=mgh2+
mv
,利用此式必须先确定零势能面;
(2)转化式:
ΔEk=-ΔEp,即ΔEk增=ΔEp减,利用此式不必选择零势能面.
2.机械能守恒定律往往和圆周运动相结合,要注意圆周运动的各种临界条件.
针对训练2 如图3所示,质量m=2kg的小球用长L=1.05m的轻质细绳悬挂在距水平地面高H=6.05m的O点.现将细绳拉直至水平状态,自A点无初速度释放小球,运动至悬点O的正下方B点时细绳恰好断裂,接着小球做平抛运动,落至水平地面上C点.不计空气阻力,重力加速度g取10m/s2.求:
图3
(1)细绳能承受的最大拉力的大小;
(2)细绳断裂后小球在空中运动所用的时间;
(3)小球落地瞬间速度的大小.
答案
(1)60N
(2)1s (3)11m/s
解析
(1)根据机械能守恒mgL=
mv
由牛顿第二定律得F-mg=m
故最大拉力F=3mg=60N
(2)细绳断裂后,小球做平抛运动,有H-L=
gt2
故t=
=
s=1s
(3)整个过程,小球的机械能不变,故:
mgH=
mv
所以vC=
=
m/s=11m/s.
例3
如图4所示,固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环,圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接,弹簧的另一端连接在墙上,并且处于原长状态,现让圆环由静止开始下滑,已知弹簧原长为L,圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度),则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
图4
A.圆环的机械能守恒
B.弹簧弹性势能变化了
mgL
C.圆环下滑到最大距离时,所受合力为零
D.圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
解析 圆环在下落过程中机械能减少,弹簧弹性势能增加,而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒.圆环下落到最低点时速度为零,但是加速度不为零,即合力不为零;圆环重力势能减少了
mgL,由机械能守恒可知,弹簧的弹性势能增加
mgL,故选B.
答案 B
利用机械能守恒定律分析问题时,一定要注意守恒条件的应用,灵活选取研究对象.本题中圆环的机械能不守恒,但圆环与弹簧所组成的系统的机械能守恒.
1.(机械能守恒的判断)(多选)如图5所示,弹簧固定在地面上,一小球从它的正上方A处自由下落,到达B处开始与弹簧接触,到达C处速度为0,不计空气阻力,则在小球从B到C的过程中( )
图5
A.弹簧的弹性势能不断增大
B.弹簧的弹性势能不断减小
C.小球和弹簧组成的系统机械能不断减小
D.小球和弹簧组成的系统机械能保持不变
答案 AD
解析 从B到C,小球克服弹力做功,弹簧的弹性势能不断增加,A正确,B错误;对小球、弹簧组成的系统,只有重力和系统内弹力做功,系统机械能守恒,C错误,D正确.
2.(机械能守恒的判断)(多选)如图6所示,下列几种情况,系统的机械能守恒的是( )
图6
A.图甲中一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动
B.图乙中运动员在蹦床上越跳越高
C.图丙中小车上放一木块,小车的左侧由弹簧与墙壁相连.小车在左右振动时,木块相对于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)
D.图丙中如果小车振动时,木块相对小车有滑动
答案 AC
解析 可以通过以下表格对各项逐一分析
选项
分析
判断
A
弹丸在碗内运动时,只有重力做功,系统机械能守恒
√
B
运动员越跳越高,表明她不断做功,机械能不守恒
×
C
由于一对静摩擦力做的总功为零,故系统中只有弹簧弹力做功,机械能没有转化为其他形式的能,故系统机械能守恒
√
D
滑动摩擦力做功,机械能转化为内能,系统机械能不守恒
×
3.(机械能守恒的判断)质量为1kg的物体从离地面1.5m高处以速度10m/s抛出,不计空气阻力,若以地面为零势能面,物体的机械能是________J,落地时的机械能是________J;若以抛出点为零势能面,物体的机械能是________J,落地时的机械能是________J.(g取10m/s2)
答案 65 65 50 50
解析 若以地面为零势能面,物体的机械能E1=
mv
+mgh=
×1×102J+1×10×1.5J=65J,由于只有重力做功,机械能守恒,故落地时的机械能也为65J;若以抛出点为零势能面,物体的机械能E2=
mv
=
×1×102J=50J,由于机械能守恒,落地时的机械能也是50J.
4.(机械能守恒定律的应用)如图7所示,小球质量为m,大小不计,右边圆轨道半径为R,小球从h=3R处沿斜面滑下后,又沿圆轨道滑到最高点P处,不计任何摩擦.求:
图7
(1)小球通过P点的速度大小;
(2)小球通过圆轨道最低点时对轨道的压力.
答案
(1)
(2)7mg,方向竖直向下
解析
(1)根据机械能守恒定律:
mg(h-2R)=
mv
解得小球通过P点的速度v1=
(2)设小球通过圆轨道最低点的速度为v2,根据机械能守恒定律mgh=
mv
.根据牛顿第二定律FN-mg=m
解得FN=7mg,故小球通过圆轨道最低点时对轨道的压力大小为7mg,方向竖直向下.
题组一 对机械能守恒定律的理解
1.下列说法正确的是( )
A.机械能守恒时,物体一定不受阻力
B.机械能守恒时,物体一定只受重力和弹力作用
C.物体做匀速运动时,机械能必守恒
D.物体所受的外力不等于零,其机械能也可以守恒
答案 D
解析 机械能守恒的条件是只有重力做功或系统内物体间的弹力做功.机械能守恒时,物体或系统可能不只受重力和弹力作用,也可能受其他力,但其他力不做功或做的总功一定为零,A、B错;物体沿斜面匀速下滑时,它处于平衡状态,但机械能不守恒,C错;物体做自由落体运动时,合力不为零,但机械能守恒,D对.
2.下列四个选项的图中,木块均在固定的斜面上运动,其中选项A、B、C中斜面是光滑的,选项D中的斜面是粗糙的,选项A、B中的F为木块所受的外力,方向如图中箭头所示,选项A、B、D中的木块向下运动,选项C中的木块向上运动.在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是( )
答案 C
解析 依据机械能守恒条件:
只有重力或弹力做功的情况下,物体的机械能才能守恒,由此可见,A、B均有外力F参与做功,D中有摩擦力做功,故A、B、D均不符合机械能守恒的条件,故答案为C.
3.(多选)如图1所示,一轻弹簧固定于O点,另一端系一重物,将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放,让它自由摆下,不计空气阻力,在重物由A点摆向最低点的过程中( )
图1
A.重物的机械能减少
B.系统的机械能不变
C.系统的机械能增加
D.系统的机械能减少
答案 AB
解析 重物自由摆下的过程中,弹簧拉力对重物做负功,重物的机械能减少,选项A正确;对系统而言,除重力、弹力外,无其他外力做功,故系统的机械能守恒,选项B正确.
4.(多选)在下列几个实例中,机械能守恒的是( )
图2
A.在平衡力作用下运动的物体
B.在光滑水平面上被细线拴住做匀速圆周运动的小球
C.如图2甲所示物体沿固定光滑
圆弧面下滑
D.如图乙所示,在光滑水平面上压缩弹簧过程中的小球
答案 BC
解析 在平衡力作用下物体的运动是匀速运动,动能保持不变,但如果物体的势能发生变化,则机械能变化,A错;在光滑水平面上做匀速圆周运动的小球,其动能不变,势能也不变,总的机械能不变,B正确;物体沿固定光滑曲面下滑,在下滑过程中,只有重力做功,所以物体机械能守恒,C正确;在小球压缩弹簧的过程中,小球动能减少,势能不变,所以机械能不守恒(但球和弹簧组成的系统机械能守恒),D错.
题组二 机械能守恒定律的应用
5.一个质量为m的滑块,以初速度v0沿光滑斜面向上滑行,当滑块从斜面底端滑到高为h的地方时,以斜面底端为参考平面,滑块的机械能是( )
A.
mv
B.mgh
C.
mv
+mghD.
mv
-mgh
答案 A
解析 在整个过程中,只有重力做功,机械能守恒,总量都是
mv
,因在高度h处,速度可能不为零,所以B项错误.C、D也错误.
6.(多选)一物体从高为h处自由下落,不计空气阻力,落至某一位置时其动能与重力势能恰好相等(取地面为零势能面)( )
A.此时物体所处的高度为
B.此时物体的速度为
C.这段下落的时间为
D.此时机械能可能小于mgh
答案 ABC
解析 物体下落过程中机械能守恒,D错;
由mgh=mgh′+
mv2=2mgh′知h′=
,A对;
由
mv2=
mgh知v=
,B对;
由t=
知t=
,C对.
7.两物体质量之比为1∶3,它们距离地面高度之比也为1∶3,让它们自由下落,它们落地时的动能之比为( )
A.1∶3B.3∶1
C.1∶9D.9∶1
答案 C
解析 只有重力做功,机械能守恒.取地面为零势能面,则落地时动能之比等于初位置重力势能之比,据Ep=mgh,有Ep1∶Ep2=1∶9,所以Ek1∶Ek2=1∶9,选C.
8.以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑,如图3所示,三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3,不计空气阻力(斜上抛物体在最高点的速度方向水平),则( )
图3
A.h1=h2>h3B.h1=h2
C.h1=h3
答案 D
解析 竖直上抛物体和沿斜面运动的物体,上升到最高点时,速度均为0,由机械能守恒得mgh=
mv
,所以h=
,斜上抛物体在最高点速度不为零,设为v1,则mgh2=
mv
-
mv
,所以h2<h1=h3,故D对.
9.(多选)图4是滑道压力测试的示意图,光滑圆弧轨道与光滑斜面相切,滑道底部B处安装一个压力传感器,其示数N表示该处所受压力的大小.某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑,通过B时,下列表述正确的有( )
图4
A.N小于滑块重力B.N大于滑块重力
C.N越大表明h越大D.N越大表明h越小
答案 BC
解析 设滑块质量为m,在B点所受支持力为FN,圆弧半径为R.滑块从高度h处由静止下滑至B点过程中,由机械能守恒定律有
mv
=mgh,在B点滑块所需向心力由合外力提供,得FN-mg=m
.由牛顿第三定律知,传感器示数N等于FN,解得N=mg+
,由此式知N>mg且h越大,N越大.选项B、C正确.
10.(多选)由光滑细管组成的轨道如图5所示,其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧,轨道固定在竖直平面内.质量为m的小球,从距离水平地面高为H的管口D处静止释放,最后能够从A端水平抛出落到地面上.下列说法正确的是( )
图5
A.小球能从细管A端水平抛出的条件是H>2R
B.小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin=
C.小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2
D.小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2
答案 AD
解析 小球经过A点的最小速度为0,由机械能守恒得mg(Hmin-2R)=0,故D点的最小高度Hmin=2R,要使小球能从A点水平抛出,需H>2R,A对,B错;由机械能守恒定律,mg(H-2R)=
mv
,解得vA=
.而2R=
gt2,x=vAt,故x=2
,C错,D对.
题组三 综合应用
11.在某娱乐节目中,选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上,小明和小阳观看后对此进行了讨论.如图6所示,他们将选手简化为质量m=60kg的质点,选手抓住绳由静止开始摆动,此时绳与竖直方向夹角α=53°,绳的悬挂点O距水面的高度为H=3m.不考虑空气阻力和绳的质量,浮台露出水面的高度不计,水足够深.取重力加速度g=10m/s2,sin53°=0.8,cos53°=0.6.求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F.
图6
答案 1080N
解析 机械能守恒mgl(1-cosα)=
mv2
选手摆到最低点时F′-mg=m
解得F′=(3-2cosα)mg=1080N
人对绳的拉力F=F′,则F=1080N.
12.如图7所示,轻弹簧一端与墙相连处于自然状态,质量为4kg的木块沿光滑的水平面以5m/s的速度运动并开始挤压弹簧,求:
图7
(1)弹簧的最大弹性势能;
(2)木块被弹回速度增大到3m/s时弹簧的弹性势能.
答案
(1)50J
(2)32J
解析
(1)木块压缩弹簧的过程中,木块和弹簧组成的系统机械能守恒,弹性势能最大时,对应木块的动能为零,故有:
Epm=
mv
=
×4×52J=50J.
(2)由机械能守恒有
mv
=Ep1+
mv
×4×52J=Ep1+
×4×32J
得Ep1=32J.
13.如图8所示,质量为m的物体,以某一初速度从A点向
下沿光滑的轨道运动,不计空气阻力,若物体通过轨道最低点B时的速度为3
,求:
图8
(1)物体在A点时的速度大小;
(2)物体离开C点后还能上升多高.
答案
(1)
(2)3.5R
解析
(1)物体在运动的全过程中只有重力做功,机械能守恒,选取B点为零势能点.设物体在B处的速度为vB,则mg·3R+
mv
=
mv
,
得v0=
.
(2)设从B点上升到最高点的高度为HB,由机械能守恒可得mgHB=
mv
,HB=4.5R
所以离开C点后还能上升
HC=HB-R=3.5R.
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