摆线公式等.docx
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摆线公式等.docx
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摆线公式等
摆线方程
它就是这样定义的:
一个圆沿一直线缓慢地滚动,则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线
x=a(φ-sinφ),y=a(1-cosφ)
设该点初始坐标为(0,0),圆心坐标为(0,a)
当圆转动φ时,圆心坐标为(aφ,a)
该点相对于圆心坐标为(-asinφ,-acosφ)
所以该点坐标为(a(φ-sinφ),a(1-cosφ))
即x=a(φ-sinφ),y=a(1-cosφ)
摆线[编辑]
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(2010年7月25日)
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一条由滚动的圆所生成的摆线
在数学中,摆线 (Cycloid)被定义为,一个圆沿一条直线运动时,圆边界上一定点所形成的轨迹。
它就是roulette曲线的一个例子。
摆线也就是最速降线问题与等时降落问题的解。
[隐藏]
∙1 历史
∙2 方程
∙3 面积
∙4 弧长
∙5 其它相关联的曲线
∙6 应用
∙7 参考
∙8 外部连结
历史[编辑]
摆线的研究最初开始于NicholasofCusa,之后梅森(MarinMersenne) 也有针对摆线的研究。
1599年伽利略为摆线命名。
1634年G、P、deRoberval指出摆线下方的面积就是生成它的圆面积的三倍。
1658年克里斯多佛·雷恩也向人们指出摆线的长度就是生成它的圆直径的四倍。
在这一时期,伴随着许多发现,也出现了众多有关发现权的争议,甚至抹杀她人工作的现象,而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”(TheHelenofGeometers)。
[1]、
方程[编辑]
由半径为2的圆所生成的摆线
过原点半径为r的摆线参数方程为
在这里实参数t就是在弧度之下,圆滚动的角度。
对每一个给出的t,圆心的坐标为(rt,r)。
通过替换解出t可以求的笛卡尔坐标方程为
摆线的第一道拱由参数t在(0,2π)区间内的点组成。
摆线也满足下面的微分方程。
面积[编辑]
一条由半径为r的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定:
微分,
于就是可以求得
弧长[编辑]
弧形的长度可以由下面的式子计算出:
其它相关联的曲线[编辑]
一些曲线同摆线紧密相关。
当我们弱化定点只能固定在圆边界上时,我们得到了短摆线(curtatecycloid)与长摆线(prolatecycloid),两者合称为次摆线(trochoid),前面的情形就是定点在圆的内部,后者则就是在圆外。
trochoid则就是上述三种曲线的统称。
更进一步,如果我们让圆也沿着一个圆滚动而不就是直线的话,我们会得到 外摆线(epicycloid) (沿着圆的外部运动,定点在圆的边缘),内摆线(hypocycloid)(沿着圆内部滚动,定点在圆的边缘)以及外旋轮线(epitrochoid)与内旋轮线(hypotrochoid)(定点可以在圆内的任一点包括边界。
)
小圆边缘沿大圆转动:
圆外螺线/外摆线 · 圆内螺线/内摆线
小圆短径外转:
外旋轮线 · 小圆长径内转:
内旋轮线
小圆边缘沿直线转动:
摆线
外摆线[编辑]
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不同的外摆线
外摆线 就是所有形式为
的曲线,其中 n 为正实数。
轨迹定义[编辑]
n=4的外摆线轨迹
假设有一个定圆,若有另一个半径就是刚才的圆形的
倍的圆在上滚动,则圆周上的一定点在滚动时划出的轨迹就就是一条外摆线。
心脏线[编辑]
心脏线
心脏线就是外摆线的一种,其 n 为2。
它亦可以极坐标的形式表示:
r =1+cos θ
这样的心脏线的周界为8,围得的面积为
。
心脏线亦为蚶线的一种。
在 曼德博集合 正中间的图形便就是一个心脏线。
心脏线的英文名称“Cardioid”就是deCastillon在 1741年 的《PhilosophicalTransactionsoftheRoyalSociety》发表的;意为“像心脏的”。
肾脏线[编辑]
肾脏线亦就是外摆线的一种,其 n 为3。
圆内螺线[编辑]
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内摆线(圆内螺线)就是所有形式为
的曲线,其中 n 为正实数。
轨迹定义[编辑]
假设有一个定圆,若有另一个半径就是刚才的圆形的
倍的圆在其内部滚动,则圆周上的一定点在滚动时划出的轨迹就就是一条内摆线(圆内螺线)。
三尖瓣线与星形线[编辑]
三尖瓣线(Deltoid,字自“Delta”Δ)就是内摆线(圆内螺线)一种,其 n 为2(或1/2)。
[1]
星形线就是内摆线(圆内螺线)一种,其 n 为3。
外旋轮线[编辑]
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R =3, r =1与 d =1/2的外旋轮线
外旋轮线(Epitrochoid - IPA [ɛpɪˈtrɒkɔɪd,-ˈtrəʊ-])就是追踪附着在围绕半径为 R 的固定的圆外侧滚转的半径 r 的圆上的一个点而得到的转迹线,这个点距离外部滚动的圆的中心的距离就是 d。
外旋轮线的参数方程就是
特殊情况包括 R=r 的蜗牛线与 d=r 的外摆线。
经典的玩具万花尺追踪外旋轮线与内旋轮线。
转子活塞发动机的定子就是外旋轮线。
内旋轮线[编辑]
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红色曲线就是 R =5、0, r =3, d =5的内旋轮线
内旋轮线(hypotrochoid)就是追踪附着在围绕半径为 R 的固定的圆内侧滚转的半径为 r 的圆上的一个点得到的转迹线,这个点到内部滚动的圆的中心的距离就是 d。
内旋轮线的参数方程就是:
特殊情况包括 d = r 的内摆线与 R =2r 的椭圆。
经典的玩具万花尺追踪出内旋轮线与外旋轮线。
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