抛物线与直线交点问题经典讲义教案设计18660.docx
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抛物线与直线交点问题经典讲义教案设计18660
标准实用
抛物线与直线交点问题
教学目标:
1、经历探索抛物线与直线的交点问题的过程,体会图象与函数解析式之间的联系。
2、理解图象交点与方程(或方程组)解之间的关系,并能灵活运用解决相关问题,进一步培养学生数形结合思想。
3、通过学生共同观察和讨论,进一步提高合作交流意识。
教学重点:
1、体会方程与函数之间的联系。
2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。
教学难点:
理解图象交点个数与方程(或方程组)解的个数之间的关系。
讲授方法:
讲授与讨论相结合
教学过程:
一、抛物线与x轴的交点问题
例1:
已知:
抛物线yx22x3,求抛物线与x轴的交点坐标。
练习:
1、已知:
抛物线yx2(m2)x3(m1)
(1)求证:
抛物线与x轴有交点。
(2)如果抛物线与x轴有两个交点,求m的取值范围。
2、(2013房山一模
23前两问)
已知,抛物线y
x2
bxc,当1<x<5时,y值为正;当x<1或x>5时,y值为负.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若直线ykx
b(k≠0)与抛物线交于点
A(3
,m)和B(4,n),求直线的解析
2
式.
方法总结:
1、抛物线与x轴相交:
抛物线yax2
bx
c的图象与x轴相交
ax2
bxc0(a
0)
2.抛物线与x轴的交点的个数
(1)有两个交点
△>0
抛物线与x轴相交
(2)有一个交点
△=0
抛物线与x轴相切
(3)没有交点
△<0
抛物线与x轴相离
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标准实用
二、抛物线与平行于x轴的直线的交点
例2:
求抛物线yx22x3与y=1的交点坐标
练习:
已知:
抛物线yx22xc
(1)如果抛物线与y=3有两个交点,求c的取值范围。
(2)如果对于任意x,总有y>3,求c的取值范围
方法总结:
1、抛物线与平行于x轴的直线相交
抛物线yax2bxc的图象与平行于x轴的直线相交
y
ax2
bx
c
2
bx
cm
y
m
新的一元二次方程ax
2.抛物线与平行于
x轴的直线的交点的个数
(1)有两个交点
△>0
抛物线与直线相交
(2)有一个交点
△=0
抛物线与直线相切
(3)没有交点
△<0
抛物线与直线相离
三:
抛物线与直线的交点问题
例3:
若抛物线y
1x2与直线y=x+m只有一个交点,求
m的值
2
练习:
已知:
抛物线yx2-3x和点A(-1,0),过点A作直线l与抛物线有且只有一个交点,并求直线l的解析式
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标准实用
方法总结:
一次函数
y
kx
的图象
l
与抛物线
y
ax
2
bx
c(a0)
的图象
G
的交点个数
b(k0)
y
kx
b
的解的数目来确定
由
ax2
bx
y
c
方程组有两组不同的解时
l
与有两个交点
抛物线与直线相交
G
方程组有一组解时
l与G有一个交点
抛物线与直线相切
方程组没有解时
l与G没有交点
抛物线与直线相离
例4:
已知:
抛物线
yx2
2x
c
(1)
当c=-3
时,求出抛物线与
x轴的交点坐标
(2)
当-2 x轴有且只有一个交点,求 c的取值范围 方法总结: 线段与抛物线的交点,要结合直线与抛物线交点和函数的图象综合分析练习: 1、抛物线yx2-2mxm2与直线y=2x交点的横坐标均为整数,且m<2, 求满足要求的m的整数值 文案大全 标准实用 2、已知: 抛物线 y x 2 -4x1 ,将此抛物线沿 x轴方向向左平移 4个单位长度,得到一 条新的抛物线 (1)求平移后的抛物线的解析式 (2)请结合图象回答,当直线 y=m与这两条抛物线有且只有四个交点时,实数 m的 取值范围 3、已知二次函数错误! 未找到引用源。 ,在错误! 未找到引用源。 和错误! 未找到引用源。 时的函数值相等。 (1) 求二次函数的解析式; (2) 若一次函数错误! 未找到引用源。 的图象与二次函数的图象都经过点 错误! 未找 到引用源。 ,求错误! 未找到引用源。 和错误! 未找到引用源。 的值; (3) 设二次函数的图象与 错误! 未找到引用源。 轴交于点错误! 未找到引用源。 (点 错误! 未找到引用源。 在点错误! 未找到引用源。 的左侧),将二次函数的图象 在点错误! 未找到引用源。 间的部分(含点错误! 未找到引用源。 和点错误! 未 找到引用源。 )向左平移错误! 未找到引用源。 个单位后得到的图象记为错误! 未找到引用源。 ,同时将 (2)中得到的直线错误! 未找到引用源。 向上平移错 误! 未找到引用源。 个单位。 请结合图象回答: 当平移后的直线与图象 错误! 未 找到引用源。 有公共点时,错误! 未找到引用源。 的取值范围。 文案大全 标准实用 4、已知关于 x的一元二次方程2x2 4xk 10有实数根,且k为正整数 (1) 求k的值 (2) 当此方程有两个非零的整数根时, 关于x的二次函数y2x2 4x k1的图 象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式 (3)在 (2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答: 当直线y1xb(bk)与此图象有两个公共点时,b的取值范围 2 课堂小结: 1、本节复习课主要复习直线与抛物线交点的问题, 文案大全 标准实用 相交方程组一元二次方程根的个数 0有两个交点,0有一个交点,0没有交点 2、在解题过程中,计算要求比较高,应夯实基础提高应用 3、充分利用“图象”这个载体随时随地渗透数形结合的数学思想 1、(2013门头沟一模 23)已知关于x的一元二次方程 1x2 (m2)x 2m60. 2 (1)求证: 无论 m取任何实数,方程都有两个实数根; (2)当m<3时,关于x的二次函数y 1 x2 (m 2)x 2m6 的图象与x轴交于A、 2 B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且2AB=3OC,求m的值; (3)在 (2)的条件下,过点 C作直线l∥x轴,将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直 线l翻折,二次函数图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,记为 G.请你 结合图象回答: 当直线 1 yxb与图象G只有一个公共点时,b的取值范围. 3 y 1 O1x 文案大全 标准实用 2、(2013丰台一模23)二次函数yx2bxc的图象如图所示,其顶点坐标为M(1,-4). (4)求二次函数的解析式; (2)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得 到一个新的图象,请你结合新图象回答: 当直线yxn与这个新图象有两个公共 点时,求n的取值范围. 文案大全 标准实用 3、(2013昌平一模23)已知抛物线yx2kxk2. (1)求证: 无论k为任何实数,该抛物线与x轴都有两个交点; (2)在抛物线上有一点P(m,n),n<0,OP=10,且线段OP与x轴正半轴所夹锐角 3 的正弦值为4,求该抛物线的解析式; 5 (3)将 (2)中的抛物线x轴上方的部分沿x轴翻折,与原图象的另一部分组成一个新 的图形M,当直线yxb与图形M有四个交点时,求b的取值范围. y 1 -1O1 x -1 文案大全 标准实用 4、(2013怀柔一模 23)已知关于x的方程kx2 (3k 1)x3 0. (1)求证: 无论 k取任何实数时,方程总有实数根 ; (2)若二次函数 2 1) 3 ykxk x 的图象与 x 轴两个交点的横坐标均为整数, 且k为 (3 正整数,求k值; (3)在 (2)的条件下,设抛物线的顶点为 M,直线y=-2x+9 与y轴交于点C,与直线 OM交于点D.现将抛物线平移,保持顶点在直线 OD上.若平移的抛物线与射线 CD (含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围 . 文案大全 标准实用 5、(2013燕山一模23)己知二次函数 y1 x2 2tx(2t1)(t>1)的图象为抛物线C1. ⑴求证: 无论t取何值,抛物线 C1与x轴总有两个交点; ⑵已知抛物线C1与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),将抛物线C1 作适当的平移,得 抛物线C2: y2(xt)2,平移后A、B的对应点分别为 D(m,n),E(m+2,n),求 n的值. ⑶在⑵的条件下,将抛物线C2位于直线DE下方的部分沿直线 DE向上翻折后,连同C2 在DE上方的部分组成一个新图形, 记为图形G,若直线y 1x b(b<3)与图形G 2 有且只有两个公共点,请结合图象求 b的取值范围. y 2 1 -1O 123 x -1 文案大全 标准实用 6、(2013海淀一模23)在平面直角坐标系xOy中,抛物线ymx22mxn与x轴交于 A、B两点,点A的坐标为(2,0). (1)求B点坐标; 1 (2)直线y=x+4m+n经过点B. 2 ①求直线和抛物线的解析式; ②点P在抛物线上,过点P作y轴的垂线l,垂足为D(0,d).将抛物线在直线l上方 的部分沿直线l翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新图象G.请结合图象回答: 当 图象G与直线y= 1 d的取值范围是 . x+4m+n只有两个公共点时, 2 文案大全 标准实用 7、(2013顺义二模23)已知抛物线 y3x2 mx 2. (1)求证: 无论m为任何实数,抛物线与 x轴总有两个交点; (2)若m为整数,当关于x的方程 3x2 mx 2 0的两个有理数根都在 1与 4之间(不 包括-1、4)时,求m的值. 3 3 (3)在 (2)的条件下,将抛物线y 3x2 mx 2在x轴下方的部分沿 x轴翻折,图象的 其余部分保持不变,得到一个新图象 G,再将图象G向上平移n个单位,若图象G与 过点(0,3)且与x轴平行的直线有 4个交点,直接写出n的 取值范围是 . y O 1 x 文案大全 标准实用 3、(2012海淀二模23)已知抛物线y(m1)x2(m2)x1与x轴交于A、B两点. (1)求m的取值范围; (2)若m>1,且点A在点B的左侧,OA: OB=1: 3,试确定抛物线的解析式; (3)设 (2)中抛物线与y轴的交点为C,过点C作直线l//x轴,将抛物线在y轴左侧 的部分沿直线l翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象.请你结合 新图象回答: 当直线y1xb与新图象只有一个公共点P(x0,y0)且y07时,求b 3 的取值范围. y 8 7 6 5 4 3 2 1 -4-3-2-1O12345678x -1 -2 -3 -4 -5 文案大全 标准实用 8(2012中考数学23)已知二次函数错误! 未找到引用源。 在错误! 未找到引用源。 和错误! 未找到引用源。 时的函数值相等。 (5)求二次函数的解析式; (6)若一次函数错误! 未找到引用源。 的图象与二次函数的图象都 经过点错误! 未找到引用源。 ,求错误! 未找到引用源。 和错 误! 未找到引用源。 的值; (7)设二次函数的图象与错误! 未找到引用源。 轴交于点错误! 未 找到引用源。 (点错误! 未找到引用源。 在点错误! 未找到引 用源。 的左侧),将二次函数的图象在点错误! 未找到引用源。 间的部分(含点 错误! 未找到引用源。 和点错误! 未找到引用源。 )向左平移错误! 未找到引用 源。 个单位后得到的图象记为错误! 未找到引用源。 ,同时将 (2)中得到的直 线错误! 未找到引用源。 向上平移错误! 未找到引用源。 个单位。 请结合图象回 答: 当平移后的直线与图象错误! 未找到引用源。 有公共点时,错误! 未找到引 用源。 的取值范围。 文案大全 标准实用 9、(2012东城二模23).已知关于x的方程(1m)x2(4m)x30. (1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围; (2)若正整数m满足82m2,设二次函数y(1m)x2(4m)x3的图象与x 轴交于A、B两点,将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持 不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答: 当直线ykx3与此图 象恰好有三个公共点时,求出k的值(只需要求出两个满足题意的k值即可). 文案大全 标准实用 10、(2012丰台一模23).已知: 关于x的一元二次方程: x22mxm240. (1)求证: 这个方程有两个不相等的实数根; (2)当抛物线yx22mxm24与x轴的交点位于原点的两侧,且到原点的距离相等时, 求此抛物线的解析式; (3)将 (2)中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折,其余部分保持能够不变,得到图形 C1,将图形C1向右平移一个单位,得到图形C2,当直线y=xb(b<0)与图形C2恰有两个 公共点时,写出b的取值范围. 文案大全 标准实用 11、(2014东城一模 23)已知: 关于x的一元二次方程 2 ﹣(4m+1)x+3m+3=0 (m>1). mx (1)求证: 方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2(其中x1>x2),若y是关于m的函数,且y=x1﹣3x2, 求这个函数的解析式; (3)将 (2)中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折,图象的其余部 分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答: 当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时,b的取值范围. 文案大全 标准实用 12、(2012海淀二模23)已知抛物线y(m1)x2(m2)x1与x轴交于A、B两点. (1)求m的取值范围; (2)若m>1,且点A在点B的左侧,OA: OB=1: 3,试确定抛物线的解析式; (3)设 (2)中抛物线与y轴的交点为C,过点C作直线l//x轴,将抛物线在y轴左侧 的部分沿直线l翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象.请你结合 新图象回答: 当直线y1xb与新图象只有一个公共点P(x0,y0)且y07时,求b 3 的取值范围. y 8 7 6 5 4 3 2 1 -4-3-2-1O12345678x -1 -2 -3 -4 -5 文案大全 标准实用 14、(2011中考23)在平面直角坐标系xOy中,二次函数ymx2m3x3m0的图 象与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C. ⑴求点A的坐标; ⑵当ABC45时,求m的值; ⑶已知一次函数ykxb,点Pn,0是x轴上的一个动点,在⑵的条件下,过点P垂 直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交二次函数 ym2xm3x3m0的图象于点N。 若只有当2n2时,点M位于点N 的上方,求这个一次函数的解析式。 y 5 4 3 2 1 -3-2-1O 123 x -1 -2 -3 -4 -5 文案大全 标准实用 15、(2014顺义一模23)23.已知抛物线yx22mxm21与x轴交点为A、B(点B在 点A的右侧),与y轴交于点C. (1)试用含m的代数式表示A、B两点的坐标; (2)当点B在原点的右侧,点C在原点的下方时,若△BOC是等腰三角形,求抛物 线的解析式; (3)已知一次函数ykxb,点P(n,0)是x轴上一个动点,在 (2)的条件下,过点P作垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交抛物线 yx22mxm21于点N,若只有当1n4时,点M位于点N的下方,求这 个一次函数的解析式. 文案大全 标准实用 16、(2013中考23)在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 y mx 2 2mx2 0)与y (m 轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B。 (1)求点A,B的坐标; (2)设直线与直线AB关于该抛物线的对称轴对称,求直线的解析式; (3)若该抛物线在2x1这一段位于直线的上方,并且在2x3这一段位于 直线AB的下方,求该抛物线的解析式。 文案大全
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