高中数学《相关性》导学案.docx
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高中数学《相关性》导学案
[航向标·学习目标]
1.通过收集现实问题中两个相关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观地认识变量间的相关关系.
2.根据散点图对线性相关关系进行直线拟合,从而对总体进行估计.
3.体会变量间的相关关系,激发学生的探索欲望与学生的学习积极性.
[读教材·自主学习]
1.函数关系:
变量之间的函数关系是一种
确定的关系,当自变量x的值确定之后,都有
唯一的y值与之对应,这种关系是一种理想的关系模型.
2.相关关系:
变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所要求的
确定性,它们的关系是带有
随机性的.
3.散点图:
在考虑两个量的关系时,为了对变量之间的关系有一个大致的了解,人们通常将变量所对应的
点描出来,这些点就组成了变量之间的一个图.通常称这种图为变量之间的散点图.
4.曲线拟合:
从散点图上可以看出,如果变量之间存在着
某种关系,这些点会有一个集中的大致趋势,这种趋势通常可以用一条光滑的
曲线来近似,这样近似的过程称为曲线拟合.
5.线性相关:
若两个变量x和y的散点图中,所有点看上去都在一条
直线附近波动,称变量间是线性相关的.
6.非线性相关:
若所有点看上去都在某条
曲线(不是一条直线)附近波动,则称变量间是非线性相关的.
7.不相关:
如果所有的点在散点图中没有显示
任何关系,则称变量间是不相关的.
[看名师·疑难剖析]
1.相关关系和函数关系的异同点
(1)相同点:
两者均是指两个变量的关系.
(2)不同点:
①函数关系是一种确定的关系.如匀速直线运动中时间t与路程s的关系;相关关系是一种非确定的关系.如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系.
②函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.例如,有人发现,对于在校儿童,鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系,然而学会新词并不能使脚变大,而是涉及到第三个因素——年龄,当儿童长大一些,他的阅读能力会提高,而且由于长大,脚也变大.
2.两个随机变量x和y之间相关关系的确定方法
(1)散点图法:
通过散点图,观察它们的分布是否存在一定规律,直观地判断;
(2)表格、关系式法:
结合表格或关系式进行判断;
(3)经验法:
借助积累的经验进行分析判断.
3.相关关系的分析方向
由于相关关系的不确定性,在寻找变量间相关关系的过程中,统计发挥着非常重要的作用,我们可以通过收集大量的数据,在对数据进行统计分析的基础上,发现其中的规律,对它们的关系作出判断.
考点一相关性的判断
例1 下列关系中,是相关关系的有________.
①正方形的边长与面积之间的关系
②水稻产量与施肥量之间的关系
③人的身高与年龄之间的关系
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系
[分析] 依据相关关系的定义判断.
[解析] ①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系;②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系;③人的身高与年龄之间的关系是相关关系;④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系,因此填②③④.
[答案] ②③④
类题通法
相关关系与函数关系的区别在于是否具有确定性.在区分二者时,如果一个变量每取一个值,另一个变量总有唯一确定的值与之对应,那么这两个变量就是函数关系,不是相关关系;如果一个变量每取一个值,另一个变量的取值带有一定的随机性,可能有两个值与之对应,并且从总体上来看有关系,但是不是确定性关系,那么这两个变量之间就是相关关系,不是函数关系.确定相关关系时有时要依靠生活经验来判断.
下列两个变量中具有相关关系的是( )
A.正方体的体积与边长
B.匀速行驶的车辆的行驶距离与时间
C.人的身高与体重
D.人的身高与视力
答案 C
解析 函数关系是一种确定的关系,而相关关系则是一种不确定的关系.选项A、B为函数关系,C是相关关系,D则无任何关系.
考点二利用散点图进行相关关系的判断
例2 下列图形中具有线性相关关系的两个变量是( )
[解析] A和B符合函数关系,即对x的每一个值,y都有唯一确定的值与之对应;从C、D散点图来看,D的散点都在某一条直线附近波动,因此两变量具有线性相关关系,且为负相关关系.
[答案] D
类题通法
此题是一数形结合题,应首先通过图形区别是否具有相关关系,然后再确定是否属于线性相关关系.如果概念不清,容易错选A.
对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图甲;对变量u、v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图乙.由这两个散点图可以判断( )
A.变量x与y正相关,u与v正相关
B.变量x与y正相关,u与v负相关
C.变量x与y负相关,u与v正相关
D.变量x与y负相关,u与v负相关
答案 C
解析 由甲可知,各点整体呈递减趋势,x与y负相关,由图乙可知,各点整体呈递增趋势,u与v正相关.
[例] (12分)在某种产品表面进行腐蚀刻线试验,得到腐蚀深度y(μm)与腐蚀时间x(s)之间具有线性关系,可用拟合直线方程y=0.3x+5.6来近似表示,试预测腐蚀时间为100s时腐蚀深度是多少?
(一)精妙思路点拨
(二)分层规范细解
因为腐蚀深度与腐蚀时间线性相关,腐蚀时间为
①,6分
所以腐蚀深度y=0.3×100+5.6=35.6(μm),10分
即
②.12分
(三)来自一线的报告
通过阅卷后分析,对解答本题的失分警示和解题启示总结如下:
(注:
此处的①②见分层规范细解过程)
(四)类题练笔掌握
某品牌服装的广告费支出x(单位:
万元)与销售额y(单位:
万元)之间有如下的对应数据:
广告费支出x
2
4
6
8
10
销售额y
64
138
205
285
360
(1)试画出散点图,并判断广告费x与销售额y是否具有线性相关关系;
(2)若取过点(2,64)和点(8,285)的直线作为拟合直线方程,试预测当x=10和15时销售额y的值是多少?
解
(1)根据题中数据画出散点图如下:
观察散点图,可以发现5个样本点从整体上看大致在一条直线附近,所以变量x,y之间具有线性相关关系.
(2)过点(2,64)和(8,285)的直线方程是221x-6y-58=0.
令x=10,则221×10-6y-58=0,
∴y≈358.7;
令x=15,则221×15-6y-58=0,
∴y≈542.8,
即当x=10时,销售额y的值大约是358.7万元,
当x=15时,销售额y的值大约是542.8万元.
(五)解题设问
(1)如何画散点图?
类似于函数图象的画法——________.
(2)如何判断两个变量是否线性相关?
观察散点图中的样本点是否分布在________的附近.
(3)求预测值y的方法是什么?
把________代入拟合直线方程计算可得.
答案
(1)描点法
(2)某条直线 (3)x的值
1.下列两个变量间的关系,是相关关系的是( )
A.任意实数和它的平方
B.圆半径和圆的面积
C.正多边形的边数和内角度数之和
D.天空中的云量和下雨
答案 D
解析 很明显A、B、C都是函数关系;根据生活经验,天空中的云量和下雨之间不是确定性关系,虽然有云彩不一定下雨,但是如果没有云彩一定不下雨,这说明它们之间是相关关系.
2.两个变量之间的相关关系是一种( )
A.确定性关系B.线性关系
C.非确定性关系D.非线性关系
答案 C
3.下列选项中的两个变量具有相关关系的是( )
答案 B
4.与函数关系不同,相关关系是一种________关系,从散点图上看,点分布在从左下角到右上角的区域内,两个变量的这种相关关系称为________,反之两个相关关系称为________.
答案 不确定性'正相关'负相关
5.有5个学生的数学和物理成绩如下表:
判断学生的数学与物理成绩是否有相关关系.
解 把数学成绩作为横坐标,把相应的物理成绩作为纵坐标,在直角坐标系中描点(xi,yi)(i=1,2,…,5),作出散点图如下图:
从图中可以看出各点基本上在一条直线附近,所以数学成绩与物理成绩具有相关关系,且当数学成绩增大时,物理成绩也由小变大,即它们正相关.
一、选择题
1.下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是( )
A.瑞雪兆丰年B.名师出高徒
C.吸烟有害健康D.喜鹊叫喜,乌鸦叫丧
答案 D
解析 瑞雪兆丰年和名师出高徒是根据多年经验总结归纳出来的,吸烟有害健康具有科学根据,所以它们都是相关关系,所以A、B、C具有相关关系;结合生活经验知喜鹊和乌鸦发出叫声是它们自身的生理反应,与人无任何关系,不具有相关关系.
2.①正相关,②负相关,③不相关,则下列散点图分别反映的变量是( )
A.①②③B.②③①
C.②①③D.①③②
答案 D
解析 第一个散点图中,散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域,则是正相关;第三个散点图中,散点图中的点是从左上角分布到右下角区域,则是负相关;第二个散点图中,散点图中的点的分布没有什么规律,则是不相关,所以应该是①③②,故选D.
3.对于给定的两个变量的统计数据,下列说法正确的是( )
A.都可以分析出两个变量之间的关系
B.都可以用一条直线近似地表示两者之间的关系
C.都可以作散点图
D.都可以用确定的表达式表示两者的关系
答案 C
4.下列变量之间的关系是函数关系的是( )
A.二次函数y=ax2+bx+c中,a、c是已知常数,取b为自变量,因变量是判别式Δ=b2-4ac
B.光照时间和果树亩产量
C.降雪量和交通事故发生率
D.每亩施用肥料量和粮食亩产量
答案 A
解析 在A中,若b确定,则a、b、c都是常数,Δ=b2-4ac也就唯一确定了,因此,这两者之间是确定的函数关系.其他的都不是函数关系.故选A.
5.下列说法正确的是( )
A.任意两个变量之间都具有相关关系
B.球的体积与球的半径具有相关关系
C.农作物的产量与施肥量之间是一种确定性关系
D.某商品的生产量与该商品的价格是一种非确定性关系
答案 D
6.2013年夏季,我国部分地区发生了手足口病疫情,党和政府采取果断措施,使疫情得到控制.下表是某同学记录的某地方在4.1~4.8日的发病人数,并给出了散点图(如图).
日期
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
人数
4
9
15
19
28
31
34
38
下列说法:
①据此散点图,可以判断日期与发病人数具有线性相关关系;②据此散点图,可以判断日期与发病人数具有一次函数关系.其中正确的是( )
A.①B.②C.①②D.都不正确
答案 A
解析 由散点图我们可以看到,各点位于某条直线附近,但不同在一条直线上,因此可以判断日期与发病人数具有线性相关关系,而不是一次函数关系.
二、填空题
7.根据两个变量x,y之间的观测数据画成散点图如图,这两个变量是否具有线性相关关系?
________(答是与否).
答案 否
解析 若两个变量具有线性相关关系,则散点应在一条直线附近分布,显然此散点图不满足.
8.下列命题中的两个变量具有相关关系的命题序号是__________.
①学生的身高与学生的数学成绩
②学生的数学成绩与外语成绩
③人的身高与体重
④正方形的面积与其边长
⑤人体内脂肪含量与人的年龄
⑥教师的水平与学生的水平
答案 ③⑤⑥
解析 变量之间的相关关系是一种不确定的关系,但是有些变量之间没有这种关系,比如①②变量之间没有必然联系,④是确定的函数关系,不是相关关系.
9.有人调查过电饭锅功率与容积之间有下表中关系:
功率(W)
1000
850
700
500
350
容积(L)
6
4.5
4
3
1.2
对上述数据进行分析,得到功率(W)与容积(L)之间的关系为:
W=143.43×L+143.58,则依此估计当电饭锅功率为600(W)时,其容积约为________.(精确到小数点后一位)
答案 3.2L
三、解答题
10.下表是某地的年降雨量与年平均气温的统计数据,判断两者之间是否具有相关关系.
年平均气温(℃)
12.51
12.84
12.84
13.69
13.33
12.74
13.05
年降雨量(mm)
748
542
507
813
574
701
432
分析 根据数据作出散点图.
解 以横轴为年平均气温,纵轴为年降雨量,可得相应的散点图如图所示:
由图可知:
图中各点排列不规律,也不在一条直线附近,因而两者之间不具有相关关系.
11.在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验,得到如下表所示的一组数据(单位:
kg):
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
(1)画出散点图;
(2)判断是否具有线性相关关系.
解
(1)散点图如下图所示.
(2)观察散点图知,散点图中的点分布在一条直线附近,则水稻产量与施化肥量之间具有线性相关关系.
12.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了如下样本数据.
年龄
23
27
39
41
45
49
50
53
54
56
脂肪
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
26.3
28.3
29.6
30.2
31.4
(1)作出这些数据的散点图;
(2)关于这两个变量之间的关系,你能得出什么结论?
(3)若近似线性关系,请画出一条直线来近似表示这种线性关系;
(4)人体脂肪含量越高,越容易影响我们的健康,基于此原因解释为什么人们更喜欢位于回归直线下方?
解
(1)散点图如图所示:
(2)由散点图可见两者近似成线性相关;
(3)如图;
(4)位于回归直线下方的特点为:
相同年龄下体内脂肪含量较低,故人们更喜欢.
13.下表给出了某些地区的鸟的种类与这些地区的海拔高度(m).分析这些数据,看一看鸟的种类与海拔高度是否有关.
地区
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
种类数
26
30
37
11
11
13
17
13
29
4
15
海拔/m
1250
1158
1067
457
701
731
610
670
1493
762
549
分析 检验相关性的方法——散点图.
解 作出散点图:
由图可见,鸟的种类与海拔高度近似成线性相关,即随鸟的种类的增多,海拔高度相对增加.
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