第二十八讲数的整除.docx

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第二十八讲数的整除

第二十八讲数的整除

能被2、3、5、7、11、13、17、19整除的数的特征

能被2整除的数的特征是个位上是偶数，

能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：

315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍感）

能被5整除的数个位上的数为0或5，

能被7整除的数的特征

   若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

能被11整除的数的特征

  把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数（包括0）,那么,原来这个数就一定能被11整除。

例如：

判断491678能不能被11整除。

—→奇位数字的和9+6+8=23

—→偶位数位的和4+1+7=12  

          23-12=11

因此,491678能被11整除。

这种方法叫“奇偶位差法”。

能被13整除的数的特征

  把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

如：

判断1284322能不能被13整除。

128432+2×4=128440

12844+0×4=12844

1284+4×4=1300

1300÷13=100

所以，1284322能被13整除。

能被17整除的数的特征

   把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

例如：

判断1675282能不能被17整除。

167528-2×5=167518

16751-8×5=16711

1671-1×5=1666

166-6×5=136

到这里如果你仍然观察不出来，就继续……

6×5=30，现在个位×5=30>剩下的13，就用大数减去小数，30-13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除。

能被19整除的数的特征

把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程

数的整除性

（一）

　　三、四年级已经学习了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。

这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。

　　数的整除性质主要有：

（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。

（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。

　　（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。

　　（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

　　（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。

　　灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。

　　例1在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。

　　分析与解：

分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。

因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。

这个七位数是4735800。

　　例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？

　　分析与解：

因为41×271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。

按“11111”把2000个1每五位分成一节，2000÷5=400，就有400节，

　　因为2000个1组成的数11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质

（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。

　　例3现有四个数：

76550，76551，76552，76554。

能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？

　　分析与解：

根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：

12=12×1=6×2=3×4。

　　要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12整除，有以下三种情况：

（1）找出一个数能被12整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被12整除；

（2）找出一个数能被6整除，另一个数能被2整除，那么它们的积就能被12整除；

　　（3）找出一个数能被4整除，另一个数能被3整除，那么它们的积能被12整除。

　　容易判断，这四个数都不能被12整除，所以第

（1）种情况不存在。

　　对于第

（2）种情况，四个数中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶数，所以可以选76554和76550，76554和76552。

　　对于第（3）种情况，四个数中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以选76552和76551，76552和76554。

　　综合以上分析，去掉相同的，可知两个数的乘积能被12整除的有以下三组数：

76550和76554，76552和76554，76551和76552。

　　例4在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？

　　分析与解：

从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求：

　　①各数位上的数字之和等于43；

　　②能被11整除。

　　因为能被11整除的五位数很多，而各数位上的数字之和等于43的五位数较少，所以应选择①为突破口。

有两种情况：

（1）五位数由一个7和四个9组成；

（2）五位数由两个8和三个9组成。

　　上面两种情况中的五位数能不能被11整除？

9，8，7如何摆放呢？

根据被11整除的数的特征，如果奇数位数字之和是27，偶数位数字之和是16，那么差是11，就能被11整除。

满足这些要求的五位数是：

97999，99979，98989。

　　例5能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？

　　分析与解：

10个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。

我们采用反证法。

　　假设题目的要求能实现。

那么由题意，从前到后每两个数一组共有5组，每组的两数之和都能被3整除，推知1～10的和也应能被3整除。

实际上，1～10的和等于55，不能被3整除。

这个矛盾说明假设不成立，所以题目的要求不能实现。

练习5

　　1.已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？

　　2.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？

　　3.173□是个四位数。

数学老师说：

“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可以被9，11，6整除。

”问：

数学老师先后填入的3个数字之和是多少？

班有多少名学生？

　　6.能不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？

练习5

　　1.是。

提示：

7018和1392分别是4205与2813的和与差。

　　2.14。

　　提示：

已知这两个数的积可以整除4875，说明这两个数都是4875的因数。

4875=3×5×5×5×13，用这些因子凑成两个数，使它们的和是64，显然这两个数是3×13=39和5×5=25。

它们的差是39-25=14。

　　3.19。

提示：

先后填入的三个数依次是7，8，4。

　　4.123654和321654。

　　提示：

由题意知，b，d，f是偶数，e=5，所以a，c只能是1和3。

6，进而知f=4，所求数为123654和321654。

　　5.55人。

　　提示：

总分等于平均分乘以学生人数，因为平均分90=9×10，所以总

（人）。

　　6.不能。

　　提示：

假设能。

因为前两个数的和能被3整除，第2、第3个数的和也能被3整除，所以第1、第3两个数除以3的余数相同。

类似可知，排在第1，3，5，7，9位的数除以3的余数都相同。

在1～9中，除以3的余数相同的数只有3个，不可能有5个。

这个矛盾说明假设不成立。

数的整除性

（二）

　　我们先看一个特殊的数——1001。

因为1001=7×11×13，所以凡是1001的整数倍的数都能被7，11和13整除。

　　能被7，11和13整除的数的特征：

　　如果数A的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7或11或13整除，那么数A能被7或11或13整除。

否则，数A就不能被7或11或13整除。

　　例2判断306371能否被7整除？

能否被13整除？

　　解：

因为371-306=65，65是13的倍数，不是7的倍数，所以306371能被13整除，不能被7整除。

　　例3已知10□8971能被13整除，求□中的数。

　　解：

10□8-971=1008-971+□0=37+□0。

　　上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的数是8。

2位数进行改写。

根据十进制数的意义，有

　　因为100010001各数位上数字之和是3，能够被3整除，所以这个12位数能被3整除。

　　根据能被7（或13）整除的数的特征，100010001与（100010-1=）100009要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。

　　同理，100009与（100-9=）91要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。

　　因为91=7×13，所以100010001能被7和13整除，推知这个12位数能被7和13整除。

　　分析与解：

根据能被7整除的数的特征，555555与999999都能被7

　　因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被7整除，所以等号右边第二个数也能被7整除，推知55□99能被7整除。

根据能被7整除的数的特征，□99-55=□44也应能被7整除。

由□44能被7整除，易知□内应是6。

　　下面再告诉大家两个判断整除性的小窍门。

　　判断一个数能否被27或37整除的方法：

　　对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么这个数一定能被27（或37）整除；否则，这个数就不能被27（或37）整除。

　　例6判断下列各数能否被27或37整除：

（1）2673135；

（2）8990615496。

　　解：

（1）2673135=2，673，135，2+673+135=810。

　　因为810能被27整除，不能被37整除，所以2673135能被27整除，不能被37整除。

（2）8990615496=8，990，615，496，8+990+615+496=2，109。

　　2，109大于三位数，可以再对2，109的各节求和，2+109=111。

　　因为111能被37整除，不能被27整除，所以2109能被37整除，不能被27整除，进一步推知8990615496能被37整除，不能被27整除。

　　由上例看出，若各节的数之和大于三位数，则可以再连续对和的各节求和。

　　判断一个数能否被个位是9的数整除的方法：

　　为了叙述方便，将个位是9的数记为k9（=10k+9），其中k为自然数。

　　对于任意一个自然数，去掉这个数的个位数后，再加上个位数的（k+1）倍。

连续进行这一变换。

如果最终所得的结果等于k9，那么这个数能被k9整除；否则，这个数就不能被k9整除。

　　例7

（1）判断18937能否被29整除；

（2）判断296416与37289能否被59整除。

　　解：

（1）上述变换可以表示为：

　　由此可知，296416能被59整除，37289不能被59整除

　　。

一般地，每进行一次变换，被判断的数的位数就将减少一位。

当被判断的数变换到小于除数时，即可停止变换，得出不能整除的结论。

练习6

　　1.下列各数哪些能被7整除？

哪些能被13整除？

　　88205，167128，250894，396500，

　　675696，796842，805532，75778885。

　　2.六位数175□62是13的倍数。

□中的数字是几？

　　7.九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数。

　　8.在下列各数中，哪些能被27整除？

哪些能被37整除？

　　1861026，1884924，2175683，2560437，

　　11159126，131313555，266117778。

　　9.在下列各数中，哪些能被19整除？

哪些能被79整除？

　　55119，55537，62899，71258，

　　186637，872231，5381717。

练习6

　　1.能被7整除的有250894，675696，805532；

　　能被13整除的有88205，167128，805532，75778885。

　　2.1。

　　提示：

175-62=113，只要□内填1，就有175-162=13。

　　4.能。

　　5.能。

提示：

仿例5。

　　6.4。

提示：

仿例6。

　　7.0。

　　解：

因为8765□4321能被21整除，所以能被7和3整除。

　　由能被7整除，推知下列各式也能被7整除：

　　8765□4-321=876504+□0-321=876183+□0，

　　876-（183+□0）=693+□0。

　　由（693+□0）能被7整除，可求出□=0或7。

　　再由能被3整除的数的特征，□内的数只能是0。

　　8.能被27整除的数有：

1884924，2560437，131313555，266117778。

　　能被37整除的数有：

1861026，2560437，11159126，131313555。

　　9.能被19整除的数有：

55119，55537，186637；

　　能被79整除的数有：

55537，71258，5381717。