准九暑假数学探索三角形相似的条件.docx
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准九暑假数学探索三角形相似的条件
第十五课:
探索三角形相似的条件
一.选择题(共11小题)
1.(2013•贵阳)如图,M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点,过M点作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,这样的直线共有( )
A.
1条
B.
2条
C.
3条
D.
4条
2.如图,在▱ABCD中,E、F分别是AD、CD边上的点,连接BE、AF,他们相交于G,延长BE交CD的延长线于点H,则图中的相似三角形共有( )
A.
2对
B.
3对
C.
4对
D.
5对
3.如图,在△ABC中.∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则图中相似三角形共有( )
A.
1对
B.
2对
C.
3对
D.
4对
4.下列命题中,是真命题的为( )
A.
锐角三角形都相似
B.
直角三角形都相似
C.
等腰三角形都相似
D.
等边三角形都相似
5.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AFB,连接EF,下列结论中正确的个数有①∠EAF=45°;②△ABE∽△ACD;③AE平分∠CAF;④BE2+DC2=DE2( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
6.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD相交于点O,则下列三角形中,与△BOC一定相似的是( )
A.
△ABD
B.
△DOA
C.
△ACD
D.
△ABO
7.已知△MNP如图所示,则下列四个三角形中与△MNP相似的是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,下列结论一定正确的是( )
A.
AC=BD
B.
△AOB∽△DOC
C.
S△AOB∽S△COD
D.
S△AOB:
S△BOC=AD:
BC
9.如图,AB∥CD,AE∥FD,AE,FD分别交BC于点G,H,则图中共有相似三角形( )
A.
4对
B.
5对
C.
6对
D.
7对
10.在△ABC中,∠C=90°,D是边AB上一点(不与点A,B重合),过点D作直线与另一边相交,使所得的三角形与原三角形相似,这样的直线有( )
A.
1条
B.
2条
C.
3条
D.
4条
11.如图,在矩形ABCD中,E在AD上,EF⊥BE,交CD于F,连接BF,则图中与△ABE一定相似的三角形是( )
A.
△EFB
B.
△DEF
C.
△CFB
D.
△EFB和△DEF
二.填空题(共5小题)
12.(2013•六盘水)如图,添加一个条件:
_________ ,使△ADE∽△ACB,(写出一个即可)
13.(2012•滨州)如图,锐角三角形ABC的边AB,AC上的高线CE和BF相交于点D,请写出图中的两对相似三角形:
_________ (用相似符号连接).
14.如图,△ABD与△AEC都是等边三角形,AB≠AC,下列结论中:
①BE=DC;②∠BOD=60°;③△BOD∽△COE.正确的序号是 _________ .
15.如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=6,点P是AB上一个动点,当PC+PD的和最小时,PB的长为 _________ .
16.在方格纸中,每个小格的顶点称为格点,以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图5×5的方格中,作格点△ABC和△OAB相似(相似比不为1),则点C的坐标是 _________ .
三.解答题(共8小题)
17.(2013•益阳)如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E.求证:
△ABD∽△CBE.
18.(2013•怀化)如图,已知在△ABC与△DEF中,∠C=54°,∠A=47°,∠F=54°,∠E=79°,求证:
△ABC∽△DEF.
19.(2012•菏泽)
(1)如图1,∠DAB=∠CAE,请补充一个条件:
_________ ,使△ABC∽△ADE.
(2)如图2,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=10,OC=8.在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求D,E两点的坐标.
20.已知:
在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BC=2AD,E是BC的中点,连接AE、AC.
(1)点F是DC上一点,连接EF,交AC于点O(如图1),求证:
△AOE∽△COF;
(2)若点F是DC的中点,连接BD,交AE与点G(如图2),求证:
四边形EFDG是菱形.
21.如图,点P在平行四边形ABCD的CD边上,连接BP并延长与AD的延长线交于点Q.
(1)求证:
△DQP∽△CBP;
(2)当△DQP≌△CBP,且AB=8时,求DP的长.
22.如图,Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的,连接CC′交斜边于点E,CC′的延长线交BB′于点F.
(1)证明:
△ACE∽△FBE;
(2)设∠ABC=α,∠CAC′=β,试探索α、β满足什么关系时,△ACE与△FBE是全等三角形,并说明理由.
23.如图,已知OA⊥OB,OA=4,OB=3,以AB为边作矩形ABCD,使AD=a,过点D作DE垂直OA的延长线交于点E.
(1)证明:
△OAB∽△EDA;
(2)当a为何值时,△OAB与△EDA全等?
请说明理由,并求出此时点C到OE的距离.
24.已知:
如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.
(1)求证:
①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;
(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出
(1)中的两个结论是否仍然成立;
(3)在
(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:
△PBD∽△AMN.
参考答案与试题解析
一.选择题(共11小题)
1.(2013•贵阳)如图,M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点,过M点作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,这样的直线共有( )
A.
1条
B.
2条
C.
3条
D.
4条
考点:
相似三角形的判定.菁优网版权所有
分析:
过点M作直线与另一边相交,使所得的三角形与原三角形有一个公共角,只要再作一个直角就可以.
解答:
解:
∵截得的三角形与△ABC相似,
∴过点M作AB的垂线,或作AC的垂线,或作BC的垂线,所得三角形满足题意
∴过点M作直线l共有三条,
故选C.
点评:
本题主要考查三角形相似判定定理及其运用.解题时,运用了两角法(有两组角对应相等的两个三角形相似)来判定两个三角形相似.
2.如图,在▱ABCD中,E、F分别是AD、CD边上的点,连接BE、AF,他们相交于G,延长BE交CD的延长线于点H,则图中的相似三角形共有( )
A.
2对
B.
3对
C.
4对
D.
5对
考点:
相似三角形的判定;平行四边形的性质.菁优网版权所有
专题:
证明题;压轴题.
分析:
根据四边形ABCD是平行四边形,利用相似三角形的判定定理,对各个三角形逐一分析即可.
解答:
解:
∵在▱ABCD中,E、F分别是AD、CD边上的点,连接BE、AF,他们相交于G,延长BE交CD的延长线于点H,
∴△AGB∽△FGH,
△HED∽△HBC,
△HED∽△EBA,
△AEB∽△HBC,共4对.
故选C.
点评:
此题主要考查相似三角形的判定和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握,解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理.
3.如图,在△ABC中.∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则图中相似三角形共有( )
A.
1对
B.
2对
C.
3对
D.
4对
考点:
相似三角形的判定.菁优网版权所有
分析:
根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形.
解答:
解:
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴△ABC∽△ACD,
△ACD∽△CBD,
△ABC∽△CBD,
所以有三对相似三角形.
故选C.
点评:
本题主要考查相似三角形的判定定理:
(1)两角对应相等的两个三角形相似.
(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.(3)三边对应成比例的两个三角形相似.
4.下列命题中,是真命题的为( )
A.
锐角三角形都相似
B.
直角三角形都相似
C.
等腰三角形都相似
D.
等边三角形都相似
考点:
相似三角形的判定.菁优网版权所有
专题:
常规题型;压轴题.
分析:
可根据相似三角形的判定方法进行解答.
解答:
解:
A、锐角三角形的三个内角都小于90°,但不一定都对应相等,故A选项错误;
B、直角三角形的直角对应相等,但两组锐角不一定对应相等,故B选项错误;
C、等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等,故C选项错误;
D、所有的等边三角形三个内角都对应相等(都是60°),所以它们都相似,故D选项正确;
故选:
D.
点评:
此题考查的是相似三角形的判定方法.需注意的是绝对相似的三角形大致有三种:
①全等三角形;②等腰直角三角形;③等边三角形.
5.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AFB,连接EF,下列结论中正确的个数有①∠EAF=45°;②△ABE∽△ACD;③AE平分∠CAF;④BE2+DC2=DE2( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
考点:
相似三角形的判定;全等三角形的判定与性质;勾股定理;旋转的性质.菁优网版权所有
专题:
综合题;压轴题.
分析:
①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF,因为∠BAC=90°,∠DAE=45°,所以∠CAD+∠BAE=45°,可得∠EAF=45°;
②因为∠CAD与∠BAE不一定相等,所以△ABE与△ACD不一定相似;
③根据SAS可证△ADE≌△AFE,得∠AED=∠AEF;DE=EF;
④BF=CD,EF=DE,∠FBE=90°,根据勾股定理判断.
解答:
解:
①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF.
∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,
∴∠CAD+∠BAE=45°.
∴∠EAF=45°,故①正确;
②因为∠CAD与∠BAE不一定相等,所以△ABE与△ACD不一定相似,故②错误;
③∵AF=AD,∠FAE=∠DAE=45°,AE=AE,
∴△ADE≌△AFE,得∠AED=∠AEF,
即AE平分∠DAF,故③错误;
④∵∠FBE=45°+45°=90°,
∴BE2+BF2=EF2(勾股定理),
∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AFB,∴△AFB≌△ADC,∴BF=CD,
又∵EF=DE,
∴BE2+CD2=DE2(等量代换).故④正确.
故选B.
点评:
此题主要考查图形的旋转变换,解题时注意旋转前后对应的相等关系.
6.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD相交于点O,则下列三角形中,与△BOC一定相似的是( )
A.
△ABD
B.
△DOA
C.
△ACD
D.
△ABO
考点:
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分析:
根据平行线定理可得∠OBC=∠ODA,∠OCB=∠OAD,∠AOD=∠BOC,即可判定△BOC∽△DOA,即可解题.
解答:
解:
∵AD∥BC,
∴∠OBC=∠ODA,∠OCB=∠OAD,
∵∠AOD=∠BOC,
∴△BOC∽△DOA,
故选B.
点评:
本题考查了相似三角形的证明,考查了平行线定理,本题中求证△BOC∽△DOA是解题的关键.
7.已知△MNP如图所示,则下列四个三角形中与△MNP相似的是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
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分析:
△MNP是等腰三角形,底角是75°,则顶角是30°,看各个选项是否符合相似的条件.
解答:
解:
第三个图与△MNP三角对应相等,所以两个三角形相似.故选C.
点评:
本题考查了等腰三角形的性质,以及相似三角形的判定方法.
8.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,下列结论一定正确的是( )
A.
AC=BD
B.
△AOB∽△DOC
C.
S△AOB∽S△COD
D.
S△AOB:
S△BOC=AD:
BC
考点:
相似三角形的判定;梯形.菁优网版权所有
专题:
证明题;压轴题.
分析:
根据AD∥BC,则△AOD∽△BOC,根据相似三角形的性质.得出
=
,则S△AOB:
S△BOC=AD:
BC.
解答:
解:
∵AD∥BC,
∴△AOD∽△BOC,
∴
=
,
∵S△AOB:
S△BOC=△AOB的边OB上的高:
△OBC的边OB上的高.
∴S△AOB:
S△BOC=AD:
BC.
故选D.
点评:
本题考查了相似三角形的判定和性质,以及梯形的性质,相似三角形的对应边的比等于对应边上的高之比.
9.如图,AB∥CD,AE∥FD,AE,FD分别交BC于点G,H,则图中共有相似三角形( )
A.
4对
B.
5对
C.
6对
D.
7对
考点:
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分析:
根据平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似,则图中△BFH、△BAG、△CEG、△CDH任意两个三角形都相似.
解答:
解:
∵AB∥CD,AE∥DF;
∴△BFH∽△BAG
△BAG∽△CEG
△BFH∽△CEG
△BFH∽△CDH
△CEG∽△CDH
△CDH∽△BAG.
∴相似三角形共有6对.
故选C.
点评:
本题主要考查平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似,以及n个图形任意两个都相似,共有几对相似的计算方法.
10.在△ABC中,∠C=90°,D是边AB上一点(不与点A,B重合),过点D作直线与另一边相交,使所得的三角形与原三角形相似,这样的直线有( )
A.
1条
B.
2条
C.
3条
D.
4条
考点:
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专题:
压轴题;分类讨论.
分析:
过点D作直线与另一边相交,使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角,只要再作一个直角就可以.
解答:
解:
过点D作AB的垂线,或作AC的垂线,作BC的垂线共三条直线,故选C.
点评:
本题主要考查三角形相似的条件,有两个角相等的三角形相似.
11.如图,在矩形ABCD中,E在AD上,EF⊥BE,交CD于F,连接BF,则图中与△ABE一定相似的三角形是( )
A.
△EFB
B.
△DEF
C.
△CFB
D.
△EFB和△DEF
考点:
相似三角形的判定;矩形的性质.菁优网版权所有
分析:
本题主要应用两三角形相似的判定定理,有两个对应角相等的三角形相似,做题即可.
解答:
解:
∵ABCD是矩形
∴∠A=∠D
∵EF⊥BE
∴∠AEB+∠DEF=90°
∵∠DEF+∠DFE=90°
∴∠AEB=∠DFE
∴△ABE∽△DEF.
故选B.
点评:
此题考查有两组角对应相等的两个三角形相似的应用.
二.填空题(共5小题)
12.(2013•六盘水)如图,添加一个条件:
∠ADE=∠ACB(答案不唯一) ,使△ADE∽△ACB,(写出一个即可)
考点:
相似三角形的判定.菁优网版权所有
专题:
开放型.
分析:
相似三角形的判定有三种方法:
①三边法:
三组对应边的比相等的两个三角形相似;
②两边及其夹角法:
两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;
③两角法:
有两组角对应相等的两个三角形相似.
由此可得出可添加的条件.
解答:
解:
由题意得,∠A=∠A(公共角),
则可添加:
∠ADE=∠ACB,利用两角法可判定△ADE∽△ACB.
故答案可为:
∠ADE=∠ACB.
点评:
本题考查了相似三角形的判定,解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法,本题答案不唯一.
13.(2012•滨州)如图,锐角三角形ABC的边AB,AC上的高线CE和BF相交于点D,请写出图中的两对相似三角形:
△BDE∽△CDF,△ABF∽△ACE (用相似符号连接).
考点:
相似三角形的判定.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
要找相似三角形,就要用到相似三角形的判定方法:
由高线可得一对直角相等,再找一对相等角就可以了.
解答:
解:
(1)在△BDE和△CDF中
∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD=90°
∴△BDE∽△CDF
(2)在△ABF和△ACE中
∵∠A=∠A,∠AFB=∠AEC=90°
∴△ABF∽△ACE
点评:
熟练掌握相似三角形判定方法.
14.如图,△ABD与△AEC都是等边三角形,AB≠AC,下列结论中:
①BE=DC;②∠BOD=60°;③△BOD∽△COE.正确的序号是 ①② .
考点:
相似三角形的判定;全等三角形的判定与性质.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
利用△ABD、△AEC都是等边三角形,求证△DAC≌△BAE,然后即可得出BE=DC.利用三角形的内角和即可得出②是正确的,不能证明③.
解答:
解:
∵△ABD、△AEC都是等边三角形,
∴AD=AB,AE=AC,∠DAB=∠CAE=60°,
∴∠DAC=∠BAC+60°,
∠BAE=∠BAC+60°,
∴∠DAC=∠BAE,
∴△DAC≌△BAE,
∴BE=DC.
∴∠ADC=∠ABE,
∵∠BOD+∠BDO+∠DBO=180°,
∴∠BOD=180°﹣∠BDO﹣∠DBO
=180°﹣(60°﹣∠ADC)﹣(60°+∠ABE)=60°,
∵△DAC≌△BAE,
∴∠ADC=∠ABE,∠AEB=∠ACD,
∵∠DBO=∠ABD+∠ABE=60°+∠ABE,∠OCE=∠ACE+∠ACO=60°+∠ACD,
∵∠ABE≠∠ACD,
∴∠DBO≠∠OCE,
∴两个三角形的最大角不相等,
∴△BOD不相似于△COE;
故答案为:
①②.
点评:
此题考查学生对全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质的理解与掌握,难度不大,是一道基础题.
15.如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=6,点P是AB上一个动点,当PC+PD的和最小时,PB的长为 3 .
考点:
相似三角形的判定;轴对称-最短路线问题.菁优网版权所有
专题:
几何图形问题;压轴题.
分析:
要求PC+PD的和的最小值,PC,PD不能直接求,可考虑通过作辅助线转化PC,PD的值,从而找出其最小值求解.
解答:
解:
延长CB到E,使EB=CB,连接DE交AB于P.则DE就是PC+PD的和的最小值.
∵AD∥BE,
∴∠A=∠PBE,∠ADP=∠E,
∴△ADP∽△BEP,
∴AP:
BP=AD:
BE=4:
6=2:
3,
∴PB=
PA,
又∵PA+PB=AB=5,
∴PB=
AB=3.
点评:
考查相似三角形的判定及性质和轴对称等知识的综合应用.
16.在方格纸中,每个小格的顶点称为格点,以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图5×5的方格中,作格点△ABC和△OAB相似(相似比不为1),则点C的坐标是 (4,0)或(3,2) .
考点:
坐标与图形性质;相似三角形的判定.菁优网版权所有
专题:
压轴题;网格型.
分析:
△ABC和△OAB相似,并且AB=
,OA=2,OB=1,△ABC和△OAB相似应分两种情况讨论,当△BCA∽△OAB时和当△ABC∽△OBA时,根据相似三角形的性质求得AC,BC的值后,分别以A,B为圆心,AC,BC为半径作圆,两圆的交点即为C,易得到点C的坐标.
解答:
解:
△ABC和△OAB相似,并且AB=
,OA=2,OB=1,△ABC和△OAB相似应分两种情况讨论,
当△BCA∽△OAB时,
=
=
,
即
=
=
,
解得AC=5,BC=2
,
分别以A,B为圆心,5,2
为半径作圆,两圆的交点C的坐标是(3,2);
同理当△ABC∽△OBA时,圆心坐标是(4,0).
故本题答案为:
(4,0)或(3,2).
点评:
分两种情况进行讨论,理解圆心是圆的弦的垂直平分线的交点是解决本题的关键.
三.解答题(共8小题)
17.如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E.求证:
△ABD∽△CBE.
考点:
相似三角形的判定.菁优网版权所有
专题:
证明题;压轴题.
分析:
根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC,然后求出∠ADB=∠CEB=90°,再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明.
解答:
证明:
在△ABC中,AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,
∵CE⊥AB,
∴∠ADB=∠CEB=90°,
又∵∠B=∠B,
∴△ABD∽△CBE.
点评:
本题考查了相似三角形的判定,等腰三角形三线合一的性质,比较简单,确定出两组对应相等的角是解题的关键.
18.(2013•怀化)如图,已知在△ABC与△DEF中,∠C=54°,∠A=47°,∠F=54°,∠E=79°,求证:
△ABC∽△DEF.
考点:
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专题:
证明题.
分析:
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