初中数学不等式与不等式组提高题与常考题和培优题.docx
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初中数学不等式与不等式组提高题与常考题和培优题
初中数学不等式与不等式组提高题与常考题和培优题(含解析)
一.选择题(共13小题)
1.已知a>b,下列关系式中一定正确的是( )
A.a2<b2B.2a<2bC.a+2<b+2D.﹣a<﹣b
2.不等式2x+3>3x+2的解集在数轴上表示正确的是( )
A.B.C.D.
3.若关于x的不等式3﹣x>a的解集为x<4,则关于m的不等式2m+3a<1的解为( )
A.m<2B.m>1C.m>﹣2D.m<﹣1
4.关于x的不等式x﹣b≥0恰有两个负整数解,则b的取值范围是( )
A.﹣3<b<﹣2B.﹣3<b≤﹣2C.﹣3≤b≤﹣2D.﹣3≤b<﹣2
5.不等式组的最小整数解是( )
A.0B.﹣1C.﹣2D.3
6.已知点P(1﹣2a,a+3)在第二象限,则a的取值范围是( )
A.a<﹣3B.a>C.﹣<a<3D.﹣3<a<
7.不等式组的整数解的个数是( )
A.4B.5C.6D.无数个
8.已知且﹣1<x﹣y<0,则k的取值范围为( )
A.﹣1<k<﹣B.<k<1C.0<k<1D.0<k<
9.不等式组的解集,在数轴上表示正确的是( )
A.B.C.D.
10.当0<x<1时,x2、x、的大小顺序是( )
A.x2B.<x<x2C.<xD.x<x2<
11.三个连续正整数的和小于39,这样的正整数中,最大一组的和是( )
A.39B.36C.35D.34
12.“一方有难,八方支援”,雅安芦山4•20地震后,某单位为一中学捐赠了一批新桌椅,学校组织初一年级200名学生搬桌椅.规定一人一次搬两把椅子,两人一次搬一张桌子,每人限搬一次,最多可搬桌椅(一桌一椅为一套)的套数为( )
A.60B.70C.80D.90
13.运行程序如图所示,规定:
从“输入一个值x”到“结果是否>95”为一次程序操作,如果程序操作进行了三次才停止,那么x的取值范围是( )
A.x≥11B.11≤x<23C.11<x≤23D.x≤23
二.填空题(共12小题)
14.不等式组的解集是 .
15.不等式5x﹣3<3x+5的所有正整数解的和是 .
16.若关于x的不等式3m﹣2x<5的解集是x>3,则实数m的值为 .
17.若不等式x<2的解集都能使关于x的一次不等式(a﹣3)x<a+5成立,则a的取值范围是 .
18.若关于x的一元一次不等式组有解,则a的取值范围是 .
19.在实数范围内规定新运算“△”,其规则是:
a△b=2a﹣b.已知不等式x△k≥1的解集在数轴上如图表示,则k的取值范围是 .
20.已知满足不等式3(x﹣2)+5<4(x﹣1)+6的最小整数解是方程:
2x﹣ax=3的解,则a的值为 .
21.关于x的不等式组的解集为x<3,那么m的取值范围是 .
22.已知x=2是不等式ax﹣3a+2≥0的解,且x=1不是这个不等式的解,则实数a的取值范围是 .
23.四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为P,Q,R,S,如下图所示,则他们的体重从小到大是(用“<”号连接) .
24.下列判断中,正确的序号为 .
①若﹣a>b>0,则ab<0;②若ab>0,则a>0,b>0;③若a>b,c≠0,则ac>bc;④若a>b,c≠0,则ac2>bc2;⑤若a>b,c≠0,则﹣a﹣c<﹣b﹣c.
25.小菲受《乌鸦喝水》故事的启发,利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作,请根据图中给出的信息,量筒中至少放入 小球时有水溢出.
三.解答题(共15小题)
26.解不等式﹣1≤,并把解集在数轴上表示出来.
27.解不等式组:
.
28.x取哪些整数值时,不等式5x+2>3(x﹣1)与x≤2﹣都成立?
29.已知关于x的不等式组有四个整数解,求实数a的取值范围.
30.已知关于x,y的方程组的解满足不等式组,求满足条件的m的整数值.
31.已知x=3是关于x的不等式的解,求a的取值范围.
32.已知关于x、y的方程组的解满足不等式x+y<3,求实数a的取值范围.
33.关于x的两个不等式①<1与②1﹣3x>0
(1)若两个不等式的解集相同,求a的值;
(2)若不等式①的解都是②的解,求a的取值范围.
34.解不等式组.把不等式组的解集在数轴上表示出来,并写出不等式组的非负整数解.
35.某商场用36万元购进A、B两种商品,销售完后共获利6万元,其进价和售价如下表:
A
B
进价(元/件)
1200
1000
售价(元/件)
1380
1200
(1)该商场购进A、B两种商品各多少件;
(2)商场第二次以原进价购进A、B两种商品.购进B种商品的件数不变,而购进A种商品的件数是第一次的2倍,A种商品按原售价出售,而B种商品打折销售.若两种商品销售完毕,要使第二次经营活动获利不少于81600元,B种商品最低售价为每件多少元?
36.某中学为了绿化校园,计划购买一批榕树和香樟树,经市场调查榕树的单价比香樟树少20元,购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元.
(1)请问榕树和香樟树的单价各多少?
(2)根据学校实际情况,需购买两种树苗共150棵,总费用不超过10840元,且购买香樟树的棵树不少于榕树的倍,请你算算,该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案.
37.某电器商场销售A、B两种型号计算器,两种计算器的进货价格分别为每台30元,40元,商场销售5台A型号和1台B型号计算器,可获利润76元;销售6台A型号和3台B型号计算器,可获利润120元.
(1)求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元?
(利润=销售价格﹣进货价格)
(2)商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台,问最少需要购进A型号的计算器多少台?
38.某工程机械厂根据市场需求,计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台,该厂所筹生产资金不少于22400万元,但不超过22500万元,且所筹资金全部用于生产此两种型号挖掘机,所生产的此两种型号挖掘机可全部售出,此两型挖掘机的生产成本和售价如下表:
型号
A
B
成本(万元/台)
200
240
售价(万元/台)
250
300
(1)该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案?
(2)该厂如何生产能获得最大利润?
(3)根据市场调查,每台B型挖掘机的售价不会改变,每台A型挖掘机的售价将会提高m万元(m>0),该厂应该如何生产获得最大利润?
(注:
利润=售价﹣成本)
39.暑期中,哥哥和弟弟二人分别编织28个中国结,已知弟弟单独编织一周(7天)不能完成,而哥哥单独编织不到一周就已完成.哥哥平均每天比弟弟多编2个.
求:
(1)哥哥和弟弟平均每天各编多少个中国结?
(答案取整数)
(2)若弟弟先工作2天,哥哥才开始工作,那么哥哥工作几天,两人所编中国结数量相同?
40.冷饮店每天需配制甲、乙两种饮料共50瓶,已知甲饮料每瓶需糖14克,柠檬酸5克,乙饮料每瓶需糖6克,柠檬酸10克,现有糖500克,柠檬酸400克.
(1)请计算有几种配制方案能满足冷饮店的要求;
(2)冷饮店对两种饮料上月的销售情况作了统计,结果如下表,请你根据这些统计数据确定一种比较合理的配制方案,并说明理由.
两种饮料的日销量
甲
10
12
14
16
21
25
30
38
40
50
乙
40
38
36
34
29
25
20
12
10
0
天数
3
4
4
4
8
1
1
1
2
2
初中数学一元一次不等式提高题与常考题和培优题(含解析)
参考答案与试题解析
一.选择题(共13小题)
1.(2017•青浦区一模)已知a>b,下列关系式中一定正确的是( )
A.a2<b2B.2a<2bC.a+2<b+2D.﹣a<﹣b
【分析】根据不等式的性质分别进行判断,即可求出答案.
【解答】解:
A,a2<b2,错误,例如:
2>﹣1,则22>(﹣1)2;
B、若a>b,则2a>2b,故本选项错误;
C、若a>b,则a+2>b+2,故本选项错误;
D、若a>b,则﹣a<﹣b,故本选项正确;
故选:
D.
【点评】此题考查了不等式的性质,掌握不等式的性质是解题的关键,不等式的基本性质:
(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
2.(2017•朝阳区校级一模)不等式2x+3>3x+2的解集在数轴上表示正确的是( )
A.B.C.D.
【分析】先根据不等式的性质求出此不等式的解集,再根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可求解.
【解答】解:
2x+3>3x+2,
解得x<1,
故选D.
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集,用数轴表示不等式的解集时,要注意“两定”:
一是定界点,一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意,点是实心还是空心,若边界点含于解集为实心点,不含于解集即为空心点;二是定方向,定方向的原则是:
“小于向左,大于向右”.也考查了解不等式.
3.(2017•邢台县一模)若关于x的不等式3﹣x>a的解集为x<4,则关于m的不等式2m+3a<1的解为( )
A.m<2B.m>1C.m>﹣2D.m<﹣1
【分析】首先求出不等式的解集,与x<4比较,就可以得出a的值,然后解不等式即可.
【解答】解:
解不等式3﹣x>a,
得x<3﹣a,
又∵此不等式的解集是x<4,
∴3﹣a=4,
∴a=﹣1,
∴关于m的不等式为2m﹣3<1,
解得m<2.
故选A.
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的解法.解一元一次不等式的一般步骤是:
去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1.
4.(2017•兴化市校级一模)关于x的不等式x﹣b≥0恰有两个负整数解,则b的取值范围是( )
A.﹣3<b<﹣2B.﹣3<b≤﹣2C.﹣3≤b≤﹣2D.﹣3≤b<﹣2
【分析】解不等式可得x≥b,根据不等式的两个负整数解为﹣1、﹣2即可得b的范围.
【解答】解:
解不等式x﹣b≥0得x≥b,
∵不等式x﹣b≥0恰有两个负整数解,
∴不等式的两个负整数解为﹣1、﹣2,
∴﹣3<b≤﹣2,
故选:
B.
【点评】本题考查了不等式的正整数解,解题的关键是注意能根据整数解的具体数值,找出不等式解集的具体取值范围.
5.(2017•茂县一模)不等式组的最小整数解是( )
A.0B.﹣1C.﹣2D.3
【分析】首先解不等式组确定不等式组的解集,即可确定不等式组的最小整数解.
【解答】解:
解不等式
(1)得:
x>﹣,
则不等式组的解集是:
﹣<x≤3,
故最小的整数解是:
﹣1.
故选B.
【点评】本题主要考查了不等式组的整数解的确定,关键是正确解得不等式组的解集.
6.(2017•南雄市校级模拟)已知点P(1﹣2a,a+3)在第二象限,则a的取值范围是( )
A.a<﹣3B.a>C.﹣<a<3D.﹣3<a<
【分析】根据第二象限内点的横坐标小于零,纵坐标大于零,可得不等式组,根据解不等式组,可得答案.
【解答】解:
由点P(1﹣2a,a+3)在第二象限,得.
解得a>,
故选B.
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:
第一象限(+,+);第二象限(﹣,+);第三象限(﹣,﹣);第四象限(+,﹣).
7.(2017•邢台县一模)不等式组的整数解的个数是( )
A.4B.5C.6D.无数个
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集,然后求出其公共解集,最后求其整数解即可.
【解答】解:
,
由①得:
x>﹣2,
由②得:
x≤4.
则不等式组的解集是:
﹣2<x≤4.
则整数解是:
﹣1,0,1,2,3,4共6个.
故选C.
【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集,应遵循以下原则:
同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.
8.(2017春•萧山区校级月考)已知且﹣1<x﹣y<0,则k的取值范围为( )
A.﹣1<k<﹣B.<k<1C.0<k<1D.0<k<
【分析】先根据方程组将两式相减,得到x﹣y=1﹣2k,再代入﹣1<x﹣y<0,得到关于k的不等式组,进而得出k的取值范围.
【解答】解:
∵
∴(2x+y)﹣(x+2y)=(2k+1)﹣4k,
∴x﹣y=1﹣2k,
又∵﹣1<x﹣y<0,
∴﹣1<1﹣2k<0,
解得<k<1.
故选:
B.
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组以及解二元一次方程组,解决问题的关键是根据方程组求得x﹣y=1﹣2k,运用整体思想进行代入计算.
9.(2016•临沂)不等式组的解集,在数轴上表示正确的是( )
A.B.C.D.
【分析】解出不等式组的解集,即可得到哪个选项是正确的,本题得以解决.
【解答】解:
由①,得x<4,
由②,得x≤﹣3,
由①②得,原不等式组的解集是x≤﹣3;
故选A.
【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集,解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法.
10.(2016•大庆)当0<x<1时,x2、x、的大小顺序是( )
A.x2B.<x<x2C.<xD.x<x2<
【分析】先在不等式0<x<1的两边都乘上x,再在不等式0<x<1的两边都除以x,根据所得结果进行判断即可.
【解答】解:
当0<x<1时,
在不等式0<x<1的两边都乘上x,可得0<x2<x,
在不等式0<x<1的两边都除以x,可得0<1<,
又∵x<1,
∴x2、x、的大小顺序是:
x2<x<.
故选A
【点评】本题主要考查了不等式,解决问题的关键是掌握不等式的基本性质.不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即:
若a>b,且m>0,那么am>bm或>.
11.(2016•遵义)三个连续正整数的和小于39,这样的正整数中,最大一组的和是( )
A.39B.36C.35D.34
【分析】设三个连续正整数分别为x﹣1,x,x+1,列出不等式即可解决问题.
【解答】解:
设三个连续正整数分别为x﹣1,x,x+1.
由题意(x﹣1)+x+(x+1)<39,
∴x<13,
∵x为整数,
∴x=12时,三个连续整数的和最大,
三个连续整数的和为:
11+12+13=36.
故选B.
【点评】本题考查一元一次不等式的应用,解题的关键是构建不等式解决问题,属于中考常考题型.
12.(2016•雅安)“一方有难,八方支援”,雅安芦山4•20地震后,某单位为一中学捐赠了一批新桌椅,学校组织初一年级200名学生搬桌椅.规定一人一次搬两把椅子,两人一次搬一张桌子,每人限搬一次,最多可搬桌椅(一桌一椅为一套)的套数为( )
A.60B.70C.80D.90
【分析】设可搬桌椅x套,即桌子x张、椅子x把,则搬桌子需2x人,搬椅子需人,根据总人数列不等式求解可得.
【解答】解:
设可搬桌椅x套,即桌子x张、椅子x把,则搬桌子需2x人,搬椅子需人,
根据题意,得:
2x+≤200,
解得:
x≤80,
∴最多可搬桌椅80套,
故选:
C.
【点评】本题主要考查一元一次不等式的应用能力,设出桌椅的套数,表示出搬桌子、椅子的人数是解题的关键.
13.(2016•潍坊)运行程序如图所示,规定:
从“输入一个值x”到“结果是否>95”为一次程序操作,如果程序操作进行了三次才停止,那么x的取值范围是( )
A.x≥11B.11≤x<23C.11<x≤23D.x≤23
【分析】根据运算程序,前两次运算结果小于等于95,第三次运算结果大于95列出不等式组,然后求解即可.
【解答】解:
由题意得,,
解不等式①得,x≤47,
解不等式②得,x≤23,
解不等式③得,x>11,
所以,x的取值范围是11<x≤23.
故选C.
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用,读懂题目信息,理解运输程序并列出不等式组是解题的关键.
二.填空题(共12小题)
14.(2016•广东)不等式组的解集是 ﹣3<x≤1 .
【分析】分别解两个不等式得到x≤1和x>﹣3,然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集.
【解答】解:
,
解①得x≤1,
解②得x>﹣3,
所以不等式组的解集为﹣3<x≤1.
故答案为﹣3<x≤1.
【点评】本题考查了解一元一次不等式组:
解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律:
同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.
15.(2016•新县校级模拟)不等式5x﹣3<3x+5的所有正整数解的和是 6 .
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集,再根据不等式的解集找出所有正整数解即可.
【解答】解:
移项,得:
5x﹣3x<5+3,
合并同类项,得:
2x<8,
系数化为1,得:
x<4,
∴不等式所有正整数解得和为:
1+2+3=6,
故答案为:
6.
【点评】本题考查了不等式的性质,解一元一次不等式,一元一次不等式的整数解的应用,解此题的关键是求出不等式的解集.
16.(2017春•萧山区月考)若关于x的不等式3m﹣2x<5的解集是x>3,则实数m的值为 .
【分析】根据解不等式,可得不等式的解集,根据不等式的解集,可得关于m的方程,根据解方程,可得答案.
【解答】解:
解3m﹣2x<5,得
x>.
由不等式的解集,得
=3.
解得m=.
故答案为:
.
【点评】本题考查了不等式的解集,利用不等式的解集得出关于m的方程是解题关键.
17.(2016•郑州校级模拟)若不等式x<2的解集都能使关于x的一次不等式(a﹣3)x<a+5成立,则a的取值范围是 3<a≤ .
【分析】先求出x的取值范围,再由不等式的基本性质即可得出a的取值范围.
【解答】解:
解不等式x<2得,x<4.
∵不等式x<2的解集都能使关于x的一次不等式(a﹣3)x<a+5成立,
∴,解得3<a≤.
故答案为:
3<a≤.
【点评】本题考查的是不等式的解集,根据题意得出关于a的不等式组是解答此题的关键.
18.(2016•如皋市校级二模)若关于x的一元一次不等式组有解,则a的取值范围是 a<1 .
【分析】不等式组中两不等式分别求出解集,由不等式组有解确定出a的范围即可.
【解答】解:
不等式整理得:
,
由不等式有解,得到a<1,
则a的范围是a<1,
故答案为:
a<1
【点评】此题考查了不等式的解集,熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键.
19.(2016•杭州模拟)在实数范围内规定新运算“△”,其规则是:
a△b=2a﹣b.已知不等式x△k≥1的解集在数轴上如图表示,则k的取值范围是 k=﹣3 .
【分析】根据新运算法则得到不等式2x﹣k≥1,通过解不等式即可求k的取值范围,结合图象可以求得k的值.
【解答】解:
根据图示知,已知不等式的解集是x≥﹣1.
则2x﹣1≥﹣3
∵x△k=2x﹣k≥1,
∴2x﹣1≥k且2x﹣1≥﹣3,
∴k=﹣3.
故答案是:
k=﹣3.
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
20.(2016•乌审旗模拟)已知满足不等式3(x﹣2)+5<4(x﹣1)+6的最小整数解是方程:
2x﹣ax=3的解,则a的值为 .
【分析】首先解不等式求得不等式的解集,然后确定解集中的最小整数值,代入方程求得a的值即可.
【解答】解:
解不等式3(x﹣2)+5<4(x﹣1)+6,
去括号,得:
3x﹣6+5<4x﹣4+6,
移项,得3x﹣4x<﹣4+6+6﹣5,
合并同类项,得﹣x<3,
系数化成1得:
x>﹣3.
则最小的整数解是﹣2.
把x=﹣2代入2x﹣ax=3得:
﹣4+2a=3,
解得:
a=.
故答案是:
.
【点评】本题考查了一元一次不等式的解法以及方程的解的定义,正确解不等式求得x的值是关键.
21.(2016•包头二模)关于x的不等式组的解集为x<3,那么m的取值范围是 m≥3 .
【分析】首先解第一个不等式,然后根据不等式组的解集即可确定m的范围.
【解答】解:
,
解①得x<3,
∵不等式组的解集是x<3,
∴m≥3.
故答案是:
m≥3.
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,解集的规律:
同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.
22.(2016春•扬州校级期末)已知x=2是不等式ax﹣3a+2≥0的解,且x=1不是这个不等式的解,则实数a的取值范围是 1<a≤2 .
【分析】根据x=2是不等式ax﹣3a+2≥0的解,且x=1不是这个不等式的解,列出不等式,求出解集,即可解答.
【解答】解:
∵x=2是不等式ax﹣3a+2≥0的解,
∴2a﹣3a+2≥0,
解得:
a≤2,
∵x=1不是这个不等式的解,
∴a﹣3a+2<0,
解得:
a>1,
∴1<a≤2,
故答案为:
1<a≤2.
【点评】本题考查了不等式的解集,解决本题的关键是求不等式的解集.
23.(2016春•召陵区期末)四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为P,Q,R,S,如下图所示,则他们的体重从小到大是(用“<”号连接) S>P>R>Q .
【分析】由图一、二得,S>P>R,则S﹣P>0,由图三得,P+R>Q+S,则S﹣P<R﹣Q,所以,R﹣Q>0,即R>Q;即可解答.
【解答】解:
由图一、二得,S>P>R,
∴S﹣P>0,
由图三得,P+R>Q+S,
∴S﹣P<R﹣Q,
∴R﹣Q>0,
∴R>Q;
综上,S>P>R>Q.
故答案为:
S>P>R>Q.
【点评】本题主要考查了不等式的性质,①不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变;②不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;③不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
24.(2016春•济南校级期末)下列判断中,正确的序号为 ①④⑤ .
①若﹣a>b>0,则ab<0;②若ab>0,则a>0,b>0;③若a>b,c≠0,则ac>bc;④若a>b,c≠0,则ac2>bc2;⑤若a>b,c≠0,则﹣a﹣c<﹣b﹣c.
【分析】①若﹣a>b>0,则a<0,b>0,所以ab<0,据此判断即可.
②若ab>0,则a>0,b>0或a<0,b<0,据此判断即可.
③若a>b,c≠0,则c>0时,ac>bc;c<0时,ac<bc;据此判断即可.
④若a>b,c≠0,则c2>0,所以ac2>bc2,据此判断即可.
⑤若a>b,c≠0,则﹣a<﹣b,所以﹣a﹣c<﹣b﹣c,据此解答即可.
【解答】解:
∵﹣a>b>0,
∴a<0,b>0,
∴ab<0,①正确;
∵ab>0,
∴a>0,b>0或a<0,b<0,②错误;
∵a>b,c≠0,
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