第28章圆导学案.docx

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第28章圆导学案

第28章圆导学案

全章引入：

问题背景

章前分析：

地位和功能：

是平面几何的进一步深化，这部分内容可以把三角形，四边形，全等和相似，坐标系与函数综合起来；是考察思维能力的好题型；是中考必考点，但难度一般中等。

主要基础知识：

一、圆的概念和性质:

1、圆的有关概念，2、圆的对称性

二、过三点的圆:

1、不在同一条直线上的三点确定一个圆

2、三角形的外接圆和外心

三、圆心角和圆周角:

1、圆心角的概念和性质，2、圆周角及其性质

3、园内接多边形

四、垂径定理:

1、垂径定理，2、垂径定理的推论，

五、弧长和面积的计算:

1、弧长公式，2、扇形面积公式，

3、圆锥侧面积和全面积，

本章重点:

准确的理解圆的有关概念，熟练地利用圆的有关性质、弧长和扇形面积公式进行计算推理证明

多关注：

灵活的利用圆的有关性质、公式进行操作，探求规律，解决问题。

学法建议：

1、注意自己的思维过程：

观察思考归纳推理证明总结规律应用推广

2、做到温故而知新：

要及时复习前面的平面几何知识和勾股定理，三角函数，代数知识，

不然寸步难行。

3、理解圆的有关概念时，要结合图形，实物，生活情境，理解透彻，用起来顺。

4、在探索圆的有关性质的过程中，自己主动对图形变换操作发现规律，然后再推理证明结

论的正确性。

5、思考观察问题要全面，注意分类讨论。

6、对计算公式，一定要理解公式的演变过程和推导过程。

课题：

圆的概念和性质

（一）

上课教师：

许国祥　授课时间：

　班级：

9（1、2）课代表姓名：

马、郑小组：

18

[引入]车轮为什么是圆的?

【全节学习目标】

知识与技能：

1．能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等；

2．认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；

3．能说出等弦、等弧之间的关系，能灵进行有关计算和证明。

过程与方法：

1．通过观察、思考、归纳和概括建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念；

2．通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法；

情感态度价值观：

体会“从一般到特殊”的数学思想方法及在解决问题的过程中与他人合作的重要性。

【重点难点预测】重点：

（1）揭示与圆有关的本质属性；难点：

通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法；

【课前预习案】一、

1.如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能，那么这个图形就是，这条直线就是它的.

2.如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形，那么这两个图形成，这条直线就是，

折叠后重合的对应点就是。

3.如果两个图形关于对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的.

4.把一个图形绕着某一个点旋转°，如果旋转后的图形能够与原来的图形，那么这个图形叫做图形，

这个点就是它的．

5.把一个图形绕着某一个点旋转°，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于这个点，这个点叫做．这两个图形中的对应点叫做关于中心的．

6.关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过，而且被对称中心所．关于中心对称的两个图形是图形.

7.两个点关于原点对称时，它们的坐标符号，即点

关于原点的对称点

为.

二、

1.1周角＝_______，1平角＝_______,1直角＝_______．

2.如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果________互为补角，__________________的补角相等.

3.___________________________________叫对顶角，对顶角___________.

4.平行线的性质：

两直线平行，_________相等，________相等，________互补.

5.平行线的判定：

________相等,或______相等,或______互补，两直线平行.

6.平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直.

7．线段的垂直平分线：

性质：

线段垂直平分线上的到这条线段的的距离相等；

判定：

到线段的点在线段的垂直平分线上。

8.角的平分线：

性质：

角平分线上的点到角相等；

判定：

到角的点在这个角的平分线上。

三、

1．三角形按角分为_____________三角形_，_____________三角形_，____________三角形_．

2．三角形按边分为_______________三角形,__________________.三角形

3．三角形中任意两边之和____第三边，两边之差_____第三边

4．三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：

__________________．

5．___________________________________叫三角形的中位线．

6．中位线的性质：

____________________________________________．

7．三角形三条中位线将三角形分成四个面积相等的全等三角形。

8．角平分线：

三角形的角平分线交于一点，这点叫三角形的内心，它到三角形三边的距离

，内心也是三角形内切圆的圆心。

9．三角形的中线、高线、角平分线都是____________．（线段、射线、直线）

10.等腰三角形的两底角__________；

11.等腰三角形底边上的______、底边上的________和顶角的_______互相重合（三线合一）；

12.有两个角相等的三角形是_________．

13.等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；

14.三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．

15.直角三角形两锐角________．

16.直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．

17.直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；

18.勾股定理：

_________________________________________．

19.勾股定理的逆定理：

_________________________________________________．

四、

1．全等三角形:

____________、______________的三角形叫全等三角形.

2.三角形全等的判定方法有:

_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.

3.全等三角形的性质：

全等三角形___________，____________.

4.全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等.

5．证明三角形全等的思路：

找夹角

（1）已知两边找直角

找

边为角的对边时，找

（2）已知一边一角找夹角的另一边

边为角的邻边时，找夹边的

找边的对角

找

（3）已知两角

找任意一边

五、

1．三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．

2．相似三角形的判定方法

⑴若DE∥BC（A型和X型）则______________．

⑵射影定理：

若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）

则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=______．

⑶两个角对应相等的两个三角形__________．

⑷两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．

⑸三边对应成比例的两个三角形___________．

3．相似三角形的性质

⑴相似三角形的对应边_________，对应角________．

⑵相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．

⑶相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______线的比等于_______比，周长之比也等于________比，

面积比等于_________．

【学法指导】温故知新，观察，操作，思考，归纳，概括形成概念，记住概念，探索性质。

【学习过程】

一、自主学习：

（一）读教材后，1、回答引题（课件）A

2、你在纸上画一个圆O

r然后填空：

在一个平面上到定点O的距离等于定长（OA的长）的所有点组成的图形叫做．

定点O叫做,定长线段OA叫做圆的，以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作．3、定义圆的的有关概念

连结圆上任意两点A、C的线段叫做，

经过圆心的弦（如图中的AB）叫做．圆上任意两点间的部分叫做，简称弧．以A、B为端点的弧记作，读作“圆

弧AB”或．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做．劣弧与优弧：

小于半圆的弧（如图中的）叫做劣弧；大于半圆的弧（用三点表示，如图中的）叫做优弧.能够重合的两个圆叫做，能够重合的两条弧叫做.半径相等的两个圆是.

二、合作探究：

1、下列说法错误的是：

（）

A、半圆是弧B、圆中最长的弦是直径C、半径不是弦D、两条半径组成一条直径

2、下列说法正确的有：

①周长相等的圆是等圆；②弧长相等的两段弧一定是等弧；③等弧的弧长一

定相等；④同圆或等圆中，弧长相等的弧一定是等弧。

A、1个B、2个C、3个D、4个

3、探索圆的性质：

动手操作一：

1．在一张半透明的纸上以O为圆心画一个圆，将这张纸片沿过点O的直线对折，你发现了什么？

2．将一个圆绕圆心旋转180°后，是否与原图形重合？

这能说明什么事实？

归纳结论：

圆是图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆也是图形，圆心是它的对称中心。

细心观察：

1、圆有条对称轴，这些对称轴相交于一点即，圆除了对称性外，还具有旋转性。

辨别正误：

关于圆的对称轴的说法，正确的有（）

①圆的任意一条直径都是对称轴；②任意一条直线都是对称轴；③每一条直径所在的直线都是对称轴；④过圆心的任意

一条直线都是对称轴。

A、1个B、2个C、3个D、4个

动手操作二：

在两张半透明的纸上，分别画出半径相等的⊙O1，⊙O2及相等的两条弦AB,CD.把两张纸叠放在一起，使⊙O1与⊙O2重合，固定圆心，将一张纸绕圆心旋转适当的角度，使弦AB和弦

CD重合.

观察思考：

1.在等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的弦相等吗？

2.在同圆中，相等的弦所对的弧相等吗？

等弧所对的弦呢？

归纳结论：

在同圆或等圆中，相等的弧所对的相等；相等的弦所对的和劣弧分别相等.

结论应用：

以点O为圆心，可以作（）个圆。

A、只能1个B、2个C、3个D、无数个

三、交流展示：

AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE=DF

求证：

AF=BE

证明：

四、达标测评

1、课本

2、名校课堂

五、点拨提升：

名校课堂

解析：

解答：

归纳;

【自主反思】知识盘点：

心得感悟：

【拓展延伸、中考链接】名校课堂

课题：

28.2过三点的圆

上课教师：

许国祥　授课时间：

　班级：

9（1、2）课代表姓名：

马、郑小组：

18

[引入]现有一块打碎的圆形玻璃镜子残片，想重新去玻璃店配一块同样大小的圆形玻璃镜子，请问这块残片

还有用吗？

怎样去配制呢？

【全节学习目标】1．学会过不在同一直线上的三个点画圆的方法；2．能说出三角形的外心及外接圆的概念。

3、经历探索过一点、两点、不在同一直线上的三个点作圆的过程，体会数学分类讨论思想问题的方法，体会类比思想。

4．体会“事物之间是相互联系和运动变化”的观点；

【重点难点预测】重点：

1．定理：

不在同一直线上的三个点确定一个圆．定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，

“确定”一词应理解为“有且只有”．2．通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆

难点：

分析作圆的方法，实质是设法找圆心．

【课前预习案】1.两点确定一条直线，两点之间最短，即过两点有且只有一条直线。

2．线段的垂直平分线：

性质：

线段垂直平分线上的到这条线段的的距离相等；

判定：

到线段的点在线段的垂直平分线上。

3坐标平面内的点与______________一一对应．

4.根据点所在位置填表（图）

点的位置

横坐标符号

纵坐标符号

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

5、

轴上的点______坐标为0,

轴上的点______坐标为0.

6．各象限角平分线上的点的坐标特征

⑴第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标。

⑵第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标。

7.P（x,y）关于

轴对称的点坐标为__________，关于

轴对称的点坐标为________，

关于原点对称的点坐标为___________.

以上特征可归纳为：

⑴关于x轴对称的两点：

横坐标相同，纵坐标；

⑵关于y轴对称的两点：

横坐标，纵坐标相同；

⑶关于原点对称的两点：

横、纵坐标均。

8、已知△ABC，用尺规作出三边的垂直平分线。

（不写作法，保留作图痕迹）.

【学法指导】动手操作、自主探究、合作交流和分析归纳。

【学习过程】

一、自主学习：

（一）读教材后，操作1：

过一个已知点A作圆？

（学生动手去完成）

观察质疑：

过点A所作圆的圆心在哪儿？

半径多大？

可以作几个这样的圆？

操作2：

过已知两点A、B如何作圆？

（学生动手去完成）

观察质疑：

它们的圆心到A、B两点的距离怎样？

圆心在哪里？

过点A、B两点的圆有几个？

操作3：

过同一平面内三个点的情况会怎样呢?

分两种情况研究：

（一）作一个圆，使它经过不在同一直线上三点A、B、C，

已知：

不在一直线上三点A、B、C，求作一个圆，使它同时经过点A、B、C。

（学生口述作法，教师示范作图过程）

观察质疑：

：

这样一共可作几个圆？

圆心在哪里？

到A、B、C三点的距离怎样？

（二）过在同一直线上的三点A、B、C可以作几个圆？

（不能作出）

发现结论：

定理：

过不在一直线上的三点确定圆。

“确定”的含义：

过不在一直线上的三点能作圆，并且只能作一个圆（存在性唯一性）

结论应用：

由于任意一个三角形的三个顶点都同一直线上，所以由定理可知，经

过三角形三个顶点可以作且只能作一个圆．

定义有关概念：

1、经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的三角形．

2、三角形的外心：

三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．

发现三角形外心的性质

（1）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；

（2）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．

操作4：

回到初始问题的解决（让学生口述解决的办法）

1在残片上任取三点A、B、C，连结AB、AC②分别作AB、AC的，并交于一点O，O为圆心。

2连结，为半径，画圆即可。

二、合作探究：

1．判断题：

（1）经过三点一定可以作圆；（  ）

（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（  ）

（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（  ）

（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（  ）

（5）三角形的外心到三角形各项点的距离相等．（  ）

2、证明三角形外接圆的圆心到这个三角形三个顶点的距离相等。

3、平面上有4个点，他们不在一直线上，但有3个点在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作圆的个数（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

三、交流展示：

名校课堂

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则其外接圆的半径为（）

A、15B、7.5C、6D、3

四、达标测评

1、课本

2、名校课堂

五、点拨提升：

和直角坐标系结合

解析：

解答：

归纳;

【自主反思】知识盘点：

心得感悟：

【拓展延伸、中考链接】名校课堂

课题：

28.3圆心角、圆周角

（一）

上课教师：

许国祥　授课时间：

　班级：

9（1、2）课代表姓名：

马、郑小组：

18

[引入]上一节的学习我们知道圆既是轴对称图形又是中心对称图形，那么我利用圆的旋转不变性，将⊙O绕圆心O旋转任

意角度α后，出现一个角∠AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点？

【全节学习目标】1．能说出圆心角、圆周角的概念；

2．明确圆心角、圆周角的关系，直径所对圆周角的特征，并能灵活应用解决有关问题。

3、通过操作、探究，发现圆心角与弦的对等关系，圆心角与圆周角的关系，学会探索方法。

4、会识别圆内接多边形和多边形的外接圆，掌握圆内接四边形对角互补。

【重点难点预测】重点：

圆心角和圆心角的性质，圆心角和圆周角的关系

难点：

探究圆心角和圆心角相关性质的过程

【学法指导】动手操作、自主探究、合作交流和分析归纳。

注意考虑问题要全面，不重不漏，分类讨论的数学思想方法

【课前预习案】

1.等腰三角形的两底角__________；

2.等腰三角形底边上的______、底边上的________和顶角的_______互相重合（三线合一）；

3.有两个角相等的三角形是_________．

4、在同圆或等圆中，弧所对的弦相等；弦所对的优弧和劣弧分别相等。

5．三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：

__________________．

【学习过程】

一、自主学习：

（一）读教材后，重新审视引题。

操作1（按要求）：

观察：

这个角的顶点在上．两边与圆。

下定义：

圆心角定义：

。

操作2：

连结AB，

观察：

是∠AOB所对的弧，弦AB既是圆心角∠AOB也是

所对的弦.

思考：

研究圆心角与它所对的弧、弦之间的关系

探究方法：

（同一圆中圆心角与弦、弧的关系）

1．操作：

请己画一个圆心角∠AOB，再在同一圆中画出与∠AOB相等的另一个圆心角∠COD，再作出它们所对的

弦AB，CD。

（1）大胆猜想，∠AOB=∠COD，其余

，弦AB与CD大小关系如何？

结论：

当∠AOB=∠COD时，

，弦ABCD。

证明：

（2）观察猜想：

如果AB=CD（或

），那么∠AOB等于∠COD吗？

证明：

2．操作：

画两个相等的圆⊙O1与⊙O2，∠AO1B=∠CO2D，

观察猜想：

那么AB与CD

分别相等吗？

，如果AB=CD（或

），那么∠AO1B等于∠CO2D吗？

结论：

证明：

（二）已知：

如图，AB是⊙O的直径，∠COD=35°，

求∠AOE的度数．

2、

合作探究：

操作1：

作出圆心角∠AOB

（一）操作2：

将圆心角的顶点进行移动，边OA、OB要始终在圆周上（如图2）

认识新概念：

当角的顶点运动到圆周时，如∠ACB这样的角叫。

观察辨别:

是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？

如图．

发现:

圆周角必须具备两个条件：

（1）顶点在圆周上；

（2）两边都与圆，

定义新概念圆周角定义：

。

判断：

下列命题是否正确？

（1）圆周角的顶点一定在圆上；

（2）点在圆上的角是圆周角；

（3）圆周角的两边都和圆相交；（4）两边都和圆相交的角是圆周角．

（二）观察：

某艺术团到基层进行慰问演出，演出现场为一圆形广场，其中

为一临时搭建的圆弧形舞台，在圆上的点P和

点Q处分别安放一台摄像机．你认为这两台摄像机相对于舞台

的张角∠APB与∠AQB的大小具有什么关系？

判断结果：

操作验证：

请用量角器量出这两个角的大小，验证你的判断．

操作：

请画一个圆，在这个圆上任意截取一段弧

，并画出

所对的任3个圆周角，用量角器量出

这些角的大小关系．

归纳结论：

同弧相等．

证明：

拓展：

以上是同圆中同弧所对的圆周角之间的数量关系，在等圆中呢？

（三）、观察猜想，寻找同弧上圆周角与圆心角之间的关系。

1．圆周角和圆心角是圆中不同的角，有着不同的性质.观察图2，∠ACB与∠AOB对着同一条弧，它们之间有关系吗？

观察特例：

判断：

图

（1）、图

（2）中，圆心角∠AOB分别等于。

观察猜想

所对的圆周角∠ACB又分别等于多少度？

猜想结果：

所对的圆周角∠ACB分别等于．

2．通过特例猜想的结论是：

一条弧所对的圆周角它所对

的的一半．

证明此命题成立有同学们课下思考

三、交流展示：

名校课堂

如图猜想

在下列各图中∠а1=，∠а2=，

∠а3=，∠а4=．

猜想圆心角∠AOB所对的弧是圆周

，那么∠AOB是多少度？

四、达标测评

1、课本

2、名校课堂

五、点拨提升：

如图，A、B、C、D是圆上的点，∠1=68，∠A=40，则∠D=。

解析：

解答：

归纳;

【自主反思】知识盘点：

心得感悟：

【拓展延伸、中考链接】名校课堂

课题：

28.3圆心角、圆周角

（二）

上课教师：

许国祥　授课时间：

　班级：

9（1、2）课代表姓名：

马、郑小组：

18

[引入]上节课观察猜想，寻找同弧上圆周角与圆心角之间的关系，猜想结论是什么？

【全节学习目标】本节学习目标3、4、

【重点难点预测】重点：

圆心角和圆周角的关系的证明

难点：

探究圆心角和圆心角相关性质的过程

【课前预习案】1、圆心角的定义：

．

2、圆心角的性质：

．

3、圆周角的定义：

．

4、你猜想同弧上圆周角与圆心角之间的关系结论是．

你考虑如何证明了吗？

5、多边形的内角和如何计算？

多边形的外角和是多少？

【学法指导】注意考虑问题要全面，不重不漏，分类讨论的数学思想方法

【学习过程】

1、自主学习：

（一）读教材后，1、针对上节课猜想结论，画出符合题意的图形，

提示：

圆心角的顶点（圆心）在圆周角的“一边上”、“内部”、“外部”

2、这些图形是你所画出的吗？

3、观察以上三个图形，三种情况中哪一种最特殊，

最容易证明呢？

4、按最容易的情况证明。

（2）试着对图

（2）情况进行证明

（3）试着对图（3）情况进行证明

（4）结论：

2、合作探究：

1、操作:

顺次连接⊙O上的四点A、B、C、D，

2、类比圆的内接三角形对四边形ABCD下定义：

。

3、探求规律

①圆周角∠A与圆周角∠C的数量关系：

。

理由是：

②一个四边形的外接圆有个。

③一个圆有个内接四边形

④圆周角∠B与圆周角∠D的数量关系：

。

结论：

。

3、交流展示：

名校课堂

1、你理解右边的脑图吗？

2、圆内接四边形ABCD中∠A:

∠B:

∠C=2:

3