最新3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答汇总.docx
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最新3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答汇总
3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答
第三章微分中值定理与导数的应用答案
§3.1微分中值定理
1.填空题
(1)函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是«SkipRecordIf...».
(2)设«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»有3个实根,分别位于区间«SkipRecordIf...»中.
2.选择题
(1)罗尔定理中的三个条件:
«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,在«SkipRecordIf...»内可导,且«SkipRecordIf...»,是«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内至少存在一点«SkipRecordIf...»,使«SkipRecordIf...»成立的(B).
A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件
(2)下列函数在«SkipRecordIf...»上满足罗尔定理条件的是(C).
A. «SkipRecordIf...»B. «SkipRecordIf...»C.«SkipRecordIf...» D.«SkipRecordIf...»
(3)若«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内可导,且«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»内任意两点,则至少存在一点«SkipRecordIf...»,使下式成立(B).
A.«SkipRecordIf...»
B.«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»之间
C.«SkipRecordIf...»
D.«SkipRecordIf...»
3.证明恒等式:
«SkipRecordIf...».
证明:
令«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»为一常数.
设«SkipRecordIf...»,又因为«SkipRecordIf...»,
故«SkipRecordIf...».
4.若函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内具有二阶导数,且«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,证明:
在«SkipRecordIf...»内至少有一点«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...».
证明:
由于«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,在«SkipRecordIf...»可导,且«SkipRecordIf...»,根据罗尔定理知,存在«SkipRecordIf...»,使«SkipRecordIf...».同理存在«SkipRecordIf...»,使«SkipRecordIf...».又«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上
符合罗尔定理的条件,故有«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...».
5.证明方程«SkipRecordIf...»有且仅有一个实根.
证明:
设«SkipRecordIf...», 则«SkipRecordIf...»,根据零点存在定理至少存在一个«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...».另一方面,假设有«SkipRecordIf...»,且«SkipRecordIf...»,使«SkipRecordIf...»,根据罗尔定理,存在«SkipRecordIf...»使«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»,这与«SkipRecordIf...»矛盾.故方程«SkipRecordIf...»只有一个实根.
6.设函数«SkipRecordIf...»的导函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,且«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»是介于«SkipRecordIf...»之间的一个实数.证明:
存在«SkipRecordIf...»,使«SkipRecordIf...»成立.
证明:
由于«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内可导,从而«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»内连续,在开区间«SkipRecordIf...»内可导.又因为«SkipRecordIf...»,根据零点存在定理,必存在点«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...».同理,存在点«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...».因此«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上满足罗尔定理的条件,故存在«SkipRecordIf...»,使«SkipRecordIf...»成立.
7.设函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续,在«SkipRecordIf...»内可导.试证:
至少存在一点«SkipRecordIf...»,使
«SkipRecordIf...»
证明:
只需令«SkipRecordIf...»,利用柯西中值定理即可证明.
8.证明下列不等式
(1)当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...».
证明:
设«SkipRecordIf...»,函数«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上满足拉格朗日中值定理的条件,且«SkipRecordIf...»,故«SkipRecordIf...»,即
«SkipRecordIf...»(«SkipRecordIf...»)
因此,当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...».
(2)当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...».
证明:
设«SkipRecordIf...»,则函数在区间«SkipRecordIf...»上满足拉格朗日中值定理得条件,有
«SkipRecordIf...»
因为«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»,又因为«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»,从而
«SkipRecordIf...».
§3.1洛毕达法则
1.填空题
(1)«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
(2)«SkipRecordIf...»0
(3)«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
(4)«SkipRecordIf...»1
2.选择题
(1)下列各式运用洛必达法则正确的是(B)
A.«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
B.«SkipRecordIf...» «SkipRecordIf...»
C. «SkipRecordIf...»不存在
D.«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
(2)在以下各式中,极限存在,但不能用洛必达法则计算的是(C)
A.«SkipRecordIf...»B.«SkipRecordIf...»C. «SkipRecordIf...» D.«SkipRecordIf...»
3.求下列极限
(1)«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...».
(2)«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...».
(3)«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...».
(4)«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...».
(5)«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»,
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».
(6)«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»
(7)«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...».
(8)«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...».
(9)«SkipRecordIf...».
解:
因为«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»=1.
§3.3泰勒公式
1.按«SkipRecordIf...»的幂展开多项式«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»,
同理得«SkipRecordIf...»,且«SkipRecordIf...».
由泰勒公式得:
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...».
2.求函数«SkipRecordIf...»的带有佩亚诺型余项的«SkipRecordIf...»阶麦克劳林公式.
解:
因为«SkipRecordIf...»,
所以«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...».
3.求一个二次多项式«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...».
解:
设«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...».
«SkipRecordIf...»,
故«SkipRecordIf...»,
则«SkipRecordIf...»为所求.
4.利用泰勒公式求极限«SkipRecordIf...».
解:
因为«SkipRecordIf...»,
所以«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»,
故«SkipRecordIf...».
5.设«SkipRecordIf...»有三阶导数,且«SkipRecordIf...»,证明在«SkipRecordIf...»内存在一点«SkipRecordIf...»,使«SkipRecordIf...».
证明:
因为«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...».
由麦克劳林公式得:
«SkipRecordIf...»(«SkipRecordIf...»介于0与«SkipRecordIf...»之间),因此«SkipRecordIf...»,由于«SkipRecordIf...»,故«SkipRecordIf...».
§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性
1.填空题
(1)函数«SkipRecordIf...»的单调增加区间是«SkipRecordIf...»,单调减少区间«SkipRecordIf...».
(2)若函数«SkipRecordIf...»二阶导数存在,且«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上是单调增加.
(3)函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内单调增加,则«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
(4)若点(1,3)为曲线«SkipRecordIf...»的拐点,则«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,曲线的凹区间为«SkipRecordIf...»,凸区间为«SkipRecordIf...».
2.单项选择题
(1)下列函数中,(A)在指定区间内是单调减少的函数.
A.«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...» B.«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
C.«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...» D.«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
(2)设«SkipRecordIf...»,则在区间«SkipRecordIf...»内(B).
A.«SkipRecordIf...»单调增加,曲线«SkipRecordIf...»为凹的
B.«SkipRecordIf...» 单调减少,曲线«SkipRecordIf...»为凹的
C. «SkipRecordIf...»单调减少,曲线«SkipRecordIf...»为凸的
D.«SkipRecordIf...»单调增加,曲线«SkipRecordIf...»为凸的
(3)«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内可导,且«SkipRecordIf...»,当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,则(D)
A.任意«SkipRecordIf...»B.任意«SkipRecordIf...»
C.«SkipRecordIf...»单调增D.«SkipRecordIf...»单调增
(4)设函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上二阶导数大于0,则下列关系式成立的是(B)
A.«SkipRecordIf...»B.«SkipRecordIf...»
C.«SkipRecordIf...»D.«SkipRecordIf...»
2.求下列函数的单调区间
(1)«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»,当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,所以函数在区间«SkipRecordIf...»为单调增加;
当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,所以函数在区间«SkipRecordIf...»为单调减少.
(2)«SkipRecordIf...».
解:
«SkipRecordIf...»,
当«SkipRecordIf...»,或«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,所以函数在区间«SkipRecordIf...»为单调增加;
当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,所以函数在区间«SkipRecordIf...»为单调减少.
(3)«SkipRecordIf...»
解:
«SkipRecordIf...»,故函数在«SkipRecordIf...»单调增加.
3.证明下列不等式
(1)证明:
对任意实数«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»,成立不等式«SkipRecordIf...».
证明:
令«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内单调增加.
于是,由«SkipRecordIf...»,就有«SkipRecordIf...»,即
«SkipRecordIf...»
(2)当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...».
证明:
设«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,由于当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,因此«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»单调递增,当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,故«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»单调递增,当«SkipRecordIf...»时,有«SkipRecordIf...».故当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,因此«SkipRecordIf...».
(3)当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...».
证明:
设«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,当«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,
所以«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»单调递增,当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,故«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»单调递增,从而当«SkipRecordIf...»时,有«SkipRecordIf...».因此当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...».
4.讨论方程«SkipRecordIf...»(其中«SkipRecordIf...»为常数)在«SkipRecordIf...»内有几个实根.
解:
设«SkipRecordIf...»则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»连续,且«SkipRecordIf...»,
由«SkipRecordIf...»,得«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»内的唯一驻点.
«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上单调减少,在«SkipRecordIf...»上单调增加.
故«SkipRecordIf...»为极小值,因此«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»的最大值是«SkipRecordIf...»,最小值是«SkipRecordIf...».
(1)当«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»时,方程在«SkipRecordIf...»内无实根;
(2)当«SkipRecordIf...»时,有两个实根;
(3)当«SkipRecordIf...»时,有唯一实根.
5.试确定曲线«SkipRecordIf...»中的a、b、c、d,使得«SkipRecordIf...»处曲线有水平切线,«SkipRecordIf...»为拐点,且点«SkipRecordIf...»在曲线上.
解:
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,所以
«SkipRecordIf...»
解得:
«SkipRecordIf...».
6.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间
(1)«SkipRecordIf...»
解:
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,
令«SkipRecordIf...»,得«SkipRecordIf...»,当«SkipRecordIf...»时«SkipRecordIf...»不存在.
当«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,当«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...».
故曲线«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上是凸的,在区间和«SkipRecordIf...»上是凹的,
曲线的拐点为«SkipRecordIf...».
(2)«SkipRecordIf...»拐点及凹或凸的区间
解:
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...».
当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»不存在;当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...».
故曲线在«SkipRecordIf...»上是凸的,在«SkipRecordIf...»上是凹的,«SkipRecordIf...»是曲线的拐点,
7.利用凹凸性证明:
当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»
证明:
令«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...».
当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,故函数«SkipRecordIf...»的图形在«
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