中考数学 一轮专题训练菱形性质与判定综合二.docx
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中考数学一轮专题训练菱形性质与判定综合二
2021年中考数学一轮专题训练:
菱形性质与判定综合
(二)
1.如图,在▱ABCD中,点E、F分别为边AB,CD的中点,连接DE,BF,BD.
(1)求证:
△ADE≌△CBF;
(2)若∠ADB=90°,求证:
四边形BFDE为菱形.
2.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,EF与AB的延长线交于点E,与CD的延长线交于点F.
求证:
四边形AECF是菱形.
3.如图,在▱ABCD中,点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上,AE=CG,AH=CF.
(1)求证:
△AEH≌△CGF;
(2)若EG平分∠HEF,求证:
四边形EFGH是菱形.
4.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D,E分别为AB,AC的中点,延长DE到点F,使EF=2DE.
(1)求证:
四边形BCFE是平行四边形;
(2)当∠ACB=60°时,求证:
四边形BCFE是菱形.
5.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是AD上一点,连接EO并延长,交BC于点F.连接AF,CE,EF平分∠AEC.
(1)求证:
四边形AFCE是菱形;
(2)若∠DAC=60°,AC=2,求四边形AFCE的面积.
6.如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于F,以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG,如图1所示.
(1)证明平行四边形ECFG是菱形;
(2)若∠ABC=120°,连结BG、CG、DG,如图2所示,
①求证:
△DGC≌△BGE;
②求∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=90°,AB=8,AD=14,M是EF的中点,如图3所示,求DM的长.
7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE∥BD,过点D作ED∥AC,两线相交于点E.
(1)求证:
四边形AODE是菱形;
(2)连接BE,交AC于点F.若BE⊥ED于点E,求∠AOD的度数.
8.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于E.
(1)求证:
四边形AECD是菱形;
(2)若点E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由.
9.如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O,若AB=5,AC=8,BD=6.
(1)求证:
平行四边形ABCD是菱形.
(2)四边形ABCD的面积.
10.已知:
如图,在△ABC中,直线PQ垂直平分AC,与边AB交于点E,连接CE,过点C作CF∥BA交PQ于点F,连接AF.
(1)求证:
四边形AECF是菱形;
(2)若AD=3,AE=5,则求菱形AECF的面积.
参考答案
1.证明:
(1)在▱ABCD中,AD=BC,AB=CD,∠A=∠C,
∵E、F分别为边AB、CD的中点,
∴AE=
AB,CF=
DC,
∴AE=CF,
在△ADE和△CBF中,
,
∴△ADE≌△CBF(SAS);
(2)∵AB=CD,AE=CF,
∴BE=DF,
又AB∥CD,
∴BE∥DF,
∴四边形BEDF是平行四边形,
∵∠ADB=90°,
∴点E为边AB的中点,
∴DE=EB=
AB,
∴四边形BFDE为菱形.
2.证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,OA=OC,
∴∠AEO=∠CFO,
在△AOE和△COF中
,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴OE=OF,
∵EF⊥AC,OE=OF,
∴AC与EF互相垂直平分,
∴四边形AECF是菱形.
3.证明:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C.
∴在△AEH与△CGF中,
,
∴△AEH≌△CGF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,∠B=∠D.
∵AE=CG,AH=CF,
∴EB=DG,HD=BF.
∴△BEF≌△DGH.
∴EF=HG.
又∵△AEH≌△CGF,
∴EH=GF.
∴四边形HEFG为平行四边形.
∴EH∥FG,
∴∠HEG=∠FGE.
∵EG平分∠HEF,
∴∠HEG=∠FEG,
∴∠FGE=∠FEG,
∴EF=GF,
∴EFGH是菱形.
4.
(1)证明:
∵D.E为AB,AC中点
∴DE为△ABC的中位线,DE=
BC,
∴DE∥BC,
即EF∥BC,
∵EF=BC,
∴四边形BCEF为平行四边形.
(2)∵四边形BCEF为平行四边形,
∵∠ACB=60°,
∴BC=CE=BE,
∴四边形BCFE是菱形.
5.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC,AO=CO,
∴∠AEF=∠CFE,
在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴OF=OE,
∵AO=CO,
∴四边形AFCE是平行四边形;
∵EF平分∠AEC,
∴∠AEF=∠CEF,
∴∠CFE=∠CEF,
∴CE=CF,
∴四边形AFCE是菱形;
(2)解:
由
(1)得:
四边形AFCE是菱形,
∴AC⊥EF,AO=CO=
AC=1,
∴∠AOE=90°,
∵∠DAC=60°,
∴∠AEO=30°,
∴OE=
AO=
,
∴EF=2OE=2
,
∴四边形AFCE的面积=
AC×EF=
×2×2
=2
.
6.解:
(1)证明:
∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE,
∴∠CEF=∠CFE,
∴CE=CF,
又∵四边形ECFG是平行四边形,
∴四边形ECFG为菱形;
(2)①∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AB=DC,AD∥BC,
∵∠ABC=120°,
∴∠BCD=60°,∠BCF=120°
由
(1)知,四边形CEGF是菱形,
∴CE=GE,∠BCG=
∠BCF=60°,
∴CG=GE=CE,∠DCG=120°,
∵EG∥DF,
∴∠BEG=120°=∠DCG,
∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠DAE=∠BAE,
∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE,
∴BE=CD,
∴△DGC≌△BGE(SAS);
②∵△DGC≌△BGE,
∴BG=DG,∠BGE=∠DGC,
∴∠BGD=∠CGE,
∵CG=GE=CE,
∴△CEG是等边三角形,
∴∠CGE=60°,
∴∠BGD=60°,
∵BG=DG,
∴△BDG是等边三角形,
∴∠BDG=60°;
(3)方法一:
如图3中,连接BM,MC,
∵∠ABC=90°,四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形,
又由
(1)可知四边形ECFG为菱形,
∠ECF=90°,
∴四边形ECFG为正方形.
∵∠BAF=∠DAF,
∴BE=AB=DC,
∵M为EF中点,
∴∠CEM=∠ECM=45°,
∴∠BEM=∠DCM=135°,
在△BME和△DMC中,
∵
,
∴△BME≌△DMC(SAS),
∴MB=MD,
∠DMC=∠BME.
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°,
∴△BMD是等腰直角三角形.
∵AB=8,AD=14,
∴BD=2
,
∴DM=
BD=
.
方法二:
过M作MH⊥DF于H,
∵∠ABC=90°,四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形,
又由
(1)可知四边形ECFG为菱形,
∠ECF=90°,
∴四边形ECFG为正方形,
∴∠CEF=45°,
∴∠AEB=∠CEF=45°,
∴BE=AB=8,
∴CE=CF=14﹣8=6,
∵MH∥CE,EM=FM,
∴CH=FH=
CF=3,
∴MH=
CE=3,
∴DH=11,
∴DM=
=
.
7.
(1)证明:
∵AE∥BD,ED∥AC,
∴四边形AODE是平行四边形,
∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OC=
AC,OB=OD=
BD,AC=BD,
∴OA=OC=OD,
∴四边形AODE是菱形;
(2)解:
连接OE,如图所示:
由
(1)得:
四边形AODE是菱形,
∴AE=OB=OA,
∵AE∥BD,
∴四边形AEOB是平行四边形,
∵BE⊥ED,ED∥AC,
∴BE⊥AC,
∴四边形AEOB是菱形,
∴AE=AB=OB,
∴AB=OB=OA,
∴△AOB是等边三角形,
∴∠AOB=60°,
∴∠AOD=180°﹣60°=120°.
8.解:
(1)∵AB∥CD,CE∥AD,
∴四边形AECD为平行四边形,∠2=∠3,
又∵AC平分∠BAD,
∴∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴AD=DC,
∴四边形AECD是菱形;
(2)直角三角形.
理由:
∵AE=EC
∴∠2=∠4,
∵AE=EB,
∴EB=EC,
∴∠5=∠B,
又因为三角形内角和为180°,
∴∠2+∠4+∠5+∠B=180°,
∴∠ACB=∠4+∠5=90°,
∴△ACB为直角三角形.
9.证明:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=
AC,BO=
BD,
∵AC=8,BD=6,
∴AO=4,BO=3,
∵32+42=52,
∴AO2+BO2=AB2,
∴∠AOB=90°,
∴AC⊥BD;
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴平行四边形ABCD是菱形;
(2)四边形ABCD的面积为:
AC•BD=
×8×6=24.
10.证明:
(1)∵CF∥AB,
∴∠DCF=∠DAE,
∵PQ垂直平分AC,
∴CD=AD,
在△CDF和△AED中
∵
,
∴△CDF≌△AED,
∴AE=CF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵PQ垂平分AC,
∴AE=CE,
∴四边形AECF是菱形;
(2)∵四边形AECF是菱形,
∴△ADE是直角三角形,
∵AD=3,AE=5,
∴DE=4,
∴AC=2AD=6,EF=2DE=8,
∴菱形AECF的面积为
AC•EF=24.
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