排列组合及解决方法毕业论文.docx
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排列组合及解决方法毕业论文
排列组合及解决方法毕业论文
本科生毕业论文
题目:
排列组合及解决方法
专业代码:
070101
作者姓名:
刘凯
学号:
2012201059
单位:
12级3班
指导教师:
张凤霞
2016年5月30日
原创性声明
本人郑重声明:
所提交的学位论文是本人在导师指导下,独立进行研究取得的成果.除文中已经注明引用的内容外,论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明.本人承担本声明的相应责任.
学位论文作者签名:
日期
指导教师签名:
日期
1、引言…………………………………………………………………………1
2、加法原理与乘法原理…………………………………………………2
2.1加法原理和乘法原理的概念……………………………………………2
2.2应用例题…………………………………………………………………2
2.3加法原理和乘法原理的分类比较………………………………………2
3、排列与组合………………………………………………………………3
3.1排列……………………………………………………………………3
3.1.1重复排列………………………………………………………3
3.1.2非重复全排列……………………………………………………4
3.1.3非重复选排列…………………………………………………5
3.2组合………………………………………………………………………5
4、排列组合的解决方法……………………………………………………5
4.1分类与分步………………………………………………………………6
4.2优先法…………………………………………………………………6
4.3捆绑法……………………………………………………………………7
4.4插空法……………………………………………………………………7
4.5排除法…………………………………………………………………8
4.6空位法……………………………………………………………………9
4.7直排法……………………………………………………………………9
结束语…………………………………………………………………………10
参考文献………………………………………………………………………11
致谢………………………………………………………………………………12
摘要
概率论存在于生活中的点点滴滴,但他也是一门比较抽象的学科,学习的同时也锻炼了我们的抽象思维能力.本文总结了概率论中比较简单的排列组合问题.虽然简单但它却是学习概论的基础环节.首先是排列组合问题的基础:
加法原理和乘法原理.加以例题辅助理解.又将排列组合分类为:
重复排列,非重复排列与组合,掌握了他们的概念和算法.通过对例题分析着重讲解了解决排列组合的方法,包括分类与分步,优先法,捆绑法,插空法,排除法,空位法和直排法等.学习排列组合的重点应放在理解和运用上.
关键词:
排列;排列分类;组合;方法
Abstract
Theprobabilityexistsinthelittledropsoflife.,butheisalsoanabstractsubject,learningatthesametimewealsoexercisetheabilityofabstractthinking.Thispapersummarizestherelativelysimplecombinatorialprobleminprobabilitytheory.Althoughsimplebutitistheintroductiontothebasiclink.Thefirstisbasedoncombinatorialproblem:
theadditionprincipleandthemultiplicationprinciplemakeexamplessupportingunderstanding.Andcombinationsareclassifiedas:
repeatarray,nonrepeatingpermutationsandcombinations,grasptheconceptsandalgorithmsofthem.Throughtheexampleanalysisfocusedonthesolutionofpermutationandcombination,includingclassificationandstepbystep,prioritymethod,bindingmethod,interpolationmethodofeliminationmethodanddirectmethod,vacancy,etc.focusshouldbeplacedonthecombinationofunderstandinganduse.
Keywords:
Arrangement;arrangementclassification;combination;method
排列组合及解决方法
1、引言
在大学里我们学习了概率论这门课,高中的时候我们已经简单的了解了随机事件,古典概型等简单的概率论内容。
大学里进一步的学习让我们更加深入地了解掌握了这门课的精髓所在。
在不断的学习过程中我也发现概率论存在于生活中的点点滴滴。
正如法国的著名数学家拉普拉斯说的:
对于生活中的大部分,最重要的问题实际上只是概率问题。
而概率论的起源竟然是赌博。
十七世纪时,法国的德梅勒赌30金币在对胜负的预测上,却又不知怎么分配,于是他求助于当时最有声望的数学家帕斯卡。
帕斯卡经过和另一名数学家菲尔马的讨论研究,诞生了概率论这门新的学科。
经过漫长的发展现在的概率论已经成为一门庞大的学科,并服务着这个世界。
概率论是一门比较抽象的学科,学习的同时也锻炼了我们的抽象思维能力,思维的灵活性和敏捷性。
首先来看,概率论有古典概率,几何概率,条件概率,各种分布列等基本模型;以加法原理,乘法原理为规则;以非负性,规范性,可列可加性为基本性质;逆事件,差事件概率的计算公式,加法公式等为运算基础骨架。
我们学习概率论的重点应放在理解和运用上。
现在我们来讨论概率论中比较简单的排列组合问题。
虽然简单但它却是学习概论的基础环节,在运筹学和统计学的学习中也需要它,还有日程的工作生活中更是密不可分。
本文先展开排列组合的基础:
分类计数原理(加法原理)和分步计数原理(乘法原理).又了解了排列与组合概念.先看排列排列的两个方面:
重复排列和非重复排列,其中非重复排列又可以划分为:
非重复全排列和非重复选排列.最后通过对例题分析着重讲解了解决排列组合的方法,包括分类与分步,优先法,捆绑法,插空法,排除法,空位法和直排法等.
2、加法原理与乘法原理
2.1加法原理与乘法原理的概念
在此之前,我们需要先掌握分类计数原理(加法原理)和分步计数原理(乘法原理)。
加法原理和乘法原理是排列组合的基础,排列组合的学习离不开这两个基本原理。
我们很早之前就学过了加法和乘法,现在学习的加法原理和乘法原理就是在之前学习的基础上展开的。
线面我们通过几个例题来了解加法原理和乘法原理。
2.2应用例题
例1.A地到B地,有两种交通方式,汽车和火车,火车一天有两班,汽车一天有四班,现在问如果用这两种交通方式从A地到B地共有多少种不同的方法?
分析:
如果坐火车有两种方法,坐汽车有四种方法,而且这些方法各不相同,所以,有
种不同的方法.这里用到的就是加法原理:
如果完成一件事情,可以有
种不同的方法,第一种方法有
种,第二种方法有
种,……,在第n类方法中有
种
解:
那么完成这件事共有:
例2.从A地去B地必须要经过C地,A地到C地只有两班火车,再在C地到B地只有四班汽车,现在问从A地到B地共有多少种不同的走法?
分析:
从A地到C地有2种走法,C地到B地有4种走法,所以,共有
种不同的走法.这里用的是乘法原理:
如果完成一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有
种不同的方法,做第二步有
种不同的方法,……,做第n步有
种不同的方法.
解:
完成这件事有:
种不同的方法
由上面的例题我们来分析比较一下这两个原理:
加法原理(分类计数原理):
完成一件事一共有n类办法,且每种办法都是“互斥”的,也就是说每种方法都可以独立地完成这件事.
乘法原理(分步计数原理):
完成一件事分成n个步骤,是说每个步骤都不能单独的完成这件事,要把它们组合起来才可以完成.
那我们来看什么样的情况用加法原理,什么样的情况用乘法原理:
分类时,如果各类办法都是是相互排斥的,而且不论哪一种方法,都可以独立的完成这件事.只有这样,就可以用加法原理.
如果完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需要依次完成所有步骤才能完成这件事,而各步要求相互独立,即相对于前一步的每一种方法,下一步都有m种不同的方法,那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理.
公式分别为:
我们还可以把两个原理与物理中电路的串联、并联相类比:
加法原理是并联,乘法原理是串联.如下题:
例3.某班有男同学5人,女同学4人
(1)从其中任选一名同学去参赛,有多少种不同的选法?
(2)从中任选男、女同学各一人去参加领奖,有多少种不同的选法?
解:
(1)根据加法原理,从学生中任选一人去参赛这件事,有2种办法。
①从男学生中任选一人,共有
种不同的方法;
②从女学生中任选一人,共有
种不同的方法
得到不同选法种数共有
种
(2)根据乘法原理,完成从同学中任选男、女同学各一人去领奖这件事,需分2步完成,
①选一名男学生,有
种方法;
②选一名女学生,有
种方法;
得到不同选法种数共有
20种
总结:
加法原理与分类有关,乘法原理与分步有关;加法原理通过分类完成一件事情,里面的任意方法都可以单独的完成这件事;乘法原理通过分步完成一件事情,每个步骤中的方法都是相互独立的,每个步骤都完成才可以算是完成了这件事情
3、排列与组合
3.1排列
从
个不同元素中,任取
个元素,并按按照一定的顺序排成一列,叫做从
个不同元素中取出
一个排列
全排列是最基本一种排列,将一组数按照一定顺序进行排列,如果这组数有
个,那么全排列数为
个.现以{1,2,3,4,5}为例子它的全排列数为
个.这里我们引入虚拟元素
排列数的计算公式:
排列可以分为重复排列,非重复排列。
这时需要引入概率论的一个重要概念:
如果是放回抽样那就是重复排列;
如果是不放回抽样就是非重复排列.
非重复排列又可以分为非重复完全排列和非重复选排列,下面分析这三种不同的排列方法.
3.1.1重复排列
一组元素不完全不同,现将他们排列,这种排列叫做重复排列。
例如中国的邮政编码为六位数,每一位都有
的十种可能,总和起来就是有
种可能。
也就是说假设在
个元素中选取
个元素做重复排列就会有
种可能性.
我们通过一个例题来了解一下重复排列
例4.有一组数1,1,2,2,2,3,3,3,现将它们排成一列数字,问有多少种不同的排列方法?
解:
分析:
上面的问题中有相同的元素,现在要将它们排列归于重复排列的范围。
把相同的元素暂且当做不用的元素做全排列,有
种排法;
确定相同排列:
满足条件的排列数为
由上面的例题我们可以推出,当一组元素中有
则此重复排列的排列种数为
3.1.2非重复完全排列假设在
个元素中取
个元素进行有序排列,但是用过的元素后面不能再用了,这时有
.也就是说与重复排列不同的是非重复排列不能用之前已经用的元素.
3.1.3非重复选排列在
个元素中取
个元素做有序排列,则有
3.1.4组合
组合与排列最大的差别就在于组合不讲究次序而排列讲究次序.
个元素中取
个元素进行选排列,我们可以把它看做是先取了
个元素组合,再对个元素进行全排列,即:
于是可知
总结上面的内容得到下表:
4.解决排列组合的方法
我们知道排列组合出题一般都是综合来出的,这就需要我们把理论付诸实践,需要会做题,能掌握规律,熟练地运用规律.下面我们对解决排列组合问题的方法进行分类研究.
4.1分类与分步
分类与分步差别的实质就是用加法原理或者用乘法原理来解决问题.通过例题来了解一下:
例5.已知在书橱里有各不相同的书40本,其中红色封面的书12本,黑色封面的书18本,白色封面的书8本,绿色封面的书有2本.现在问:
(1)在这些书中任选一本,有多少种不同的选法?
(2)在这四类书中各任选一本,有多少种不同的选法?
分析:
(1)这里用到的是加法原理,在红色封面的书中选一本有12种不同的选法,在黑色封面的书中选一本有18种不同的选法,在白色封面的书中选一本有八种不同的选法,在绿色封面的书中选一本有两种不同的选法.利用分类计数原理,任选一本书,不管是选出什么颜色封面的书,都算这件事完成.
(2)这里用到的是乘法原理,要在四种不同封面的书中各选一本.
解:
(1)共有
种不同的选法.
(2)根据分步计数原理共有
种不同的选法.
总结:
遇到这类问题需要先弄清楚是分类还是分步.分类就要用加法原理,分步就要用乘法原理.
4.2优先法(特殊元素与特殊位置)
在排列组合问题中会遇到一些对位置或者元素的要求,我们可以用位置分析法和元素分析法来解决这类问题,优先采用元素分析或者位置分析的方法就是优先法.可以先排列特殊元素再排列普通元素,也可以先在特殊位置排列元素再在普通位置再排列元素.看一个例题来了解一下:
例6.在六个不同的元素
中全选取作排列,如果A不能排在首位F不能排在末位,那么共有几种不同的排法?
分析:
对首位和末位上的元素有要求,那优先看首位和末位,首位不能排A,那就有
种排法,末位不能排F也有
种排法,再看剩下的四个位置有
种排法.
解:
利用分步计数原理得:
种不同的排法
总结:
用优先法解决特殊元素和特殊位置的问题,先确定特殊位置或者特殊元素,再排其他的位置或元素.
4.3.捆绑法(相邻问题)
在排列组合中经常会遇到需要哪几个元素相邻的问题,这时就要用到“捆绑法”,把需要相邻的几个元素捆绑成一个大的元素,与其他小的元素一同排列,同时大元素本身也要进行排列,这是容易忽视的的一点,需要注意.下面通过一个例题来讲解一下:
例7.六个同学排成一队,A同学与B同学想要站在一起,那现在这六个人有多少种不同的排列方法?
分析:
利用“捆绑法”,把A,B同学看成一个大元素,与其他同学进行排列
有
种不同的排法,同时A,B两人有
种不同的排列方法.用乘法原理,有
种不同的排列方法.
解:
有
种不同的排列方法.
还有一个相似的问题也需要用到“捆绑法”:
例8.六个同学排成一队,A同学与B同学中间还要站一名同学,那现在这六个人有多少种不同的排列方法?
分析:
与刚才两个元素捆绑成一个大元素不同,这里三个人捆绑成一个大元素,先看这个大元素与其他三名同学排列
,再看大元素里面又可以分成:
A,B和AB中间的任一人,AB的排列方法有
种,AB中间的任一人有
种.
解:
利用分步计数原理可列式:
种不同的排列方法.
总结:
当有相邻元素时可以用相邻元素的捆绑法,捆绑成的大元素不要忘记也需要排列,最后需要用分步计数原理相乘得到共有多少种不同的排列方法.
4.4插空法(相离问题)
前面讲了元素的相邻,就是几个元素需要排在一起,现在来看相离就是哪几个元素不能相邻的问题.这类问题需要先将其他元素排列,再插入不能相邻的元素,用“插空法”来解决,通过例题了解一下:
例9.某班的六名女生与四名男生排队照相,现在要求任意两名男生不能相邻,问一共有多少种不同的排列方法?
分析:
先将六名女生排好有
种,再把四名男生插在六名女生中间,也就是说两名女生之间肯定有一名男生.共有七个可以位置男生可以插入得
种不同的排列方法.
解:
利用分步计数原理列式:
种不同的排列方法.
总结:
当要求哪几个元素不相邻时可以用插空法,先将无关的元素排列,再将不相邻的元素插入,这时需要注意两端的位置一般也可以插入元素,不要忘记.
4.5排除法(正难则反问题)
求最多或者最少的排列组合问题是比较复杂的,所以我们选择用排除法,也就是把不符合的排列组合排除,来减轻复杂程度.来看一个例题:
例10.教室里共有十名同学,其中有八名男生,两名女生,现在老师任选五名同学去打扫卫生,问:
(1)最少有一名女生有多少种不同的选法?
(2)最多有一名女生有多少种不同的选法?
分析:
(1)分两种情况来讨论:
①五名同学中恰好有一名女同学,有种
②五名同学中恰好有两名女同学,
有种.或者用排除法的方法,知道最少有一名女生的排法是在十名同学中任选五名的排法减去一名女生都没有的排法
解:
由分类计数原理可得,最少有一名女生有
种不同的排法
或
种不同的排法
总结:
遇到最多或者最少的问题就可以用“整体去杂”的方法,在总的方法中把不符合条件的排列组合减去,这样可以简单方便的求出结果.
4.6空位法(定序问题)
例11.一共有六名同学,排成一排,已知A,B,C三名同学的顺序是一定的,那一共有多少种不同的排法?
分析:
知道A,B,C三人的顺序一定,那就先排A,B,C三个人,我们假设有六个空位,先让A,B,C三个人坐下,那有
种不同的排法,这时还剩下三个空位,剩下的三名同学任意坐,有
=6种不同的排法.
解:
根据乘法原理列式:
种不同的排法
总结:
当在排列问题中遇到对某些元素有一定的顺序要求时可以用空位法,也就是先排有要求的元素,再排没有要求的元素.
4.7直排法(分排问题)
遇到要求把元素分成若干排的问题,我们可以把它看成是一排,也就是“直排法”(在没有别的特殊要求的前提下).
例12.十个同学要求排成两排照相,第一排有四个人,第二排有六个人,现在来看一共有多少种不同的排法?
分析:
因为没有元素对位置的特殊要求,我们可以把它直接看做是一排,也就是十个人可以任意的排.
解:
有
种不同的排法.
总结:
这是比较简单的一部分,但是需要理解,当没有特殊要求时无论排成多少排都可以看做是一排.
总结上面讲到的解决排列组合问题的七种方法:
结束语
上文中我们讲了学习排列组合问题的基础:
加法原理和乘法原理.又通过排列组合的分类:
重复排列,非重复排列与组合,掌握了他们的概念和算法.着重讲解了解决排列组合的方法,对于排列组合的问题需要弄清题意,对于不同的方法要掌握清楚,不管单独的问题会做,当这些方法需要综合运用时也要分清楚.这就需要多多做题练习,在联系中发现规律,掌握运用技巧,锻炼发散思维,不能产生思维定势,尝试用多种方法来解决问题.形成各种方法之间的内在联系.从而能深入的了解概率论的排列组合这门课,同时也为以后学习二项分布等内容奠定良好的基础.
总之,通过对排列组合的学习对理论以及做题有指导性的意义,它可以帮助我们发散思维,开阔视野,形成良好的思维学习方法.
参考文献
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致谢
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