矩阵的运算.ppt
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第二节矩阵的运算矩阵的线性运算矩阵的线性运算矩阵的乘法矩阵的乘法矩阵的幂乘矩阵的幂乘矩阵的转置矩阵的转置方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵一、线性运算一、线性运算1.1.加、减法加、减法注意注意:
只有当两个矩阵是同类型的矩阵时只有当两个矩阵是同类型的矩阵时,才能进行加法运算才能进行加法运算2.2.数乘数乘二二、矩阵与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法一般地,有一般地,有解解1.4+0.(-1)+3.2+-1.11.1+0.1+3.0+-1.31.0+0.3+3.1+-1.42.4+1.(-1)+0.2+2.11.1+1.2+0.0+2.32.0+1.3+0.1+2.42.2.矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律矩阵的乘法满足以下规律矩阵的乘法满足以下规律矩阵乘法的运算法则与数的乘法的运算法则的不同点矩阵乘法的运算法则与数的乘法的运算法则的不同点AB是是A左乘左乘B,BA是是A右乘右乘B。
显然,。
显然,AB能成立,能成立,BA不一定能成立不一定能成立3).3).两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵若若AB=0AB=0时时,一般不能得出一般不能得出AA、BB中至少有一个为零矩阵的中至少有一个为零矩阵的结论结论.对于某些特殊的矩阵可能有对于某些特殊的矩阵可能有AB=BA,这时称这时称A、B是可交换的矩阵是可交换的矩阵由矩阵相等的定义由矩阵相等的定义,得得例例6用矩阵方程表示下式线性方程组用矩阵方程表示下式线性方程组解解很容易验证得很容易验证得Ax=b11、定义、定义设设AA是一个是一个nn阶矩阵,对于正整数阶矩阵,对于正整数k,k,称为称为AA的的kk次幂次幂。
三、矩阵的幂乘三、矩阵的幂乘22、幂乘的运算规律:
任意正整数、幂乘的运算规律:
任意正整数,有有方法一方法一数学归纳法数学归纳法猜想猜想方法二方法二利用二项展开公式利用二项展开公式将矩阵将矩阵AA分解成分解成A=F+G,A=F+G,要求矩阵要求矩阵FF与与GG的方幂容易计算的方幂容易计算,且且FG=GF.FG=GF.一般地一般地,F,F和和GG有一个是单位矩阵有一个是单位矩阵EE时时,计算更加容易计算更加容易.你能用数学归纳法的思想求出这一结论吗你能用数学归纳法的思想求出这一结论吗?
作业!
作业!
方法三方法三利用乘法结合律利用乘法结合律除了以上求矩阵幂的方法以外除了以上求矩阵幂的方法以外,还有应用矩阵的分块求矩阵的还有应用矩阵的分块求矩阵的幂幂;利用相似矩阵对角化的方法求矩阵幂利用相似矩阵对角化的方法求矩阵幂.这些方法将在后续的内这些方法将在后续的内容中介绍容中介绍.四、四、矩阵的转置矩阵的转置这一解法是否正确这一解法是否正确?
正确如何解正确如何解?
然而,对于矩阵然而,对于矩阵和和22、方阵、方阵AA的行列式具有下列性质:
矩阵的行列式具有下列性质:
矩阵BB是与是与AA同阶的方阵同阶的方阵五、方阵的行列式五、方阵的行列式11、定义、定义nn阶矩阵阶矩阵AA的元素按原有的位置构成的行列式,的元素按原有的位置构成的行列式,称为矩阵称为矩阵AA的行列式,记作的行列式,记作detAdetA或或性质性质33可以推广到有限个方阵乘积行列式的情形。
即若可以推广到有限个方阵乘积行列式的情形。
即若均为均为nn阶矩阵,则阶矩阵,则,即使,即使ABAB和和BABA都有意义,都有意义,一般地,有一般地,有作业:
书本作业:
书本53页第页第3、4
(2)()(4)()(5)、)、5、8、9、10
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