二次函数讲义详细.docx
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二次函数讲义详细.docx
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二次函数讲义详细
第一讲二次函数的定义
知识点归纳:
二次函数的定义:
一般地,如果yax2bxc(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的
二次函数.二次函数具备三个条件,缺一不可:
(1)是整式方程;
(2)是一个自变量的二次式;(3)二次项系
数不为0
考点:
二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式
例1、函数y=(m+2)xm2+2x-1是二次函数,则m=.
例2、下列函数中是二次函数的有()
1
①y=x+;②y=3(x-1)
x
2+2;③y=(x+3)2-2x2;④y=2+x.
x
A.1个B.2个C.3个D.4个
例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时,每天可以售出300套.据市场调查发现,这种服装每提
高1元售价,销量就减少5套,如果商场将售价定为x,请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式.
例4、如图,正方形ABCD的边长为4,P是BC边上一点,QP⊥AP交DC于Q,如果BP=x,△ADQ的面积
为y,用含x的代数式表示y.
训练题:
1、已知函数y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数),当a时,是二次函数;当a,b时,是一次函数;
当a,b,c时,是正比例函数.
2、若函数y=(m2+2m-7)x2+4x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围为。
3、已知函数y=(m-1)x+5x-3是二次函数,求m的值。
4、已知菱形的一条对角线长为a,另一条对角线为它的3倍,用表达式表示出菱形的面积S与对角线a的关系.
5、请你分别给a,b,c一个值,让yax2bxc为二次函数,且让一次函数y=ax+b的图像经过一、二、三
象限
6.下列不是二次函数的是()
A.y=3x2+4
12
B.y=-3x2C.y=x25
7.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是(
D.y=(x+1)(x-2)
)
A.m、n为常数,且m≠0
C.m、n为常数,且n≠0
B.m、n为常数,且m≠n
D.m、n可以为任何常数
8.如图,校园要建苗圃,其形状如直角梯形,有两边借用夹角为
135°的两面墙,另外两边是总长为30米的铁
栅栏.
(1)求梯形的面积y与高x的表达式;
(2)求x的取值范围.
9.如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始沿AB方向向点B以1cm/s的速度移动,同
时,点Q从点B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动.如果P、Q两点分别到达B、C两点停止移动,设运动
开始后第t秒钟时,五边形APQCD的面积为Scm2,写出S与t的函数表达式,并指出自变量t的取值范围.
10.已知:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=8.点D在斜边AB上,分别作DE⊥AC,DF⊥BC,
垂足分别为E、F,得四边形DECF.设DE=x,DF=y.
1)AE用含y的代数式表示为:
AE=;
2)求y与x之间的函数表达式,并求出x的取值范围;
3)设四边形DECF的面积为S,求S与x之间的函数表达式.
第二讲
二次函数的图像和性质
知识点归纳:
1、求抛物线的顶点、对称轴的方法
222
(1)公式法:
yax2bxcaxac,∴顶点是(,ac),对称轴是直线
2a4a2a4a
b
x.
2a
(2)运用抛物线的对称性:
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以抛物线上对称点的连线的垂直平分
线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
2、二次函数的图象及性质:
(1)二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线,其顶点是原点,对称轴是y轴;当a>0时,抛物线开口向
上,顶点是最低点;当a<0时,抛物线开口向下,顶点是最高点;a越小,抛物线开口越大.
(2)二次函数yax2bxc的图象是一条对称轴平行y轴或者与y轴重合的抛物线.要会根据对称轴和图像
判断二次函数的增减情况。
3、图象的平移:
左加右减,上加下减
例1、
抛物线
y=-2x2+6x-1
2
y=2x+6x-1
对称轴
顶点坐标
开口方向
位置
增减性
最值
例2、已知直线y=-2x+3与抛物线y=ax2相交于A、B两点,且A点坐标为(-3,m).
(1)a、m的值;
(2)抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标;
(3)x取何值时,二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小;
(4)A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积.
例3、求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式:
(5)y=ax2经过(1,2);
1
(6)y=ax2与y=2x2的开口大小相等,开口方向相反;
(7)y=ax2与直线y=2x+3交于点(2,m).
例4、抛物线y=ax2+bx+c如图所示,则它关于y轴对称的抛物线的表达式是
例7、已知二次函数y=(m-2)x2+(m+3)x+m+2的图象过点(0,5)
(1)求m的值,并写出二次函数的表达式;
(2)求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴.
例5、二次函数y=a(x-h)2的图象如图:
已知a=2,OA=OC,试求该抛物线的解析式。
例6、试写出抛物线y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
2
(1)右移2个单位;
(2)左移个单位;(3)先左移1个单位,再右移4个单位。
3
例7、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,在向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,
试求b、c的值。
训练题:
1.抛物线y=-4x2-4的开口向,当x=时,y有最值,y=.
2.当m=时,y=(m-1)xmm-3m是关于x的二次函数.
3.抛物线y=-3x2上两点A(x,-27),B(2,y),则x=,y=.
2
4.当m=时,抛物线y=(m+1)xmm+9开口向下,对称轴是.在对称轴左侧,y随x的增大而;
在对称轴右侧,y随x的增大而.
5.抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点为(2,b),则k=,b=.
6.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,且经过点(-1,-2),则抛物线的表达式为
7.在同一坐标系中,图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是(
2
D.y=-x
D.无法确定
12122
A.y=2xB.y=-2xC.y=-2x
8.抛物线,y=4x2,y=-2x2的图象,开口最大的是()
1222
A.y=4xB.y=4xC.y=-2x
9.对于抛物线y=x2和y=-x2在同一坐标系里的位置,下列说法错误的是()
33
A.两条抛物线关于x轴对称B.两条抛物线关于原点对称
11.已知函数y=ax2的图象与直线y=-x+4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同,则
a的值为()
A.4B.2C.D.
24
125
12.已知二次函数y=4x-2x+6,当x=时,y最小=;当x时,y随x的增大而减小.
13.抛物线y=2x2向左平移1个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线表达式为.
14.若二次函数y=3x2+mx-3的对称轴是直线x=1,则m=。
15.当n=,m=时,函数y=(m+n)xn+(m-n)x的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的
开口.
16.已知二次函数y=x2-2ax+2a+3,当a=时,该函数y的最小值为0.
17.二次函数y=3x2-6x+5,当x>1时,y随x的增大而;当x<1时,y随x的增大而;当
x=1时,函数有最值是。
18.如果将抛物线y=2x2-1的图象向右平移3个单位,所得到的抛物线的关系式为。
19.将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位,再向右平移1个单位,得到y=2x2-4x-1则a=,b
c=
20.将抛物线y=ax2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的
抛物线的关系式为_.
21.右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像,?
观察图像写出y2≥y1时,x的取值范围.
22、函数y=ax2(a≠0)的图像与直线y=-2x-3交于点(1,b)
1)求a和b的值
2)求抛物线y=ax2的解析式,并求出顶点坐标和对称轴;
3)x取何值时,二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大?
4)求抛物线与直线y=-2的两个交点及顶点所构成的三角形的面积。
23、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日生产的产品全部售出.已知生产x只玩具
熊猫的成本为R(元),每只售价为P(元),且R,P与x的表达式分别为R=500+30x,P=170-2x.
(1)当日产量为多少时,每日获利为1750元?
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
最大利润是多少?
24、某商场批单价为25元的旅游鞋。
为确定一个最佳的销售价格,在试销期采用多种价格进性销售,经试验发
现:
按每双30元的价格销售时,每天能卖出60双;按每双32元的价格销售时,每天能卖出52双,假定每天售
出鞋的数量Y(双)是销售单位X的一次函数。
(1)求Y与X之间的函数关系式;
(2)在鞋不积压,且不考虑其它因素的情况下,求出每天的销售利润W(元)与销售单价X之间的函数关系式;
(3)销售价格定为多少元时,每天获得的销售利润最多?
是多少?
第三讲函数的图象特征与a、b、c的关系
知识点:
a看开口方向,c看与y轴的交点位置,b结合a、看对称轴的位置。
例1、已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示,有下列四个结
论:
①b0②c0③b24ac0④abc0,其中正确的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
2
例2、已知二次函数yax2bxc的图象如图所示,有以下结论:
①
abc0;②abc1;③abc0;④4a2bc0;⑤ca1其中所有正确结论的序号是()
A.①②B.①③④
C.①②③⑤D.①②③④⑤
训练题
1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示,则
A.a>0,b>0,c>0B.a>0,b>0,c=0
C.a>0,b<0,c=0D.a>0,b<0,c<0
2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象2如图所示,
A.a+b+c>0B.b>-2a
C.a-b+c>0D.c<0
3.抛物线y=ax2+bx+c中,b=4a,它的图象如图
y
11
1Ox
a、b、c的符号为()
则下列结论正确的是()
3,有以下结论:
①c>0;②a+b+c>0③a-b+c>0
A.①②B.①④C.①②③
4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数
④b2-4ac<0⑤abc<0;其中正确的为()
D.①③⑤
y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是()
5.已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=
O1xyO1xyO1xyO1x
ABCD
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图5所示,那么abc,
四个代数式中,值为正数的有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
7.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是图中的(
0,则它的图象可能是图所示的()
b2-4ac,2a+b,a+b+c
)
③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0;
其中正确的个数是()
A.1B.2C.3D.4
11.已知二次函数y=ax2+bx+c经过一、三、四象限(不经过原点和第二象限)则直线y=ax+bc不经过()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2
12、二次函数yaxbxc(a0)的图象如图,下列判断错误的是
bxc的图象如图所示,则下列关系式中错误
B.b0C.c0
()
2
D.b4ac0
A.a<0
B.c>0
C.b24ac>0
D.abc>0
)
第13题图
第四讲二次函数的交点问题
知识点:
二次函数与x轴、y轴的交点的求法:
分别令y=0,x=0;二次函数与一次及反比例函数等的相交:
联立
两个函数表达式,解方程.
例1、已知抛物线y=x2-2x-8,
(1)求证:
该抛物线与x轴一定有两个交点,并求出这两个交点的坐标。
(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,且它的顶点为P,求△ABP的面积
例2、如图,直线ι经过A(3,0),B(0,3)两点,且与二次函数
(1)△AOC的面积;
(2)二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积.
y=x2+1的图象,在第一象限内相交于点
C.求:
例4、已知抛物线y=x2+x-.
22
(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.
(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.
例5、已知抛物线y=mx2+(3-2m)x+m-2(m≠0)与x轴有两个不同的交点.
(1)求m的取值范围;
(2)判断点P(1,1)是否在抛物线上;
(3)当m=1时,求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标,并过P′、Q、P三点,画
出抛物线草图.
例6.已知二次函数y=x2-(m-3)x-m的图象是抛物线,如图2-8-10.
(1)试求m为何值时,抛物线与x轴的两个交点间的距离是3?
(2)当m为何值时,方程x2-(m-3)x-m=0的两个根均为负数?
(3)设抛物线的顶点为M,与x轴的交点P、Q,求当PQ最短时△MPQ的面积.
练习题
1.抛物线y=a(x-2)(x+5)与x轴的交点坐标为.
2.已知抛物线的对称轴是x=-1,它与x轴交点的距离等于4,它在y轴上的截距是-6,则它的表达式为
.
3.若a>0,b>0,c>0,△>0,那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限.
4.抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是.
2
5.若抛物线y=2x-(m+3)x-m+7的对称轴是x=1,则m=.
6.抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个交点,则m=.
7.已知抛物线y=ax2+bx+c的系数有a-b+c=0,则这条抛物线经过点.
8.二次函数y=kx2+3x-4的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围.
9.抛物线y=x2-2ax+a2的顶点在直线y=2上,则a的值是.
10.抛物线y=3x2+5x与两坐标轴交点的个数为()
A.3个B.2个C.1个D.无
abc
11.如图1所示,函数y=ax2-bx+c的图象过(-1,0),则bccaab的值是(
11
A.-3B.3C.2D.-2
14.已知二次函数y=x2-2kx+k2+k-2.
(1)当实数k为何值时,图象经过原点?
(2)当实数k在何范围取值时,函数图象的顶点在第四象限内?
第五讲函数解析式的求法
例1、已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c,然后解三元方程组求解;
1.已知二次函数的图象经过A(0,3)、B(1,3)、C(-1,1)三点,求该二次函数的解析式。
2.已知抛物线过A(1,0)和B(4,0)两点,交y轴于C点且BC=5,求该二次函数的解析式。
例2、已知抛物线的顶点坐标,或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时,通常设解析式为顶点
式y=a(x-h)2+k求解。
3.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-6),且经过点(2,-8),求该二次函数的解析式。
4.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-3),且经过点P(2,0)点,求二次函数的解析式。
例3、已知抛物线与轴的交点的坐标时,通常设解析式为交点式y=a(x-x1)(x-x2)。
5.二次函数的图象经过A(-1,0),B(3,0),函数有最小值-8,求该二次函数的解析式。
6.抛物线y=2x2+bx+c与x轴交于(2,0)、(-3,0),则该二次函数的解析式
例4、一次函数y=2x+3,与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于A(m,5)和B(3,n)两点,
且当x=3时,抛物线取得最值为9.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在同一坐标系中画出两个函数的图象;
(3)从图象上观察,x为何值时,一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大.
(4)当x为何值时,一次函数值大于二次函数值?
例5、某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时
间的关系用图①中的一条折线表示,西红柿的种植成本与上市时间关系用图②中的抛物线表示.
(1)写出图①中
表示的市场售价与时间的函数表达式P=f(t),写出图②中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g(t);
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?
(注:
市场售价和种植成本
的单位:
元/102kg,时间单位:
天)
训练题
1.若抛物线y=ax+bx+c的顶点坐标为(1,3),且与y=2x2的开口大小相同,方向相反,则该二次函数的解析
式。
2.抛物线y=2x2+bx+c与x轴交于(-1,0)、(3,0),则b=,c=.
3.若抛物线与x轴交于(2,0)(、3,0),与y轴交于(0,-4),则该二次函数的解析式
4.根据下列条件求关于x的二次函数的解析式
(1)当x=3时,y最小值=-1,且图象过(0,7)
3
2)图象过点(0,-2)(1,2)且对称轴为直线x=2
3)图象经过(0,1)(1,0)(3,0)
4)当x=1时,y=0;x=0时,y=-2,x=2时,y=3
5)抛物线顶点坐标为(-1,-2)且通过点(1,10)
5.当二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x1=-3,x2=1时,且与y轴交点为(0,-2),求这个二次函数
的解析式
6.已知二次函数
y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(2,
0)、(4,0),顶点到x轴的距离为3,求函数的解析式。
10.y=-x2+2(k-1)x+2k-k2,它的图象经过原点,求①解析式②与x轴交点O、A及顶点C组成的△OAC
面积。
11.抛物线y=(k2-2)x2+m-4kx的对称轴是直线x=2,且它的最低点在直线y=-2x+2上,求函数解析式。
第六讲一元二次函数的应用
例1、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽快减少
库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.
(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
(2)每件衬衫降低多少元时,商场平均每天盈利最多?
例2、.某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40~70元之间.市场
调查发现:
若每箱以50元销售,平均每天可销售90箱,价格每降低1元,平均每天多销售3箱,价格每升高1
元,平均每天少销售3箱.
(1)写出平均每天销售(y)箱与每箱售价x(元)之间的函数关系式.(注明范围)
(2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式(每箱的利润=
售价-进价).
(3)求出
(2)中二次函数图象的顶点坐标,并求当x=40,70时W的值.在坐标系中画出函数图象的草图.
(4)由函数图象可以看出,当牛奶售价为多少时,平均每天的利润最大?
最大利润为多少?
例3、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上
(1)
.设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示?
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大
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