08级研矩阵论试题与答案.docx
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08级研矩阵论试题与答案
中国矿
业大学
08级硕士研究生课程考试试卷
考试科目
2008年12月
研究生姓名
中国矿业大学研究生培养管理科印制
(15分)计算
已知A可逆,求;eAtdt(用矩阵A或其逆矩阵表示);
(2)
设a(ai,a2,a3,a4)T是给定的常向量,
X(Xj)24是矩阵变量,求畔■
设3阶方阵A的特征多项式为
(6),且A可对角化,求lim
k
k
A
O
(A)
二(15分)设微分方程组
dx
dT
Ax
,Xo
x(0)
Xo
(1)求A的最小多项式mA();
(3)求e
At
(3)求该方程组的解。
x3
x1
x1
x2x31
x21
(1)求A的满秩分解AFG;
2)由满秩分解计算A;
3)求该方程组的最小2-范数最小二乘解
xLS。
四(10分)设
求矩阵A的QR分解(要求R的对角元全为正数,方法不限)。
(2)求A的Jordan形(需要讨论)。
六(10分)设ARmn
(1)证明rank(InAA)n
(2)Ax0的通解是x
(In
AA)y,
Rn。
七(10分)证明矩阵
(1)能与对角矩阵相似;
2
3
3
4
M
(n1)2
特征值全为实数。
1
2
2
3
(n1)3
1
尹
2
3
盯
M
2n
八(15分)设A是可逆矩阵,
||BA
(这里矩阵范数都是算子范数)
如果
,证明
(1)B是可逆矩阵;
(2)B1
A1
(15分)计算
(2)
(2)
参考答案
已知A可逆,求;eAtdt(用矩阵A或其逆矩阵表示);
a(a1,a2,a3,a4)T是给定的常向量,X
(Xij)24是矩阵变量,求d(Xa;
dX
3阶方阵A的特征多项式为
0eAtdt
A1
2(
6),且A可对角化,求lim
k
A
o
(A)
.At
1dedt0dt
A1(eAI)
d(X
dX
)T
A的特征根为
k
lim亠
k(A)
x1jaj
,(X
X2jaj
(X)T
X11
(X)T
X21
)T
(X
xijaj
X2jaj得
)T
(X
(X)T
X12
(X)T
X13
(X)T
X14
(X)T
X22
X24
a1
0
a1
a2
0
a2
a3
0
a3
a4
0
a4
Clim
6,
(A)
6.由于A可对角化,即存在可逆矩阵C,使
,从而
A
(A)
C1.故
C11A.
二(15分)设微分方程组
dx
dT
Ax
Xo
x(0)
Xo
求A的最小多项式mA();
(3)求e
At
(3)求该方程组的解。
3
1),mA()
1)2;
4t
8t
r()
et(t
1t),
Ate
r(A)
3t
6t
2t
4t
x(t)
At
eX0
1
et1
12t
9t
三(15分)
(2)
6t
对下面矛盾方程组Ax
求A的满秩分解AFG;
由满秩分解计算A;
求该方程组的最小
X3
X1
X1
2-范数最小二乘解
1
1
1
0
0
X2
X2
X3
1
Xls。
FG
(不唯一)
(2)A
(3)Xls
四(10分)
A7211
13
求矩阵A的QR分解
(要求R的对角元全为正数,方法不限)
五(10分)设A
T(0
证明A的最小多项式是m(
(2)
求A的Jordan形(需要讨论)
易知rank(A)1,tr(A)
m(A)
A2
又对任意的一次多项式g()
当c0时,AO,矛盾。
当
(2)由m()(tr(A))
2)
tr(A)
tr(A)A(
c,g(A)A
)A
)AO
cIOo
反证,如果Acl0
c0时,rank(A)rank(
cl)n2,矛盾。
0根知,A的特征值只能是0或tr(A)T
当tr(A)
0时,m()无重根,
A可对角化,再由
rank(A)
1知
A~J
当tr(A)
0时,A的特征值全是
0,
知00对应的特征向量只有
nrank(
0I
A)n
1的线性无关的,
从而
A~J
01
六(10分)设ARrmn
证明
rank(InAA)
r;
所以
Ax
In
0的通解是x
(In
Rn。
rank(In
AA)
r。
由A(In
AA)
AAA
其中又有nr
UTU
Ir
O
VT
In
Ir
O
VT
VT
O
IOnrV
知In
A的列都是
Ax0的解,
个线性无关的,故其线性组合(In
AA)y,
yRn就是Ax0通解。
七(10分)证明矩阵
(1)能与对角矩阵相似;
2
3
3
4
M
n
(n1)2
特征值全为实数。
证:
(1)Rk
1k
1(k1)i
Gk互不交,说明
1
2
2
3
n
(n1)3
A有n个不同的特征值,从而可对角化。
(2)Gk关于实轴对称,如果A有复特征值必成对共轭出现,而
为实数。
八(15分)设A是可逆矩阵,
||BA
如果
,证明
(1)B是可逆矩阵;
(2)IB1
证(方法一)
1
11I
丄
AAx
AII
Ax
(1)1x
1
(AB)xBx||
1
尹
2
3
沪
M
2n
Gk中只有一个特征值,所以必
(这里矩阵范数都是算子范数)
A1
(AB)x|||Bx||-||x||
-||Bx|
IIx|BX
(*)
(2)由式(*),取x
B1y
BB1y
y||
1y-
y|
由算子范数的定义得
(3)IB1A1!
||B1(A
B)A1||
B1
IIA
(方法二)
引理:
设ACnn
,若A
A可逆,
并有(I
A)1|
1
HA
(1)11A1B
A1(B
A)
1|ba|
(**)
由引理知,A1BI
(I
11
(2)BI(IAB)
A1
B1!
lA1
(3)同上。
l|l(I
由式(**)和引理
11
1
1
1
1
ha1bI
1-
A1B)可逆,从而B可逆。
1B)1
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