知识梳理与自测人教A版文科数学《76直接证明与间接证明》.docx
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知识梳理与自测人教A版文科数学《76直接证明与间接证明》
§7.6 直接证明与间接证明
最新考纲
考情考向分析
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点.
2.了解反证法的思考过程和特点.
常以立体几何中的证明及相关选修内容中平面几何,不等式的证明为载体加以考查,注意提高分析问题、解决问题的能力;在高考中主要以解答题的形式考查,难度为中档.
1.直接证明
(1)综合法
①定义:
一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
②框图表示:
―→―→―→…―→
(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论).
③思维过程:
由因导果.
(2)分析法
①定义:
一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.
②框图表示:
―→―→―→…―→
(其中Q表示要证明的结论).
③思维过程:
执果索因.
2.间接证明
反证法:
一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立的证明方法.
概念方法微思考
1.直接证明中的综合法是演绎推理吗?
提示 是.用综合法证明时常省略大前提.
2.综合法与分析法的推理过程有何区别?
提示 综合法是执因索果,分析法是执果索因,推理方式是互逆的.
3.反证法是“要证原命题成立,只需证其逆否命题成立”的推理方法吗?
提示 不是.反证法是命题中“p与綈p”关系的应用.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.( × )
(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.( × )
(3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a
(4)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.( × )
(5)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程.( √ )
(6)证明不等式+<+最合适的方法是分析法.( √ )
题组二 教材改编
2.[P42T2]若P=+,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系是( )
A.P>QB.P=Q
C.P 答案 A 解析 P2=2a+13+2, Q2=2a+13+2, ∴P2>Q2,又∵P>0,Q>0,∴P>Q. 3.[P44B组T2]设实数a,b,c成等比数列,非零实数x,y分别为a与b,b与c的等差中项,则+等于( ) A.1B.2C.4D.6 答案 B 解析 由题意,得x=,y=,b2=ac, ∴xy=, +== == == ==2. 题组三 易错自纠 4.若a,b,c为实数,且a A.ac2 C. 答案 B 解析 a2-ab=a(a-b), ∵a0, ∴a2>ab.① 又ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2,② 由①②得a2>ab>b2. 5.用反证法证明命题: “设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要作的假设是( ) A.方程x3+ax+b=0没有实根 B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根 答案 A 解析 方程x3+ax+b=0至少有一个实根的反面是方程x3+ax+b=0没有实根,故选A. 6.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,则△ABC的形状为________. 答案 等边三角形 解析 由题意得2B=A+C, ∵A+B+C=π,∴B=,又b2=ac, 由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac, ∴a2+c2-2ac=0,即(a-c)2=0,∴a=c, ∴A=C,∴A=B=C=, ∴△ABC为等边三角形. 题型一 综合法的应用 例1已知a,b,c>0,a+b+c=1.求证: (1)++≤; (2)++≥. 证明 (1)∵(++)2=(a+b+c)+2+2+2≤(a+b+c)+(a+b)+(b+c)+(c+a)=3, ∴++≤(当且仅当a=b=c时取等号). (2)∵a>0,∴3a+1>1, ∴+(3a+1)≥2=4, ∴≥3-3a, 同理得≥3-3b,≥3-3c, 以上三式相加得 4≥9-3(a+b+c)=6, ∴++≥(当且仅当a=b=c=时取等号). 思维升华 (1)从已知出发,逐步推理直到得出所证结论的方法为综合法; (2)计算题的计算过程也是根据已知的式子进行逐步推导的过程,也是使用的综合法. 跟踪训练1设Tn是数列{an}的前n项之积,并满足: Tn=1-an. (1)证明: 数列是等差数列; (2)令bn=,证明: {bn}的前n项和Sn<. 证明 (1)∵an+1== ⇒=⇒-=1, ∴-=1, 又∵T1=1-a1=a1, ∴a1=,∴==2, ∴数列是以2为首项,公差为1的等差数列. (2)∵=+(n-1)×1, ∴=n+1⇒an=(n∈N*), ∴bn=== <=, ∴Sn=b1+b2+…+bn <× =×<×=. 题型二 分析法的应用 例2已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c. 求证: +=. 证明 要证+=, 即证+=3,也就是+=1, 只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需证c2+a2=ac+b2, 又△ABC三内角A,B,C成等差数列,故B=60°, 由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos60°, 即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立. 于是原等式成立. 思维升华 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件. (2)证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法. 跟踪训练2已知a>0,证明: -≥a+-2. 证明 要证-≥a+-2, 只需证≥-(2-). 因为a>0,所以-(2-)>0, 所以只需证2≥2, 即2(2-)≥8-4, 只需证a+≥2. 因为a>0,a+≥2显然成立 , 所以要证的不等式成立. 题型三 反证法的应用 例3设a>0,b>0,且a+b=+.证明: (1)a+b≥2; (2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立. 证明 由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1, 有a+b≥2=2,即a+b≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立. (2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,
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