四年级下册数学试题第八讲高斯求和全国通用无答案.docx
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四年级下册数学试题第八讲高斯求和全国通用无答案
第八讲高斯求和
[同步巩固演练]
1、数列4,7,10,…,295,298中,298是第几项?
2、数列7,15,23,…,799中,799是第几项?
3、从自然数4开始数,每后面一个数比前一个数大1,数到100时,一共数了多少个数?
4、数列的公差是5,第50项是700,首项是多少?
5、求数列1,3,5,7,…的第20项。
6、求数列1,4,7,…的第21项。
7、求数列3,10,17…的第15项。
8、在数列7,10,13,16,…中,907是第几个数?
第907个数是多少?
9、求出下列各题的值:
(1)从1到100的所有单数的和;
(2)从1到100的所有双数的和;
(3)从51到121的所有单数的和。
10、求出0至100(包括0与100)内所有4的倍数所组成的和。
11、自1开始,每隔两个数写出一个数来,得到数列:
1,4,7,10,13,…,求出这个数列前100项之和。
12、自然数中所有三位数之和是多少?
13、一只小虫沿笔直的树干跳着往上行,每跳一次都上升4厘米,它从离地面10厘米处开始跳,如果把这一处称为小虫的第一落脚点,那么它的第100个落脚点正好在树梢,这棵树高多少厘米?
14、如图,一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔,往一每一层都比它下面一层多放1支,最上面一层是120支,这个V形架上共放着多少支铅笔?
第14题
15、有12个同学聚会,如果见面时每个同学都和其余的人握手1次,那么一共握手多少次?
16、按一定规律排列的算式:
4+2,5+8,6+14,7+20,…,那么第100个算式是什么?
17、小刚练习口算,他按照自然数的顺序从1开始求和,当加到某个数时,和是1300,在验算时发现,他重复加了一个数,问这个数是多少?
18、把1988表示成28个连续偶数之和,其中最大的偶数是多少?
19、编号为1~9的九个盒中共放有351粒米,已知每个盒子都比前一个盒子多同样粒米,如果1号盒子内放了11粒米,问后面的盒子比前一号的盒子多放几粒米?
[能力拓展平台]
1、七个人的年龄各不相同,和是99岁,其中最大的年龄是18岁,那么最小年龄至少是多少岁?
2、在两位数10,11,…,98,99中,将每个被2除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点,其余的数不变,问:
经过这样改变之所,所有数的和是多少?
3、有一列数1,1993,1992,1,1991,1990,1…,从第三个数起,每个数都是它前面两个数中大数减小数的差,求从第一数起到1993个数,这1993个数之和。
4、有10个盒子,44只乒乓球,把这44只乒乓球放到盒子中,能不能使每个盒中的球数都不相同(每个盒子中至少要放一个球)?
5、影剧院共有25排座位,第一排有20个座位,以后每排比前一排多2个座位,最后一排有75个座位,问:
影剧院共有多少个座位?
6、力学小学的礼堂里共有30排座位,从第一排开始,以后每排比前一排多2个座位,最后一排有75个座位,问:
这个礼堂共有多少个座位?
7、7条直线最多能把一个长方形分成多块?
8、如图是一个五边形点阵,中心是一个点为第一层,第二层每边为两个点(五边形顶点处的一个点为相邻两边所公用),第三层每边3个点,第四层每边4个点……其余类推,如果这个五边形点阵共有30层,那么点阵中一共有多少个点?
第8题
9、两条直线相交可得1个交点,在同一平面上6条直线最多可得多少个交点?
10、如图所示为切大饼的示意图,切一刀只有一种切法,切两刀有两种切法,切三刀有4种切法……问切十一刀有多少种切法(规定:
三刀或三刀以下不能切在同一点上,如图所示)?
第10题
11、有11个连续单数的和是1911,这11个数中最小的是多少?
12、下表中30个格子中各有1个数,除最上面一行和最左边一列的格子内已写上数外,其它格子的数等于同一行最左边一个数与同一列最上面一个数之和(例如a=16+19=35),求方格内30个数的和。
10
11
13
15
17
19
12
14
16
a
18
13、盒子里放有1只球,一位魔术师第一次从盒子里将这1只球拿出,变成3只球后放回盒子里;第2次从盒子里拿出2只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里;如此继续下去,最后第10次从盒子里拿出10只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里,这时盒子里共有多少只球?
14、在1~100内所有不能被5或9整除的数的和是多少?
15、已知一串数:
1,2,2,2,3,3,3,3,3,…,试问:
(1)10是这串数中的第几到几个数?
(2)这串数中的第80个数是几?
(3)这串数中前80个数的和是多少?
16、下面方阵中所有数的和是多少。
1900190119021903…1949
1901190219031904…1950
1902190319041905…1951
1903190419051906…1952
:
:
:
:
:
1948194919501951…1997
1949195019511952…1998
17、把所有奇数排列成下面的数表,根据规律,请指出:
①197排在第几行的第几个数?
②第10行的第9个数是多少?
1
357
911131517
19212325272931
333537394143454749
……
18、将自然数如下排列,
12671516 …
3581417…
491318…
1012…
11…
…
在这样的排列下,数字3排在第2行第1列,13排在第3行第3列,问:
1993排在第几行第几列?
[全讲综合训练]
1、求0至100内能够被5整除的数的和。
2、50把锁钥搞乱了,为了使每锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?
3、5个连续整数的和为225,求这5个数的第一个数为多少?
4、小张看一本故事书,第一天看了25页,以后每天比前一天多看的页数相同,第25天看了97页刚好看完,问:
这本书共有多少页?
5、已知数列:
2,5,3,3,7,2,5,3,3,7,2,5,3,3,7,…这个数列的第30项是哪个数字?
到第25项止,这些数的和是多少?
6、一个剧场设置了22排座位,第一排有36个座位,往后每排都比前一排多2个座位,这个剧场共有多少个座位?
7、求一切除以4余1的两位数的和是多少?
8、学校进行乒乓球选拨赛,每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场,一共进行了78场比赛,有多少人参加了选拨赛?
9、时钟每个整点敲该钟点数,每半点敲一下,一昼夜共敲多少下?
10、某小组有10个同学,放假时,握手告别,每两人都握一次,问共握了多少次手?
11、体育课上,同学们玩丢石子的游戏,从A点出发,先走1米放1个石子,再走5米放3个石子,接着走9米放5个石子,再接着走13米放7个石子,…,照此规律,最后到B点时需要放15个石子,问从A到B共有多少米?
12、体育课上,教师让全班45个同学站成一行,小王站在最后,老师让第一个人报1,从第二个人开始,每后一个人都比前一个报的数要多3,小王应报几?
13、求自然数中所有三位数的和。
14、从1开始,每隔两个数写出一个数来,得到数列:
1,4,7,10,13,16,…,求前100个数的和。
15、求从1开始的连续100个单数的和。
16、求数列2,4,6,8,10,…,200的和。
17、连续九个自然数的和为54,则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少?
18、一堆钢管,最下面一层放137根,每往上一层,钢管就少放一根,最上面一层放一根,这堆钢管多少根?
19、梯子最高的一级宽31厘米,最低一级宽110厘米,中间还有9级,各级的宽度成等差数列,中间一级宽多少厘米?
20、在4与40之间插入哪8个数以后,能使这10个数成为等差数列?
21、三个数成等差数列,它们的和是21,积是91,这三个数是多少?
22、已知等差数列第1项是15,第6项是35,求公差。
23、有5个数组成等差数列,数列中第三个数是5,求这五个数的和。
24、有12个数组成等差数列,第六项与第七项的和是12,求这12个数的和。
25、王师傅3月1日开始用新机器织布,第一天织10米,以后每天都比前一天多织2米,则3月31日那天织了几米?
3月份一共织了多少米?
26、11至18这8个连续自然数的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8个连续数的和,这另外8个连续自然数中的最小数是多少?
27、100个连续自然数(按从小到大的顺序排列)的和是8450,取出其中第1个,第3个…第99个,再把剩下的50个数相加,得多少?
28、把210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大成一行后,相邻两个数的差都是5,那么,第1个数与第6个数分别是多少?
29、在1~2000以内的所有自然数中,既不能被8整除,也不能被12整除的数的和是多少?
30、小咪家住在一条胡同里,胡同里的门牌号从1号开始挨着排下去。
小咪将全胡同的门牌号进行口算求和,结果误把1看成了10,得到的错误结果为100,那么实际上全胡同共有多少家?
第八讲高斯求和
[同步巩固演练]
1、99
(290-4)÷3+1=99
2、100
(799-7)÷8+1=100
3、97
(100-4)÷1+1=97
4、455
700-(50-1)×5=455
5、39
1+(20-1)×2=39
6、61
1+(21-1)×3=61
7、101
3+(15-1)×7=101
8、301,2725
(907-7)÷3+1=301,7+(907-1)×3=2725
9、
(1)2500
(2)2550(3)3096
(1)(1+99)×50÷2=2500
(2)(2+100)×50÷2=2550
(3)(51+121)×36÷2=3096
10、1300
4+8+12+…+96+98+100=(4+100)×25÷2=1300
11、14950
第100项为1+(100-1)×3=298,和为(1+298)×100÷2=14950
12、494550
100+101+102+…+999=(100+999)×900÷2=494550
13、406厘米
10+(100-1)×4=406(厘米)
14、7260支
层数为(120-1)÷1+1=120(层),(1+120)×120÷2=7260(支)
15、66次
11+10+…+3+2+1=(1+11)×11÷2=66(次)
16、103+596
第一个加数为4+(100-1)×1=103,第二个加数为2+(100-1)×6=596
17、25
1+2+3+…+50=1275,所以多加的数为1300-1275=25
18、98
(1)利用等差数列的知识求解,设最小的偶数为x,由于这28个连续偶数是公差为2的等差数列,所以最大的偶数,即第28个偶数为x+(28-1)×2=x+54
根据题意,则有(x+x+54)×28÷2=1988
(2x+54)×28÷2=1988
2×(x+27)×28÷2=1988
x+27=1988÷28,即x+27=71得x=71-27,即x=44
所以,最大的偶数是44+(28-1)×2=44+54=98
(2)利用平均数的知识求解
这28个偶数的平均数为1988÷28=71
根据连续的偶数个偶数的特点可知,这28个连续偶数按着由小到大的顺序排列,第15个偶数为71+1=72。
所以第28个偶数,即最大的偶数为72+(14-1)×2=72+26=98
19、7粒
设每个盒子比前面一个盒子多放x粒米,则这9个盒子放和米数依次为:
11,11+x,11+2x,…,11+8x。
根据题意,有:
(11+11+8x)×9÷2=351
(22+8x)×9÷2=351
2×(11+4x)×9÷2=351
11+4x=351÷9即11+4x=39
4x=39-11即4x=28
得x=28÷4
x=7
所以,每个盒子都比前面一个盒子多放7粒米。
[能力拓展平台]
1、6岁
要使最小年龄尽可能小,其余6人的年龄应尺可能大,又最大年龄是18岁,所以余下5个人的年龄应是17,16,15,14,13。
因为18+17+16+15+14+13=(18+13)×6÷2=93,所以最小年龄为99-93=6(岁)
2、4316.4
原来的总和是:
10+11+…98+99=(10+99)×90÷2=4905。
被7除余2的两位数是16,23,30,…,93,共12个数,这些数按题中要求添加小数点后,都变为原数的
,因此使总和减少了:
(16+23+…+93)-(1.6+2.3+…+9.3)
=(16+93)×12÷2-(1.6+9.3)×12÷2
=588.6
所以,经过改变之后,所有数的和是:
4905-588.6=4316.4
3、1766241
我们按下列步骤分析求解:
(1)第1993年数是多少?
我们先把这列数分组,从头开始每3个数一组,即(1,1993,1992),(1,1991,1990),(1,1989,1988),…。
因为1993÷3=664余1,由此可知,由1992个数可分成644组,还剩下一个数,这个数是第655组的第一个数“1”,所以第1993个数是1。
(2)第1992个数是多少?
第1992个数是第664组数的第3个数,观察整个数列我们看到,每组中的第3个数从左至右依次是1992,1990,1988,…,是个逐次少2的等差数列,所以第1992个数是1992-(644-1)×2=666。
(3)这1993个数的和是多少?
这1993个数之和,即数列1,1993,1992;1,1991,1990;1,…,666,1的所有项之和,不难看出,在这个数列中有“1”(644+1)=655个,其余的数依次是1993,1992,1991,1990,…,666。
这是(1993-665)=1328个连续的自然数,利用等差数列求和公式很容易求和。
这1993个数的和为:
1+1993+1992+1+1994+1990+1+…+666+1
=1×665+(1993+666)×1328÷2
=665+2659×664
=665+1765576
=1766241
4、不能
因为1+2+3+…+10=55,55比44大所以不能。
5、1100个
最后一排有20+(25-1)×2=68(个),共有座位(20+68)×25÷2=1100(个)
6、1380个
第一排座位有75-(30-1)×2=17(个),共有座位(17+75)×30÷2=1380(个)
7、29块
1条直线分长方形为1+1=2(块);2条直线分1+1+2=4(块);3条直线分1+1+2+3=7(块);7条直线分1+1+2+3+4+5+6+7=29(块)
8、2176个
第二层有(2-1)×5个点,第三层有(3-1)×5个点,依此类推,30层有(30-1)×5个点,(1+2+3+…+29)×5+1=2176(个)
9、15
二条直线一个交点,三条直线1+2=3个交点,四条直线1+2+3个交点,依次类推,六条直线有1+2+3+4+5=15(个)交点。
10、56种
一刀有1种切法,二刀有1+1种切法,三刀有1+1+2种切法,四刀有1+1+2+3种切法,依此类推,11刀有1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56(种)
11、171
1991÷11=181,181-5×2=171
12、745
(12+14+16+18)×6+(11+13+15+17+19)×5+10=745
13、111只
一只球变3只球,实际上多了2只球。
因为第几次就拿出几个球,所以第1次多了2×1只球,第2次多了2×2只球,…第10次多了2×10只球,总共有1+2×1+2×2+2×3+…2×10=111(只)
14、3541
1~100内所有数的和为5050;1~100内所有5的倍数的和为:
(5+100)×20÷2=1050;1~100内所有9的倍数和为:
(9+99)×11÷2=594;1~100内所45的倍数只有45、90,所其和为135。
因此,1~100内所有不能被5或9整除的数的和为:
5050-1050-594+135=3541。
15、
(1)82到100
(2)9(3)4872500
(1)“9”这组数的个数为1+(9-1)×2=17(个),这串数中前9组数的个数为(1+17)×9÷2=81(个),“10”这组数共有19个,所以10是这串数中第82个到81+19=100(个)
(2)这串数中、前组数的个数为1+3+5+7+9+11+13+15+17=81(个),所以第80个数是9。
(3)前80个数的和为:
1+2×3+3×5+4×7+5×9+6×11+7×13+8×15+9×16=516。
16、4872500
第1行数的和为:
(1900+1949)×50÷2=96225,以后每一行比第1行多50,即:
96225,96225-50,96225+50×2,…,96225+50×49,求和为:
(96225+96225+50×49)×50÷2=4872500。
17、
(1)第10行第18个数,
(2)179
(1)因为197是奇数中的第99个数,1+3+5+7+9+11+13+15+17=81,所以第99个数在第10行99-81=18(个)
(2)第10行的第9个数是奇数中第90个数,它是179。
18、24行40列
不难看出,数表的排列规律如箭头所指,为研究的方便,我们不妨把原因顺时针转动450,就成为三角阵,(如右图),三角阵中,第1行1个数,第2行2个数…第n行就有n个数,设1993在三角阵中的第n行,则:
1+2+3+…+n-1<1993≤1+2+3+…+n,即:
n×(n-1)÷2<1993≤n×(n+1)÷2,用试值的方法,可以求出n=63。
又因为1+2+3+…62=1953,即第62行中最大的数为1953,三角阵中,奇数列的数字从左到右,依次增大,又1993-1953=40,所以,1993是三角阵中第63行从左开始数起的第40个数(若从右开始数,则为第24个数)。
把三角阵中与左图比较,可以发现:
①三角阵中每一行从左开始数起的第几个数,就位于左图的第几列。
②三角阵中第一行从右开始数起的第几个数,就位于左图的第几行。
由此,我们可知,1993位于原图的24行40列。
[全讲综合训练]
1、1050
5+10+15+…95+100=1050
2、1225次
49+48+47+46+…+3+2+1=1225(次)
3、43
225÷5=45,45-2=43
4、1525页
(25+97)×25÷2=1525(页)
5、7,100
30÷5=6,所以第30项的数字是7。
(2+5+3+3+7)×25÷5=100
6、1254个
最后一排有座位36+(22-1)×2=78(个),共有座位(36+78)×22÷2=1254(个)
7、1210
被4除余1的两位数有13,17,21,…,97共(97-13)÷4+1=22(个),和为(13+97)×22÷2=1210
8、13人
用尝试法,11个人赛1+2+3+4+…+9+10=55(场)12个人赛55+11=66(场),13个人赛66+12=78(场)
9、180下
把整点敲的加上半点敲的(1+2+3+…+12)×12+1×24=180(下)
10、45次
9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(次)
11、120米
先求是第几次丢了15个石子:
(15-1)÷2+1=8,从第7次丢石子到第8次,它们之间的距离是1+(8-1)×4=29(米),所以从A到B共有(1+29)×8÷2=120(米)
12、133
1+(45-1)×3=133
13、494550
100+101+102+…+999=(100+999)×900÷2=494550
14、14950
第100个数是1+(100-1)×3=298,和为(1+298)×100÷2=14950
15、10000
1+3+5+7+…+197+199=(1+199)×100÷2=10000
16、10100
2+4+6+8+…+198+200=(2+200)×100÷2=10100
17、126
连续九个数的首项为54÷9+4=10,末项为10+8=18,和为(10+18)×9÷2=126
18、9453根
层数为(137-1)÷1+1=137(层),共有(137+1)×137÷2=9453(根)
19、71厘米
(32+110)÷2=71(厘米)
20、8,12,16,20,24,28,32,36.
公差(40-4)÷(10-1)=4,所以此数列为4、8、12、16、20、24、28、32、36
21、1、7、13
21÷3=7,91÷7=13,所以三个数是1、7、13
22、4
(35-15)÷(6-1)=4
23、25
5×5=25
24、72
12×(12÷2)=72
25、70米,1240米
10+(31-1)×2=70(米),(10+70)×31÷2=1240(米)
26、260
把1992平均公成8份加在11至18这8个连续自数上。
1992÷8=249,最小数为11+249=260
27、4250
(8450-50)÷2+50=4250
28、15、20、25、30、35、40
210÷7=30,所以是15、20、25、30、35、40
29、1667332
1~2000以内的所有自然数的和为:
1+2+…+2000=(1+2000)×2000÷2=2001000。
能被8整除的数的和为:
8+16+…+2000=(8+2000)×250÷2=251000,
能被12整除的数的和为:
12+24+…+1992=(12+1992)×166÷2=166332
能同时被8、12整除的数的和为:
24+48+72+…+1992=(24+1992)×83÷2=83664
故既不能被8整除,也不能被12整除的数的和为:
2001000-251000-166332+83664=1667332
30、13
100-10+1=91。
设有n家,则根据求和公式:
(1+n)×n÷2=91,解得n=13。
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