第四单元 三角形.docx
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第四单元三角形
第四单元三角形
第十六课时几何初步及平行线、相交线
考点分析
探究一线与角的概念和基本性质
例1[2014·滨州]如图16-1,OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE的平分线.如果∠AOB=40°,∠COE=60°,那么∠BOD的度数为( )
A.50° B.60° C.65° D.70°
图16-1
探究二直线的位置关系
例2[2014·丽水]如图16-2,直线a∥B,AC⊥AB于点A,AC交直线B于点C,∠1=60°,则∠2的度数是( )
A.50° B.45° C.35° D.30°
图16-2
探究三度、分、秒的计算
例3
(1)[2013·湖州]把15°30′化成度的形式,则15°30′=________°;
(2)若∠α的补角为76°28′,则∠α=________.
探究四平行线的性质和判定的应用
例4如图16-3,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB,∠PCD的关系,请你从所得到的关系中任选一个加以证明.
图16-3
第十七课时三角形
考点分析
探究一三角形三边的关系
例1现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
探究二三角形内角与外角的应用
例2[2014·威海]如图17-1,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD.以下结论不正确的是( )
A.∠BAC=70°B.∠DOC=90°
C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°
图17-1
探究三三角形中重要线段的应用
例3[2014·枣庄]如图17-2,△ABC中,AB=4,AC=3,AD,AE分别是其角平分线和中线,过点C作CG⊥AD于点F,交AB于点G,连接EF,则线段EF的长为( )
A.
B.1C.
D.7
图17-2
第十八课时全等三角形
考点分析
探究一全等三角形性质与判定的综合运用
例1[2014·宜宾]已知:
如图18-1,在△AFD和△CEB中,点A,E,F,C在同一直线上,AE=CF,∠B=∠D,AD∥BC.求证:
AD=BC.
探究二全等三角形开放性问题
例2[2014·邵阳]已知点A,F,E,C在同一直线上,AB∥CD,∠ABE=∠CDF,AF=CE.
(1)从图中任找两组全等三角形;
(2)从
(1)中任选一组进行证明.
探究三利用全等三角形设计测量方案
例3如图,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M,N的距离,如果△PQO≌△NMO,那么只需测出其长度的线段是( )
A.PO B.PQ
C.MO D.MQ
探究四角平分线
例4[2014·大庆]如图,点D为锐角∠ABC内一点,点M在边BA上,点N在边BC上且DM=DN,∠BMD+∠BND=180°.
求证:
BD平分∠ABC.
回归教材
全等三角形一题多考
如图,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD.求证:
AB=DE,AC=DF.
中考预测
1.如图18-6,在△ABC和△DEF中,点B,F,C,E在一条直线上,BF=CE,AC∥DF,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF,这个添加的条件可以是________(只需写一个,不添加辅助线).
第十九课时等腰三角形
考点分析
探究一等腰三角形的性质的运用
例1如图19-1,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,∠ABC的平分线BG交AD于点E,EF⊥AB,垂足为F.
求证:
EF=ED.
图19-1
探究二等腰三角形的判定
例2[2014·襄阳]如图19-2,在△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,BD与CE交于点O,给出下列三个条件:
①∠EBO=∠DCO;②BE=CD;③OB=OC.
(1)上述三个条件中,由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有成立的情形)?
(2)请选择
(1)中的一种情形,写出证明过程.
图19-2
探究三等腰三角形的多解问题
例3[2014·扬州]若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm,则它的周长为________cm.
探究四等边三角形的判定与性质的综合应用
例4[2014·温州]如图19-3,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数;
(2)若CD=2,求DF的长.
图19-3
探究五等腰三角形的创新应用
例5在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,以AB,AC为边向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE.
图19-4
(1)如图①,连接BE,CD,BE与CD交于点O,
①证明:
DC=BE;
②∠BOC=________°(直接填答案).
(2)如图②,连接DE,交AB于点F,DF与EF相等吗?
证明你的结论.
回归教材
等腰三角形中的角度计算
如图19-5,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°.求∠B和∠C的度数.
图19-5
中考预测
1.如图19-6,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的度数为( )
A.30°B.36°C.40°D.45°
图19-6
2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,点D在AC上,BD=BC,则∠ABD的度数是________.
第二十课时直角三角形与勾股定理
考点分析
探究一直角三角形的性质
例1[2014·泉州]如图20-1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为斜边AB的中点,AB=10cm,则CD的长为________cm.
图20-1
探究二利用勾股定理进行计算
例2[2013·衢州]如图20-2,将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的矩形纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,则三角板最大边的长为( )
A.3cmB.6cm
C.3
cmD.6
cm
图20-2
探究三利用勾股定理解决生活中的实际问题
例3[2014·凉山州]如图20-3,圆柱形容器高为18cm,底面周长为24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为________cm.
图20-3
探究四勾股定理逆定理的应用
例4[2014·滨州]下列四组线段中,可以构成直角三角形的是( )
A.4,5,6B.1.5,2,2.5
C.2,3,4D.1,
,3
回归教材
勾股定理与面积问题
如图20-4,分别以等腰Rt△ACD的边AD,AC,CD为直径画半圆.求证:
所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和(图中阴影部分)等于Rt△ACD的面积.
图20-4
中考预测
1.如图20-5是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面积分别为3,5,1,2,则最大的正方形E的面积是________.
图20-5
2.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值.图20-6是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树,树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为
S1,第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2,…,第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn.设第一个正方形的边长为1.
图20-6
请解答下列问题:
(1)S1=________;
(2)通过探究,用含n的代数式表示Sn,则Sn=
________________.
第二十一课时相似三角形及其应用
考点分析
相似三角形的基本图形
(1)如图21-5所示,称为“平行线型”的相似三角形.
图21-5
(2)如图21-6所示,其中∠1=∠2,称为“相交线型”的相似三角形.
(3)如图21-7所示,∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形.
图21-7
(4)如图21-8所示,称为“一线三等角型”的相似三角形.
图21-8
探究一比例线段
例1[2013·上海]如图21-1,已知在△ABC中,点D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB=3∶5,那么CF∶CB等于( )
A.5∶8 B.3∶8
C.3∶5 D.2∶5
图21-1
探究二相似三角形的性质及其应用
例2[2014·绍兴]课本中有一道作业题:
有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.问加工成的正方形零件的边长为多少mm?
小颖解得此题的答案为48mm.小颖善于反思,她又提出了如下的问题:
图21-2
(1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成,如图21-3①,此时,这个矩形零件的两条边长又分别是多少mm?
请你计算.
(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图21-3②,这样,此矩形零件的两条边长就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.
①
②
图21-3
探究三三角形相似的判定方法及其应用
例3[2014·扬州改编]已知矩形ABCD的一边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的点P处.
(1)如图21-4,已知折痕与边BC交于点O,连接AP,OP,OA.
①求证:
△OCP∽△PDA;
②若△OCP与△PDA的面积比为1∶4,求边AB的长.
(2)若图中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数.
探究四位似
例4[2014·武汉]如图21-9,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2).以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的
后得到线段CD,则端点C的坐标为( )
A.(3,3)B.(4,3)
C.(3,1)D.(4,1)
探究五相似三角形与圆
例5[2014·成都改编]如图21-10,在⊙O的内接三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过点C作AB的垂线l交⊙O于另一点D,垂足为E.设P是
上异于A,C的一个动点,射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.
(1)求证:
△PAC∽△PDF;
(2)若AB=5,
=
,求PD的长.
图21-10
回归教材
“直角三角形斜边上的高”的模型作用
如图21-11,Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高.
求证:
(1)△ACD∽△ABC;
(2)△CBD∽△ABC.
图21-11
中考预测
1.如图21-12,△ABC中,CD⊥AB,垂足为D.下列条件中,能证明△ABC是直角三角形的有________.
①∠A+∠B=90°;②AB2=AC2+BC2;
③
=
;④CD2=AD·BD.
2.如图21-13,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,则树高AB=________m.
第二十二课时锐角三角函数
考点分析
探究一求三角函数值
例1[2014·威海]如图22-1,在网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,O都在格点上,则∠AOB的正弦值是( )
图22-1
A.
B.
C.
D.
探究二特殊锐角的三角函数值的应用
例2[2014·凉山州]在△ABC中,若
+(1-tanB)2=0,则∠C的度数是( )
A.45° B.60° C.75° D.105°
探究三解直角三角形
例3[2014·株洲]如图22-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的平分线交BC于点E,EF⊥AB于点F,点F恰好是AB的一个三等分点(AF>BF).
(1)求证:
△ACE≌△AFE;
(2)求tan∠CAE的值.
图22-2
第二十三课时解直角三角形的应用
考点分析
解直角三角形应用的基本图形
在实际测量高度、宽度、距离等问题中,常结合视角知识构造直角三角形,利用三角函数或相似三角形的知识来解决问题.常见的构造的基本图形有如下几种:
①不同地点看同一点;
图23-2
②同一地点看不同点;
图23-3
③利用反射构造相似.
图23-4
探究一利用直角三角形解决和高度(或宽度)有关的问题
例1如图23-1,某学校新建了一座吴玉章雕塑,小林站在距离塑像2.7米的A处自点B看塑像头顶D的仰角为45°,看塑像底部C的仰角为30°,求塑像CD的高度(最后结果精确到0.1米,参考数据:
=1.7).
图23-1
探究二利用直角三角形解决航海问题
例2[2014·南充]马航MH370失联后,我国政府积极参与搜救.某日,我两艘专业救助船A,B同时收到有关可疑漂浮物的讯息.如图23-5,可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.5°方向上,在救助船B的西北方向上,船B在船A正东方向140海里处.(参考数据:
sin36.5°≈0.6,cos36.5°≈0.8,tan36.5°≈0.75)
(1)求可疑漂浮物P到A,B两船所在直线的距离;
(2)若救助船A,B分别以40海里/时,30海里/时的速度同时出发,匀速直线前往搜救,试通过计算判断哪艘船先到达P处.
图23-5
探究三利用直角三角形解决坡度问题
例3[2014·巴中]如图23-6,一水库大坝的横断面为梯形ABCD,坝顶BC宽6米,坝高20米,斜坡AB的坡度i=1∶2.5,斜坡CD的坡角为30°,求坝底AD的长度(精确到0.1米,参考数据:
≈1.414,
≈1.732.提示:
坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比).
图23-6
回归教材
热气球测楼高
热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120m,这栋楼有多高(结果取整数)?
图23-7
中考预测
如图23-8,在数学活动课中,小敏为了测量旗杆AB的高度,站在教学楼上的C处测得旗杆底端B的俯角为45°,测得旗杆顶端A的仰角为30°.若旗杆与教学楼的水平距离CD为9m,则旗杆的高度是多少(结果保留根号)?
图23-8
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