浙江省衢州市江山市江山市城南中学学年八年级上学期期中数学试题.docx
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浙江省衢州市江山市江山市城南中学学年八年级上学期期中数学试题
绝密★启用前
浙江省衢州市江山市江山市城南中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题
试卷副标题
考试范围:
xxx;考试时间:
100分钟;命题人:
xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1.下列图形中,是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2.下列所给的各组线段,能组成直角三角形的是:
( )
A.3cm、4cm、5cmB.2cm、3cm、5cmC.2cm、3cm、6cmD.3cm、5cm、6cm
3.如图,数轴上所表示的x的取值范围为( )
A.x≤3B.﹣1≤x<3C.x>1D.﹣1 4.已知等腰三角形中有一个角等于 ,则这个等腰三角形的顶角的度数为 A. B. C. 或 D. 或 5.如果a>b,那么下列结论一定正确的是() A.a﹣3<b﹣3B.1+a>1+bC.﹣3a>﹣3bD. < 6.如图,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN( ) A.AM=CN B.AB=CD C.AM∥CN D.∠M=∠N 7.李老师奖励在数学竞赛中的优胜者,给小明80元去购买奖品笔记本和钢笔共30件,已知每本笔记本2元,每支钢笔5元,那么小明最多能买( )支钢笔? A.5 B.6 C.7 D.8 8.如图所示.△ABC中,∠B=∠C,D在BC上,∠BAD=50°,AE=AD,则∠EDC的度数为() A.15°B.25°C.30°D.50° 9.如图,等边△ABC的边长为2,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是边AC的中点,则EM+CM的最小值为( ) A.1 B.1 2 C.3 D. 10.如图钢架中,焊上等长的13根钢条来加固钢架,若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A,则∠A的度数是( ) A.14B.13C.12D.11 第II卷(非选择题) 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 11.写出命题“两直线平行,同旁内角互补.”的逆命题________。 12.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8,则斜边上的中线长为________。 13.如图,ΔABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点D.若∠A=40°,则∠DBC=_____°. 14.不等式 的最大负整数解为________. 15.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上一个动点,若PA=3,则PQ的最小值为_____. 16.如图,城南中学八年级学习小组发现: 当角平分线遇上平行线会出现等腰三角形。 例如: 图①,在四边形ABCD中,BE平分∠ABC,AD//BC,易得△ABE是等腰三角形。 该小组将此结论作拓展: 如图②,四边形ABCD中,BE平分∠BCD,CF平分∠ABC,AD//BC,AB=CD=3,AD=4,则EF=________。 如图③,如图,在长方形ABCD中,AB=3,BC=5,点E在边AD上,连接BE,△EAB沿BE翻折得到△EA1B,延长交BC于点F,若四边形EFCD的周长为11,则EF=________。 评卷人 得分 三、解答题 17. (1)解不等式3x﹣5<2(2+3x),并把解集表示在数轴上. (2)求不等式组 的整数解. 18.如图,AB与C B是两条公路,C,D是两个村庄,现在要建一个菜市场,使它到两个村庄的距离相等,而且还要使它到两条公路的距离也相等,用尺规作图画出菜市场的位置.(不写作法,保留作图痕迹) 19.如图,已知D,E在三角形ABC的边BC上,且AB=AC,AD=AE。 求证: BD=CE 20.如图,AC⊥AB于点A,CD⊥BD于点D,AB=CD,AC与BD相交于点O. (1)求证: △ABC≌△DCB; (2)△OBC是何种三角形? 并说明理由 21.在“扶贫攻坚”活动中,城南中学计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户.已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元,若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同. (1)请问甲、乙两种物品的单价各为多少? (2)如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件,总费用不少于5000元且不超过5020元,通过计算得出共有几种选购方案? 22.问题情境: 如图1,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,E是AC边上的一个动点(点E与A,C不重合),以CE为边在△ABC外作等腰直角△ECD,∠ECD=90°,连接BE,AD.猜想线段BE,AD之间的关系. (1)独立思考: 请直接写出线段BE,AD之间的数量关系: (2)合作交流: 城南中学八年级某学习小组受上述问题的启发,将图 (1)中的等腰直角△ECD绕着点C顺时针方向旋转至如图 (2)的位置,BE交AC于点H,交AD于点O. (1)中的结论是否仍然成立,请说明理由. (3)拓展延伸: 图 (1)中AD和BE存在着怎样的位置关系? 在等腰直角△ECD绕着点C顺时针方向旋转的过程中AD和BE的这种位置关系是否会变化? 请结合图 (2)说明理由. 23.如图1,△ABC中,CD⊥AB于D,且BD=4,AD=6,CD=8. (1)求证: ∠ACB=∠ABC; (2)如图2,E为AC的中点,连结DE.动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动,同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动,当其中一点到达终点时另一个点也停止运动.设点M运动的时间为t(秒), ①若MN与BC平行,求t的值; ②问在点M运动的过程中,△MDE能否成为等腰三角形? 若能,求出t的值;若不能,请说明理由. 参考答案 1.C 【解析】 【分析】 根据轴对称的定义,逐项进行分析即可; 【详解】 A选项中,没有对称轴,不是轴对称图形,不符合题意; B选项中,没有对称轴,不是轴对称图形,不符合题意; C选项中,有对称轴,是轴对称图形,符合题意; D选项中,没有对称轴,不是轴对称图形,不符合题意; 故答案为: C. 【点睛】 本题主要考查了轴对称图形,掌握轴对称图形的定义是解题的关键. 2.A 【解析】 【分析】 根据勾股定理逆定理,即较小两边的平方和等于最大边的平方,这个三角形就是直角三角形,据此逐项分析即可判断. 【详解】 解: A、32+42=25=52,能构成直角三角形,符合题意; B、22+32=13≠52=25,不能构成直角三角形,不符合题意; C、22+32=13≠62=36,不能构成直角三角形,不符合题意; D、32+52=34≠62=36,不能构成直角三角形,不符合题意; 故答案为: A. 【点睛】 本题主要考查了勾股定理的逆定理,掌握勾股定理的逆定理是解题的关键. 3.D 【解析】 【分析】 若边界点含于解集为实心点,不含于解集即为空心点,根据数轴确定出x的范围即可. 【详解】 : 根据数轴得: x>-1,x≤3, ∴x的取值范围为: -1<x≤3, 故选: D. 【点睛】 本题考查在数轴上表示不等式的解集,熟练掌握运算法则是解题关键. 4.D 【解析】 【分析】 由等腰三角形中有一个角等于40°,可分别从①若40°为顶角与②若40°为底角去分析求解即可求得答案. 【详解】 ∵等腰三角形中有一个角等于40°, ∴①若40°为顶角,则这个等腰三角形的顶角的度数为40°; ②若40°为底角,则这个等腰三角形的顶角的度数为: 180°-40°×2=100°. ∴这个等腰三角形的顶角的度数为: 40°或100°. 故选: D. 【点睛】 考查了等腰三角形的性质.此题比较简单,解题的关键是掌握等边对等角的知识,掌握分类讨论思想的应用. 5.B 【解析】 试题分析: 根据不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变;不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,可得答案. 解: A、两边都减3,不等号的方向不变,故A错误; B、两边都加1,不等号的方向不变,故B正确; C、两边都乘以﹣3,不等号的方向改变,故C错误; D、两边都除以3,不等号的方向不变,故D错误; 故选B. 考点: 不等式的性质. 6.A 【解析】 【分析】 三角形全等的判定定理有: 边角边、角角边、角边角和边边边定理,逐项分析即可判断; 【详解】 解: A、MB=ND,AM=CN,∠MBA=∠NDC,△ABM和△CDN不一定全等,错误,符合题意; B、∵MB=ND,AM=CN,AB=CD,∴△ABM≌△CDN(SSS),正确,不符合题意; C、∵AM∥CN,∴∠A=∠NCD,又∠MBA=∠NDC,MB=ND,∴△ABM≌△CD(AAS),正确,不符合题意; D、∵∠M=∠N,MB=ND,∠MBA=∠NDC,∴△ABM≌△CDN(ASA),正确,不符合题意; 故答案为: A. 【点睛】 本题主要考查了三角形全等的判定,掌握三角形全等的判定是解题的关键. 7.B 【解析】 【分析】 设小明买钢笔x支,则买笔记本为(30-x)本,根据“笔记本数量×单价+钢笔数量×单价≤80”列等式求出x,再取整数即可; 【详解】 解: 设小明买钢笔x支,则: 2(30-x)+5x 80, 解得x , ∵x为整数, ∴x 6, ∴小明最多只能买6支钢笔; 故答案为: B. 【点睛】 本题主要考查了一元一次方程的其他应用,掌握一元一次方程的应用是解题的关键. 8.B 【解析】 试题分析: 根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,∠AED=∠EDC+∠C,∠ADC=∠B+∠BAD,再根据等边对等角的性质∠B=∠C,∠ADE=∠AED,代入数据计算即可求出∠BAD的度数. 解: 如图,∠AED=∠EDC+∠C,∠ADC=∠B+∠BAD, ∵AD=AE, ∴∠AED=∠ADE, ∵∠B=∠C, ∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠EDC, 即∠BAD=2∠EDC, ∵∠BAD=50°, ∴∠EDC=25°. 故选B. 点评: 本题主要考查利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质,熟练掌握性质是解题的关键. 9.D 【解析】 【分析】 根据等边三角形的性质得出AD为BC边上的垂直平分线,于是EM+CM转化为BM+EM,然后根据两点之间线段最短,推得当M'在BE和AD的交点时,EM+CM最短,最后利用勾股定理求出BE的长即可; 【详解】 解: 连接BE,交AD于M', ∵△ABC为等边三角形,AD为BC边上中线, 则AD⊥BC,即AD是BC的垂直平分线, ∴MB=MC,M'B=M'C, ∴EM+CM=EM+BM,EM'+CM'=EM'+BM', ∵EM+BM>BE=EM'+BM', ∴当B、M、E在同一条直线上,EM+CM最小, 这时BE= . 故答案为: D. 【点睛】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质,勾股定理,轴对称的应用-最短距离问题,掌握线段垂直平分线的性质,勾股定理,轴对称的应用-最短距离问题是解题的关键. 10.C 【解析】 【分析】 设∠A=x,根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和把∠AP7P8和∠AP8P7用含x的代数式表示,再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解; 【详解】 解: ∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A, ∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x, ∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x, ∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x, …, ∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x, ∴∠AP7P8=∠AP8P7=7x, 在△AP7P8中,∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°, 即x+7x+7x=180°, 解得x=12°, 即∠A=12°. 故答案为: C. 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理,等腰三角形的性质,掌握三角形内角和定理,等腰三角形的性质是解题的关键. 11.同旁内角互补,两直线平行. 【解析】 【分析】 如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件,那么这个命题就是另一个命题的逆命题,先找出原命题的条件和结论,根据逆命题定义写出逆命题即可; 【详解】 解: 逆命题为: 同旁内角互补,两直线平行. 故答案为: 同旁内角互补,两直线平行. 【点睛】 本题主要考查了命题与定理,掌握命题与定理是解题的关键. 12.5 【解析】 【分析】 先根据勾股定理求出AB的长,然后根据斜边上中线等于斜边一半即可得出结果; 【详解】 解: ∵∠C=90°, ∴AB= , ∴斜边上的中线长为 AB=5. 故答案为: 5. 【点睛】 本题主要考查了直角三角形斜边上的中线,勾股定理,掌握直角三角形斜边上的中线,勾股定理是解题的关键. 13.30 【解析】 ∵AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC= = =70°, ∵DE是线段AB的垂直平分线,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD=40°, ∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=70°−40°=30°, 故答案为30. 点睛: 本题主要考查线段垂直平分线的性质及等边对等角的性质,掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键. 14.-1 【解析】 【分析】 先根据不等式的性质求出不等式的解集,然后在不等式的解集中找出最大负整数即可. 【详解】 解: 4x+1≤5x+3, 则4x-5x≤3-1, -x≤2, ∴x≥-2. ∴最大的负整数为-1. 【点睛】 本题主要考查了一元一次不等式的特殊解,掌握一元一次不等式的解是解题的关键. 15.3 【解析】 试题分析: 由垂线段最短可知,当PQ与OM垂直的时候,PQ的值最小,根据角平分线的性质可知,此时PA=PQ=3. 故答案为3. 考点: 角平分线的性质;垂线段最短. 16.2 . 【解析】 【分析】 ②、由①结论分别得出AE和DF的长,然后根据线段之间的关系即可求出DE的长,则EF的长度可求;③过F作FG⊥ED,交ED于G,利用折叠的性质及矩形的性质推得△BA1F≌△FGE,得出EF=BF,EG=A1F,于是设EG=x,EF=y,根据勾股定理和四边形EFCD的周长为11分别列方程,联立求出y值即可; 【详解】 解: ②、由①结论得AB=AE=4,DC=DF=3, ∴DE=AD-AE=4-3=1,EF=DF-DE=3-1=2. ③如图,过F作FG⊥ED,交ED于G, ∵AB=A1B,AB=FG, ∴A1B=FG, ∵四边形ABCD为矩形, ∴AD∥BC, ∴∠GEF=∠A1FB, 在△BA1F和△FGE中, , ∴△BA1F≌△FGE(AAS), ∴EF=BF,EG=A1F, 设EG=x,,EF=y, 则由EF2=EG2+FG2, 得x2+32=y2, ∵四边形EFCD的周长为11, ∴x+y+3+2(5-y)=11, 即x=y-2, 解得y= . 故答案为: 2、 . 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质,勾股定理,翻折变换(折叠问题),掌握全等三角形的判定与性质,勾股定理,翻折变换是解题的关键. 17. (1)x>-3,见解析; (2)1、2、3. 【解析】 【分析】 (1)根据不等式的性质,进行移项、合并同类项,将x的系数化为1求出x的范围并在数轴上表示即可; (2)先分别求出每个不等式的解集,再求出不等式组的公共解集,即不等式组的解集,然后在其解集中取整数即可; 【详解】 (1)解: 3x﹣5<2(2+3x), 3x-5<4+6x, 3x-6x<4+5, -3x<9, ∴x>-3. (2)解: 由x-3(x-2)≤4得, x-3x+6≤4, -2x≤-2, ∴x≥1, 由 得, 1+2x>3(x-1), 1+2x>3x-3, 2x-3x>-3-1, -x>-4, x<4, ∴1≤x<4, ∴整数解为1、2、3. 【点睛】 本题主要考查了一元一次不等式的特殊解,解一元一次不等式组,掌握一元一次不等式的特殊解,解一元一次不等式组是解题的关键. 18.详见解析. 【解析】 【分析】 作出∠B的角平分线及线段CD的垂直平分线,两条线的交点就是菜市场的位置. 【详解】 如图所示,点P即为菜市场的位置. 【点睛】 本题主要考查了作图与应用作图,熟练运用线段垂直平分线和角平分线的作法是解决问题的关键. 19.见解析 【解析】 【分析】 由等边对等角结合三角形外角的性质,先求得∠BAD=∠CAE,然后利用边角边定理证明△ABD≌△ACE,则对应边BD=CE; 【详解】 证明: ∵AD=AE, ∴∠ADC=∠AED, ∵AB=AC, ∴∠ABD=∠ACE, ∵∠ADC=∠ABD+∠BAD,∠AEB=∠ACE+∠CAE, ∴∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中, , ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴BD=CE. 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,掌握全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质是解题的关键. 20. (1)见解析; (2)△OBC是等腰三角形,理由见解析 【解析】 【分析】 (1)根据条件,利用斜边直角边定理证明△ABC≌△DCB即可; (2)由全等三角形的对应角相等即可得出∠OBC=∠OCB,再由等角对等边即可得出△OBC是等腰三角形; 【详解】 (1)证明: 在Rt△ABC和Rt△DCB中, , ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL). (2)△OBC是等腰三角形,理由如下: ∵△ABC≌△DCB, ∴∠OBC=∠OCB, ∴OB=OC, ∴△OBC是等腰三角形. 【点睛】 本题主要考查了直角三角形全等的判定,等腰三角形的判定,掌握直角三角形全等的判定,等腰三角形的判定是解题的关键. 21. (1)甲种物品的单价为100元,乙种物品的单价为90元; (2)共有3种选购方案. 【解析】 【分析】 (1)设乙种物品单价为x元,则甲种物品单价为(x+10)元,根据数量相同列分式方程求解即可; (2)设购买甲种物品y件,则乙种物品购进(55-y)件,根据总费用的条件列不等式,求出y的范围,其整数解的个数即方案数; 【详解】 解: (1)设乙种物品单价为x元,则甲种物品单价为(x+10)元,由题意得: , 解得x=90. 经检验,x=90是方程的解, ∴甲种物品的单价为100元,乙种物品的单价为90元; (2)设购买甲种物品y件,则乙种物品购进(55−y)件, 由题意得: 5000≤100y+90(55−y)≤5020, 解得5≤y≤7. ∴共有3种选购方案. 【点睛】 本题主要考查了分式方程的实际应用,一元一次不等式的应用,掌握分式方程的实际应用,一元一次不等式的应用是解题的关键. 22. (1)BE=AD; (2)仍成立,理由见解析;(3)成立,理由见解析 【解析】 【分析】 (1)先利用边角边定理证明△BCE和△ACD全等,于是对应边BE=CD; (2)结论仍然成立,根据等腰直角三角形的性质,利用SAS定理证明△ACD≌△BCE,得对应边BE=AD;(3)因为△BCE≌△ACD,对应角∠CEB和∠CDA相等,再由同角的余角相等,可得BE⊥AD;由△BCE和△ACD全等得∠CBE=∠CAD,而∠BMC和∠AMP是对顶角,结合三角形内角和可得∠APM=90°,则BE⊥AD. 【详解】 (1)解: 如图 (1)BE=AD, ∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形, ∴BC=AC,CE=CD,∠BCE=∠ACD=90∘, ∴△BCE≌△ACD(SAS), ∴BE=AD; (2)不变化,理由如下: ∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形, ∴BC=AC,CE=DE,∠BCA=∠ECD=90°, ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE, ∴∠BCE=∠ACD, ∴△BCE≌△ACD(SAS), ∴BE=AD, (3)如图, 成立,理由如下: 由 (1)知,△BCE≌△ACD, ∴∠CEB=∠CDA, ∵∠CBE+∠CEB=90°, ∴∠CBE+∠CDA=90°, ∴BE⊥AD, 由 (2)得,∵△BCE≌△ACD, ∴∠CBE=∠CAD, ∠BMC=∠AMP, ∵∠APM=∠BCM=90°, 即BE⊥AD. 【点睛】 本题主要考查了余角、补角及其性质,全等三角形的判定与性质,图形的旋转,掌握余角、补角及其性质,全等三角形的判定与性质,图形的旋转是解题的关键. 23. (1)见解析; (2)①t=5;②t值为9或10或 【解析】 【分析】 (1)先求出AB的长,再利用勾股定理求出AC的长,由AB=AC,等边对等角即可得出∠ACB=∠ABC; (2)①由上题知AB=AC,因此当AM=AN时,MN∥BC,于是结合路程的关系列方程,求出t即可;② 因为BD 【详解】 解: (1)证明: ∵AB=AD+BD=6+4=10, AC= , ∴AB=AC, ∴∠ACB=∠ABC. (2)解: 如图, ①由题意得BM=t,AN=t,则AM=10-t, 当MN∥BC时,AM=AN, 即10﹣t=t, ∴t=5; ②当点M在DA上,即4<t≤10时,△MDE为等腰三角形,有3种可能. ∵CD⊥AB, ∴∠CDA=90°, ∵E为AC中点, ∴DE= AC=5, 如果DE=DM,则t﹣4=5, ∴t=9; 如果ED=EM,则点M运动到点A, ∴t=10; 如果MD=ME=t﹣4,过E作EH⊥AD, ∵EH⊥AD,CD⊥AD, ∴EH∥CD, ∵E为AC中点, ∴AE= CD=4, 在 中, DH= , ∴HM=DM-DH=t-4-3=t-7, 在△EHM中, 则(t﹣4)2﹣(t﹣7)2=42, ∴t= ; 综上所述,符合要求的t值为9或10或 ; 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的判定,勾股定理,一元一次方程的实际应用-行程问题,掌握等腰三角形的判定,勾股定理,一元一次方程的实际应用-行程问题是解题的关
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