中职数学直线与圆的方程教案讲课教案.docx

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中职数学直线与圆的方程教案讲课教案

中职数学直线与圆的方程教案

xx职业技术教育中心

教案

教师姓名

xx

授课班级

12会计、通信

授课形式

新授

授课日期

2013年3月26日第6周

授课时数

2

授课章节

名称

§8.1两点间距离公式及中点公式

教学目的

掌握平面内两点的距离公式

掌握线段的中点坐标公式

教学重点

两点间距离公式及中点公式

教学难点

中点公式的应用

更新、补充、删节内容

使用教具

课外作业

课后体会

复习引入：

新授：

1.平面内两点间的距离

设A,B为平面上两点．若A,B都在x轴（数轴）上（见图7-3

（1）），且坐标为A（x1,0）,B（x2,0），初中我们已经学过，数轴上A,B两点的距离为

|AB|=|x2-x1|．

同理，若A,B都在y轴上（见图7-3

（2）），

坐标为A（0,y1）,B（0,y2），则A,B间的距离

|AB|=|y2-y1|．

若A,B至少有一点不在坐标轴上，设

A,B的坐标为A（x1,y1）,B（x2,y2）．过A,B

分别作x,y轴的垂线，垂线延长交于C（见

图7-3（3）），不难看出C点的坐标为（x1,y2），

则|AC|=|y2-y1|，|BC|=|x2-x1|，

由勾股定理

|AB|=

=

．

由此得平面内两点间的距离公式：

已知平面内两点A（x1,y1）,

B（x2,y2），则

|AB|=

．（7-1-1）

例1求A（-4,4）,B（8,10）间的距离|AB|．

解x1=-4,y1=4；x2=8,y2=10，应用公式（7-1-1），

|AB|=

=

=

=6

．

例2已知点A（-1,-1）,B（b,5），且|AB|=10，求b．

解：

据两点间距离公式，

|AB|=

=10，

解得b=7或b=-9．

例3站点P在站点A的正西9km处，另一站点Q位于P,A之间，距P为5km，且东西向距A为6km，问南北向距A多少？

解以A为原点、正东方向为x轴正向建立坐标系如

图7-4，则P的坐标为（-9,0），|PQ|=9．设Q坐标为（x,y），

则x=-6，据题意要求出y．

据两点间距离公式（7-1-1）

|PQ|=

=5，

解得y=±4，

即站点Q在南北向距A是4km．

例4如图7-5，点A,B,C,D构成一个平行四边形，

求点D的横坐标x．

解因为ABCD是平行四边形，所以对边相等，

|AB|=|CD|,|AC|=|BD|．

由距离公式（7-1-1）

|AB|=

；

|AC|=

；

|CD|=

|BD|=

由|AC|=|BD|得

，x=-1±4；

由|AB|=|CD|，知x只能取-1+4=3．

所以当点A,B,C,D构成一个平行四边形时，点D的横坐标x=3，即D的坐标为（3,4）．

课内练习1

1.求|AB|：

（1）A（8,6）,B（2,1）；

（2）A（-2,4）,B（-2,-2）．

2.已知A（a,-5）,B（0,10）间的距离为17，求a．

3.已知A（2,1）,B（-1,2）,C（5,y），且∆ABC为等腰三角形，求y。

线段中点的坐标

2.中点坐标公式

设P1（x1,y1），P2（x2,y2）为平面直角坐标系内的任意两点，P（x,y）为线段P1P2的中点坐标，则

例5求连结下列两点线段的中点坐标.

（1）P1（6,-4），P2（-2,5）；

（2）A（a,0）,B（0,b）

例6已知线段P1P2中点M的坐标为（2,3），P1的坐标为（5,6），求另一端点P2的坐标。

例7已知A（5,0）,B（2,1）,C（4,7）,求三角形ABC中AC边上的中线长。

小结

作业

xx职业技术教育中心

教案

教师姓名

xx

授课班级

12会计、通信

授课形式

新授

授课日期

2013年3月28日第6周

授课时数

2

授课章节

名称

§8.2直线的倾斜角和斜率

教学目的

理解直线的倾斜角及分斜率的定义

掌握直线的斜率公式

教学重点

直线的斜率公式

教学难点

倾斜角及分斜率的定义

更新、补充、删节内容

使用教具

课外作业

课后体会

复习引入：

新授：

（1）确定平面直线的要素

我们知道平面上两点能唯一确定直线l，这两个已知点就是确

定l的两个要素．如果直线仅过一个已知点A，它就不能被唯一确

定，例如你可能见过用斜拉索来固定一根电线杆，尽管拉索都过定

点A，但因为倾斜程度不同，拉索所在的直线也不同（见图7-6）．

如果再给定了它的倾斜程度，那么直线l就被唯一确定了．

（2）直线的倾斜角和斜率

直线的倾斜程度应该怎样表示呢？

设l是直角坐标系中一条与x轴相交的直线，x轴绕着交点

按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角α可以很好地反映直线l的倾斜程度，这样的角α叫做直线l的倾斜角（见图7-7）；直线与x轴平行时，倾斜角规定为0．

由定义可知，直线的倾斜角的范围是0≤α<π．

除了α=

（此时l垂直于x轴）之外，角α与其正切tanα是一

一对应的，因此也可以用tanα来表示l的倾斜程度．我们把直

线倾斜角α（α≠

）的正切tanα叫做直线的斜率．通常用k表示，

即k=tanα．任何一条直线都有倾斜角；但不是所有的直线都有

斜率．

不难看出，倾斜角α与斜率k之间的关系为

当0<α<

，即直线l的倾斜角为锐角时，k＞0；

当α=0，即直线l平行于x轴时，k=0；

当

<α<π，即直线l的倾斜角为钝角时，k＜0；

当α=

，即直线l平行于y轴时，k不存在，反之亦然．

例5设直线l过点A（3,-1）,B（-1,-4），试求出l的斜率k．

解如图7-8，作过A、B的直线l，记倾斜角为α．

tanα=

，

所以直线l的斜率k=tanα=

．

例6设直线l过点A（-2,4）,B（3,2），求直线l的斜

率k．

解如图7-9倾斜角为α，C点的坐标为（-2,2），

tanα=

．

总结例5例6，无论直线的倾斜角α是锐角还

是钝角，我们都不难得到如下结论：

平面上的过两点A（x1,y1）,B（x2,y2）（x1≠x2）的直

线l的斜率k为

k=

（x1≠x2）．（7-1-2）

当x2=x1时，直线l垂直于x轴（平行于y轴），直线l的斜率不存在．

例7直线l1过点A1（-5,-2）,B1（1,4）；直线l2过点A2（3,2）,B2（4,-2），试分别求出它们的斜率k1,k2．

解根据已知条件，由公式（7-1-2）得

k1=

=

=1．

同理k2=

=-4．

例8直线l1由点A1（-3,2）,B1（3,2）确定，l2由点A2（3,-2）,B2（3,2）确定，l3由点A3（4,-2）,B3（3,2）确定，试判断它们的倾斜角为何．

解据公式（7-1-2），

l1的斜率k1=

=0，所以l1的倾斜角α1=0，即l1平行于x轴．

l2上点A2（3,-2）,B2（3,2）的横坐标相同，l2垂直于x轴，所以l2的倾斜角α2=

．

l3的斜率k3=

=-4，所以l3的倾斜角α3为钝角，即

<α<π．

课内练习2

1.直线l过点A,B，求其斜率：

（1）A（3,-1）,B（6,-2）；

（2）A（-3,0）,B（2,6）；（3）A（5,-2）,B（5,3）．

2.判断下列过A,B的直线l的倾斜角的范围：

（1）A（3,4）,B（-1,2）；

（2）A（-2,-3）,B（-8,6）；（3）A（-2,-1）,B（4,-1）．

小结：

作业：

xx职业技术教育中心

教案

教师姓名

xx

授课班级

12会计、通信

授课形式

新授

授课日期

2013年4月1日第7周

授课时数

4

授课章节

名称

§8.3直线的方程

教学目的

掌握直线的三种形式的方程

会进行三种形式的直线方程的相互转换

教学重点

直线方程的三种形式

教学难点

直线方程的转换

更新、补充、删节内容

使用教具

课外作业

课后体会

复习引入：

新授：

（1）点斜式方程

设已知直线l的斜率为k，且过已知点A（x0,y0），即所给要素是定点和斜率，如何求直线l的方程呢？

求直线的方程就是要求出直线上任意点的坐标所满

足的关系式．

设P（x,y）为直线l上任意异于A的一点（见图7-10）．

由已知直线l的斜率为k，

则k=

，

即y-y0=k（x-x0），

（1）

这表示直线l上任意异于点A的点的坐标必须满足关系式

（1）．反之，若点P的坐标（x,y）满足1），可以验证P必是直线l上的点．关系

（1）是表示由定点和斜率所确定的直线的方程，我们就把

（1）叫做直线的点斜式方程或直线方程的点斜式．即已知直线l过点A（x0,y0），且斜率为k，则直线的点斜式方程为

y-y0=k（x-x0）（7-1-3）

例9求满足下列条件的直线l的方程：

（1）过点A（3,-1），斜率为

；

（2）过原点、斜率为k；

（3）过点A（x0,y0）且平行于x轴；

（4）过点A（x0,y0）且平行于y轴．

例10已知直线l过两点A（2,1）,B（3,-1），求其方程．

课内练习3

1.写出满足下列条件的直线的点斜式方程：

（1）经过点A（3,-1），斜率为4；

（2）经过点B（2,-2），斜率为-2；

（3）经过点C（-4,2），倾斜角为

；（4）经过点D（3,-1），倾斜角为0．

2.求满足下列条件的直线l的方程：

（1）过点A（0,0），斜率为-2；

（2）过点A（-6,2）且平行于x轴；

（3）过点A（2,-3）且平行于y轴．

3.求满足下列条件的直线l的方程：

（1）过点A（0,0）,B（-3,1）；

（2）过点C（-6,2）,D（-4,-2）；

（2）过点A（6,2）,D（-4,2）．

4.已知直线的点斜式方程是y-1=x-2，则直线的斜率是（），倾斜角是（）．

（2）斜截式方程

在点斜式方程中，如果点A在y轴上，则其坐标具有形式A（0,b）．此时直线的点斜式方程可化为y=kx+b．（8-1-4）

点A是直线与y轴的交点（见图7-13），b就是交点的纵坐标，

我们把b叫做直线在y轴上的截距．由直线的斜率及在y轴上

的截距，而导出的方程，叫做直线的斜截式方程．

（8-1-4）式是否似曾相识？

的确，它就是我们已经学

过的一次函数．以前曾说一次函数的图象是一条直线，现在不

过从另一个角度予以验证，并且还得到了一次函数中参数

的几何意义：

一次项系数k是直线的斜率，常数项b是直线在

y轴上的截距．

例11求满足下列条件的直线l的方程：

（1）倾斜角为

，在y轴的截距为3；

（2）与y轴相交于点（0,-4），斜率为-1．

例12已知直线l过点A（3,0）且在y轴上的截距是-2，求l的方程．

例13若直线过点A（a,0）,B（0,b）（a,b≠0），求直线方程。

例14如图7-15，已知三角形的顶点是A（3,-3）,B（0,2）,C（-5,0），求出这个三角形三边所在直线的方程．

课内练习4

1.求满足下列条件的直线l的方程：

（1）过点A（0,0），斜率为-2；

（2）过点M（2,-1），在y轴上的截距为-4．

（3）倾斜角为

，交y轴于点（0,3）；

（4）与坐标轴交点为（-5,0）,（0,4）．

2.已知菱形的两条对角线长分别为AC=8和

BD=6，建立如图的直角坐标系，求出菱形各边所

在的直线方程．

（3）直线方程的一般式

不论用点斜式、斜截式乃至截距式求直线方程，

最后得到的都是一元二次方程，而且我们都愿意把

方程化为形如

Ax+By+C=0,（A,B不同时为0）（3）

的形式，这是一元二次方程的最一般的形式．可以证明，在平面直角坐标系中，任何关于x,y的二元一次方程都表示一条直线．因此我们把（3）叫做直线方程的一般式．

知道了直线的一般方程，立即可以得到它的斜率——如果斜率有意义的话．事实上，

当B=0Ax+By+C=0⇒x=-

⇒（3）是过点（-

0）、平行或重合于y轴的直线；

当B≠0Ax+By+C=0⇒y=-

x-

⇒

（1）是以-

为斜率、y轴上截距为-

的直线；特别地，A=0时（3）是过点（0，-

）、垂直于y轴的直线。

课内练习5

1.直线方程Ax+By+C=0的系数A,B,C满足什么关系时，这条直线有以下性质？

（1）只与x轴相交；

（2）只与y轴相交；（3）是x轴所在直线；（4）是y轴所在直线．

小结：

作业：

xx职业技术教育中心

教案

教师姓名

xx

授课班级

12会计、通信

授课形式

新授

授课日期

2013年4月8日第8周

授课时数

4

授课章节

名称

§8.4两条直线的位置关系

教学目的

能根据斜率判定两条直线的平行或相交（垂直）

掌握判定直线平行的条件，并据之判定两条直线是否平行

掌握判定直线垂直的条件，并据之判定两条直线是否垂直

教学重点

直线平行、垂直的判定条件

教学难点

直线垂直判定条件

直线平行与重合的区分

更新、补充、删节内容

使用教具

课外作业

课后体会

复习引入：

新授：

1.两条直线平行

下面的结论是很直观的：

两条直线l1,l2平行⇔两条直线的倾斜角相同⇔两条直线的斜率k1,k2（如果有意义）相等．即

l1//l2⇔k1=k2,（k1k2都存在）（8-2-1）

如果两条直线l1,l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，必定是平行的．

为了判定两条直线是否平行，不论他们的方程以怎样的形式给出，第一个念头是求出它们的斜率，最简单的方法是把直线方程转化为斜截式y=kx+b，然后据（7-2-1）得到结论．

如果两条直线的方程转化为斜截式后是相同的，那么自然是重合了．

例1判断下列直线组的位置关系：

（1）l1：

2x-4y+7=0，l2：

x=2y-5；

（2）l1：

x-2y+1=0，l2：

3x=6y-3．

例2直线l过点A（1,-3），且平行于直线l1:

2x-3y+5=0，求其方程．

例3已知图7-16中的ABCD为平行四边形，求点D的横坐标x．

课内练习1

1.判断下列各组直线是否平行：

（1）l1:

y=3x+4，l2:

y=3x-

；

（2）l1:

3x+4y=5，l2:

6x-8y=7；

（3）l1:

x-y=0，l2:

3x+3y-10=0；（4）l1:

x+3y-6=0，l2:

x-y+1=0．

2.求过点（2,-3）且平行于直线3x-2y+2=0的直线方程．

3.判断下列直线l1,l2是否平行：

（1）l1:

过点A（3,-1）,B（-1,1），l2:

过点C（0,1）,D（4,1）；

（2）l1:

过点A（-3,5）,B（5,1），l2:

2x+4y-3=0．

2.两条直线垂直

若直线l1,l2不平行，则必定相交．我们先来考察一种特殊情况：

垂直相交．

如图7-17，记l1的倾斜角为α1，斜率为k1，l2的倾斜角为α2，斜率为k2，当l1⊥l2时，应有|α1-α2|=

，即α1=α2-

或α2=α1-

．

设斜率k1,k2都有意义，根据斜率的定义和三角函数公式，

k1=tanα1=tan（α2-

）=-tan（

-α2）=-

=-

或k2=tanα2=tan（α1-

）=-tan（

-α1）=-

=-

．

由此可得如下判定直线垂直的方法：

设两条直线l1,l2的斜率都存在且分别为k1,k2，则

l1⊥l2⇔k1=-

，即k1⋅k2=-1（斜率互为负倒数）．（7-2-2）

可见与直线平行的判定相仿，判定直线垂直还得从直线的斜率入手．

例4已知两条直线l1:

2x-4y+7=0，l2:

2x+y-3=0，求证：

l1⊥l2．

例5求过点A（2,-3）且垂直于直线l1:

3x-2y+2=0的直线l

的方程．

例6三角形三个顶点是A（4,0）,B（0,3）,C（6,7），求AB边上高所在的直线方程．

课内练习2

1.判断下列各组直线是否垂直？

（1）l1:

y=3x+4，l2:

2y-6x+1=0；

（2）l1:

3x+4y=5，l2:

6x-8y=7；

（3）l1:

y=x，l2:

3x+3y-10=0．

2.求过点A（2,3）且垂直于直线x-y-2=0的直线方程．

3.已知A（5,3）,B（-4,10）,C（10,6）,D（3,-4），求证：

AD⊥BC．

4.两条直线l1⊥l2，且l1的斜率不存在，那么l2的斜率是多少？

3.求相交直线的交点

设平面内两条不重合的直线的方程分别是：

l1:

A1x+B1y+C1=0,l2:

A2x+B2y+C2=0．

如果这两条直线不平行，则必然相交于一点，交点既在直线l1上，又在直线l2上，即交点的坐标既能满足l1的方程，又能满足l2的方程，是这两个方程的公共解；反之，如果这两条直线方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2交点．因此要求两条相交直线的交点，只须解方程组

A1x+B1y+C1=0,

A2x+B2y+C2=0．

这个方程组的解就是两直线交点的坐标．

例7求直线l1：

y=2x+6和l2：

3x+4y-2=0的交点．

例8分别判断下列直线的位置关系（平行或相交）．若相交，求出它们的交点．

（1）l1:

4x-2y+5=0和l2:

2x-y+7=0；

（2）l1:

2x+3y+6=0和l2:

过点（7,-2）,（5,2）．

课内练习3

1.求直线4x+3y=10和2x-y=10交点坐标．

2.判断下列各对直线的位置关系，如果相交求出交点坐标：

（1）l1:

2x-y=7和l2:

4x+2y=1；

（2）l1:

2x-6y+4=0和l2:

x-3y+2=0．

小结：

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教师姓名

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授课班级

12会计、通信

授课形式

新授

授课日期

2013年4月15日第9周

授课时数

4

授课章节

名称

§8.5点到直线的距离公式

教学目的

熟记点到直线的距离公式，会求直线外的点到直线的距离

会求平行线之间的距离

教学重点

直线外的点到直线的距离

教学难点

求线外一点到已知直线的距离

更新、补充、删节内容

使用教具

课外作业

课后体会

复习引入：

新授：

1.点到直线的距离

一般地，设点M（x0,y0）为直线l:

Ax+By+C=0外一点，过M向AB引垂线，垂足为D（见图7-20），把线段MD的长d叫做点M到直线AB的距离．

无妨设l方程中的B≠0（即l的斜率存在），则可改写l的

方程为y=-

x-

，以x=x0代入，得

y1=-

x0-

，

y1是直线l上对应于横坐标为x0的点M1的纵坐标（见图7-19），

因此|MM1|=|y0-y1|，|MD|=|y0-y1|⋅|cosβ|，

这里的β表示MD与MM1的夹角．

注意l的倾斜角α与β互补，β=π-α，

|MD|=|y0-y1|⋅|cos（π-α）|=|y0-y1|⋅|cosα|；

又因为l的斜率k=tanα=-

，据三角公式有

1+tan2α=1+

，

解出|cosα|=

．

所以|MD|=|y0-y1|⋅|cosβ|=|y0+

x0+

|⋅

=

，

即d=|MD|=

．（7-2-3）

所得到的公式（7-2-3）就是我们所要的线外一点到直线的距离公式．公式十分简单，只要把已知点坐标代入直线方程，除以x,y前系数平方和的平方根，加上绝对值就行了．

不难验证，即使B=0，上述公式也是正确的．

作为应用公式的第一个例子，先来解决求图7-19上高的问题．

例9求例5中AB边上的高|CD|．

例10求点A（2,-3）到下列直线的距离d：

（1）x+y-11=0；

（2）y=7．

2.两条平行直线间的距离

已知直线l1,l2相互平行．他们的公垂线被l1,l2所截下的线段AB的长d，叫做l1,l2之间的距离．

为了求得平行线l1,l2间距离，只要在l1上任取一点P，然后求P到l2的距离即可．

例11求两条平行直线l1:

2x+3y-8=0和l2:

4x+6y+36=0的

距离．

例11的计算过程并不复杂，但还可以更加简单．事实上设平行线l1,l2的方程为

l1:

A1x+B1y+C1=0,l2:

A2x+B2y+C=0，

因为l1,l2平行，因此总可以把l2的方程转化成

A1x+B1y+C2=0．

在l1上任取一点P（x0,y0），则有

A1x0+B1y0+C1=0．

于是l1,l2之间距离为P到l2的距离，即

d=

=

=

所以d=

．（7-2-4）

如此一来，只要把平行直线的方程演化成x,y前的系数相同，求其间的距离就极其简便了．

例如重新解算例11．把l2的方程改写成2x+3y+18=0，应用（7-2-3）即得

d=

．

课内练习4

1.求点A（1,0）到直线

x+y-

=0的距离．

2.求点B（-2,3）到直线3x+y=0的距离．

3.求下列两条平行直线间的距离：

（1）3x+y-4=0与3x+y-9=0；

（2）3x+4y-10=0与6x+8y-7=0．

小结：

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12会计、通信

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新授

授课日期

2013年4月29日第11周

授课时数

2

授课章节

名称

§8.6圆的方程

教学目的

熟练掌握圆心在原点和圆心不在原点的圆的方程的求法

会准确判断方程是否表示圆

掌握根据已知条件求圆的方程的方法

教学重点

圆的方程及其求法

教学难点

根据已知条件求圆的方程