9下285《解直角三角形》课案教师用.docx
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9下285《解直角三角形》课案教师用
课案(教师用)
课题:
§28.2解直角三角形(仰角、俯角)
(新授课)
【理论支持】
《数学课程标准》指出:
学生的数学学习内容应当是现实的、有意的、富有挑战性的,这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动.强调有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.
斯滕伯格认为,成功智力包括分析性智力,创造性智力和实践性智力三个方面.分析性智力用来解决问题和判定思维成果的质量;创造性智力用来形成好的问题和想法;实践性智力可将思想及其分析结果以一种行之有效的方式加以实施.基于这一理论,要求教师在课堂教学中注重培养学生的分析性、创造性和实践性能力.创造性能力是以斯滕伯格的创造力投资理论为出发点,帮助教师教会学生从问题解决到形成自己的观点,产生新想法并学会推销自己的思想等,从而提高学生的创造性能力;实践性能力的培养多与相关情境的常识应用有关,实践性思维始于具体情境下所遇到的问题,通过师生共同讨论,教师帮助学生克服困难或回避障碍,锻炼和提高学生的实践思维能力.
“锐角三角函数”这一章对九年级学生来说是全新的知识.“锐角三角函数”反映了角度与数值之间对应的函数关系.这种角与数之间的对应关系,以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA、cotA表示函数等,学生过去没有接触过,因此对学生来说有一定的难度.有了它,我们即可以把几何问题转化为代数问题,也可以把代数问题转化为几何问题,它是解决数学问题的一个重要工具,利用它可以使很多数学问题变得直观而简明.
“解直角三角形”是在第一节“锐角三角函数”的基础上研究解直角三角形的方法及其在实际中的应用,而“仰角、俯角”是将实际生活中的角转化为数学几何图形中的角,本节课的重点就是将仰角与俯角的知识和解直角三角形的内容相结合共同解决实际问题.
通过本节课的研究,旨在让学生体会到数学与实际生活的密切联系,经历知识的形成过程,培养学生的应用意识.教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验,体验到数和图形是有效地描述现实世界的重要手段与解决实际问题的重要工具.
【教学目标】
知识技能
1.进一步掌握解直角三角形的方法;
2.比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题;
数学思考
1.通过学习懂得仰角、俯角的意义,学会把实际问题转化为数学模型,发展抽象思维能力;
2.在研究有关仰角、俯角的问题的过程中,发展合情推理能力,体会数形结合的思想.
解决问题
1.通过解决与仰角、俯角有关的实际问题为背景,发展学生的应用意识;
2.在探究活动中,学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果.
情感态度
1.在研究有关仰角、俯角的实际问题的过程中,渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点,培养学生生活中应用数学的意识.
2.通过一系列探究活动,培养学生与他人合作、交流的意识和探究精神.
【教学重难点】
1.重点:
(1)能够灵活应用边与边、角与角、边与角的关系解直角三角形;
(2)要求学生善于将某些与仰角、俯角有关的实际问题中的数量关系,归结为直角三角形元素之间的关系,从而利用所学知识把实际问题解决.
2.难点:
(1)把实际问题转化为数学问题的能力的培养;
(2)灵活应用解直角三角形的知识及仰角、俯角等知识解决实际问题.
【课时安排】
一课时
【教学设计】
课前延伸
一、知识回顾
1.解直角三角形是指:
.
2.解直角三角形主要依据什么?
二、知识延伸
1.选出下列正确的选项.()
2.某飞机在离地面1200m的上空测得地面控制点的俯角为60°,此时飞机与该地面控制点之间的距离是m.
3.为测楼房BC的高,在距楼房30m的A处,测得楼顶B的仰角为α,则楼房BC的高为()
A. 30tanαmB.
mC. 30sinαmD.
m
〖答案〗
一、知识回顾
1.在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程.
2.
(1)勾股定理:
a2+b2=c2
(2)锐角之间的关系:
∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系:
二、知识延伸
1.B
2.800
3.A
〖设计说明〗我国古代的教育专著《论语》中记载了孔子的一句话“温故而知新”,即时常温习旧知可以从中获得新知.复习与本节课学习有关的知识,为学习新知作好铺垫,符合学生的认知规律.
二、预习思考题及答案
如图,某地某时刻太阳光线与水平线的夹角为31°,此时在该地测得一幢楼房在水平地面上的影长为30米,求这幢楼房的高AB.(结果精确到1米,参考数据:
sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)
〖答案〗解:
由题意可知:
∠ACB=31°,BC=30
∵
∴AB=BC·tan∠ACB=30·tan31°=18
答:
这幢楼房的高AB为18米.
〖设计说明〗教学过程中创设这一问题情境来源于实际生活,学生能亲眼所见,能激发学生学习数学的兴趣,同时也让学生感受到数学在我们的生活中无处不在.
课内探究
一、导入新课:
创设情境,引出新知
我国古代诗人李白在《静夜思》中有这样的一句“举头望明月,低头思故乡.”,你能说出该诗句中所蕴含的有关角的两个数学名词吗?
〖设计说明〗引用诗句创设问题情境,引导学生积极参与数学学习活动,既满足学生对数学的好奇心与求知欲,对提高学生的数学素养和数学意识具有十分重要的意义,同时也让学生感到数学与其它各学科间的联系.
二、探索新知
1.问题:
如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200米,从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′`,求飞机在A处到控制点B的距离.
〖点拨方法〗解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题,利用解直角三角形的知识来解决,在转化过程中着重让学生画出几何图形,并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么),会利用平行线的性质由已知的俯角α得出Rt△ABC中的∠ABC,进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了.
〖参考答案〗
解:
∵在Rt△ABC中,
∴
≈4221
答:
飞机A到控制点B的距离约为4221米.
2.揭示课题,整理概念,板书
(1)仰角、俯角的概念
当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,
视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角.
(教学时,可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义.)
(2)仰角、俯角的示意图:
(3)仰角、俯角(α)的取值范围:
0°≤α≤90°
三、检查预习情况,明确检查方法.
学生口述答案
四、布置学生自学
1.学生自主探究题:
如图,为了测量旗杆的高度AB,在离旗杆33米的C处,用高1.20米的测角仪CD测得旗杆顶端B的仰角α=30°,求旗杆AB的高(精确到0.1米).
〖点拨方法〗此题在以上问题的基础上,加深了一步,须由D作一条平行于CA的直线交BA于E,构造出Rt△DBE,然后进一步求出BE,进而求出AB的长.
〖参考答案〗解:
过点D作一条平行于CA的直线交BA于E,则AE=CD.
由题意可知:
α=30°,CD=1.20,DE=33
∵在Rt△DBE中,
,
∴BD=DE·tanα=33×tan30°=11
,
∴BC=BE+AE=11
+1.2≈20.3
答:
旗杆AB的高为20.3米
〖设计说明〗在学生充分理解“仰角和俯角”的基础上,通过自主探究,进一步体会“仰角和俯角”的意义,并将实际问题转化为解直角三角形的数学模型.设置此题,既使成绩较好的学生有足够的训练,同时对较差学生又是巩固,达到分层次教学的目的.
2.小组合作探究题
例1:
热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高?
A
〖点拨方法〗根据题意先让学生自己构造图形,再将已知条件标注到图上后再分析,由已知条件可知α=30°,β=60°,AD=120,在Rt△ABD中,α=30°,AD=120,所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD,进而求出BC的长.
〖参考答案〗解:
由题意可知:
α=30°,β=60°,AD=120
∵
∴BD=AD·tanα=120×tan30°=40
,
CD=AD·tanβ=120×tanβ=120×tan60°=120
∴BC=BD+CD=40
+120
=160
≈277.1
答:
这栋高楼约有277.1米.
例2:
如图,在上海的黄浦江东岸,矗立着亚洲第一的电视塔“东方明珠”,某校学生在黄浦江西岸B处,测得塔尖D的仰角为45°,后退340m到A点测得塔尖D的仰角为30°,设塔底C与A、B在同一直线上,试求该塔的高度.(保留根号)
〖点拨方法〗由已知条件可以得出塔的高度CD=CB,而AC=AB+BC,又AB=340m,因此可以列出一个简单的一元一次方程解出CD.
〖参考答案〗解:
由题意可知:
∠DAC=30°,∠DBC=45°,AB=340
设CD=ⅹm,
∵
,
∴DC=AC·tan∠DAC=(340+ⅹ)tan30°=
,
CD=BC·tan∠DBC=ⅹ·tan45°=ⅹ
∴
=ⅹ
解得:
ⅹ=170(
+1)
答:
该塔高为170(
+1)m
〖设计说明〗将数学问题富于实际生活的事物中,激发了学生的探究兴趣,认识到运用数学知识解决实际问题的意义;由于本组题在难度上高于基础题,于是采用小组合作探究的方式,这样既培养学生的合作精神,又培养了学生发散思维和创新思维的能力.在解决例2时不仅运用了解直角三角形的知识,而且还运用了方程参与解题,在此充分体现了数形结合的数学思想.
五、教师精讲点拨:
1.知识点解析:
(1)仰角、俯角的含义:
当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,
视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角.
(2)仰角、俯角的示意图:
(3)仰角、俯角(α)的取值范围:
0°≤α≤90°
2.探究题解析:
(1)仰角、俯角在生活中广泛应用:
描述两点间的方位或路线,常与解直角三角形的知识相结合共同解决实际问题.
(2)仰角、俯角的确定必须是由视线与水平线所夹的角.
3.规律总结:
(1)在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角.
(2)仰角、俯角往往是转化为直角三角形的一个锐角,作为已知条件参与解题.
4.方法指导:
数形结合的思想方法.
六、课堂反馈训练
1.从1.5m高的测量仪上,测得某建筑物顶端仰角为30°,测量仪距建筑物60m,则建筑物的高大约为()
A34.65mB36.14mC28.28mD29.78m
〖参考答案〗B
〖讲评策略〗学生口答,说出解题思路.
2.如图,某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角为30°.已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为42.64m,当时水位为+2.14m,求观察所A到船只B的水平距离BC=(精确到1m).
〖参考答案〗70m
〖讲评策略〗学生口述解题过程,师生共同评析.
3.在山顶上D处有一铁塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°,在塔底D测得点A的俯角β=45°,已知塔高BD=30米,求山高CD.(保留根号)
〖参考答案〗150(
+1)m
〖讲评策略〗给学生充足的时间进行训练后,教师收集不同学生的答案进行投影,并让学生评选出最佳答案.
〖设计说明〗当堂训练,当堂反馈的这一环节的实施不但对所学的新知识的到及时巩固和提升,同时又使得还存在模糊认识的学生得到进一步澄清,这让学生在学习新知识的第一时间得到最清晰地认识,这正是高效课堂的价值所在.
七、总结与扩展(请学生总结,教师概括)
通过本节课的学习,要求同学们:
(1)了解仰角、俯角概念;
(2)会构造直角三角形,将实际问题转化为数学问题,从而得到解决实际问题的方法;
(3)熟练运用两种基本图形解直角三角形.
〖设计说明〗加强教、学反思,进一步提高教、学效果.
课后提升
课后练习及答案
1.课本第93页,第7题.
〖参考答案〗0.38km/s
2.课本第97页,第8题.
〖参考答案〗AB=30.8m,CD=7.8m
3.如图,测量楼房AC的楼顶上的电视天线AE的高度,在地面上一点B测得楼顶A仰角为30°,前进15米到D,测得天线顶端E的仰角为60°已知楼高AC为15米,求天线AE的高度?
〖参考答案〗(45-15
)米
〖设计说明〗通过布置课后作业,及时获知学生对本节课知识的掌握情况,适当调整教学进度和教学方法,并对学有困难的学生进行适当的指导.
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- 解直角三角形 285 直角三角形 教师