信号与线性系统题解第二章.docx

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信号与线性系统题解第二章

第二章习题答案

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2.1

（1）已知连续时间信号x（t）如图P2.1（a）所示。

试画出下列各信号的波形图，并加以标注。

（a）x（t2）

（b）x（1t）

（c）x（2t2）

（2）根据图P2.1（b）所示的信号

h（t），试画出下列各信号的波形图，并加以标注。

（a）h（t3）

（b）h（2t2）

（c）h（12t）

（3）根据图P2.1（a）和（b）所示的x（t）和h（t），画出下列各信号的波形图，并加以标注。

（a）x（t）h（t）

（b）x（1t）h（t1）

图P2.1

解：

（1）各信号波形如下图所示：

2.2

2

1

t

1

0123

52

x（t2）

2

1

（a）

（2）各信号波形如下图所示：

0

h（t3）

x（1t）

（b）

0t

2

11

2

21

0

1

（c）

t

112

t

h

（2）

2

t

246

1

1

0113

t

2

22

（c）

已知信号x（52t）的波形图如图P2.2所示，

试画出x（t）的波形图，并加以标注。

解：

波形如下图所示：

x（52t）

13253

22

2.3

（1）已知离散时间信号x（n）如图P2.3（a）所示，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。

（a）x（4n）

（b）x（2n1）

（c）

x?

（n）x（3）,

0,其他n

（2）对图P2.3（b）所示的信号h（n），试画出下列个信号的波形，并加以标注。

（a）h（2n）

（b）h（n2）

（c）h（n2）h（n1）

（3）根据图P2.3（a）和（b）所示的x（n）和h（n），画出下列各信号的波形图，并加以标注。

（a）x（n2）h（12n）

（b）x（1n）h（n4）

（c）x（n1）h（n3）

解：

（1）

（2）

（3）

1

x（n）

01234

（a）

各信号波形图如下图所示：

1

2

n

图P2.3

1/2

2101234（a）

1x（2n1）

210123

（b）

各信号波形图如下图所示：

n

各信号波形如下图所示：

h（n）

11

32

2

3

1

12

1

22

01234n

1

x（4n）

56

x?

（n）

1

n

0123

（c）

h（n2）h（1n）1/2

1/32

（c）

n

x（n2）h（12n）

3/2

x（1n）h（n4

1/2

12

3

/2

1/4

1/4

10123

10

1/23/4（a）

（b）

x（n1）h（n3）

1/2

101

23

4567

1/2

1

3/2

解：

图P2.4

（b）

Eux（t）

12

1

21

012

dx（t）

1

22

10

12

2

（c）

xe（n）

1xo（n）

（d）

21

n

01234

234

e

1/2

1/2

3/2

n

3210123

1/2

1/2

3/2

xo（n）

1/21/2

1/21/2

1/2

1/21/21/2

3/2

2.5已知x（n）如图P2.5所示，设：

y1（n）x（2n）x（n/2）,n偶

y2（n）

20,n奇

画出y1（n）和y2（n）的波形图。

解：

x（n）

图P2.5

2.6判断下列说法是否正确？

如果正确，则求出每个信号基波周期之前的关系，如果不正确，则举出一个反例。

（1）（a）若x（t）是周期的，则x（2t）也是周期的。

（b）若x（2t）是周期的，则x（t）也是周期的。

（c）若x（t）是周期的，则x（t/2）也是周期的。

（d）若x（t/2）是周期的，则x（t）也是周期的。

x（n/2）,n偶

（2）定义y1（n）x（2n）,y2（n）

120,n奇

（a）若x（n）是周期的，则y1（n）也是周期的。

（b）若y1（n）是周期的，则x（n）也是周期的。

（c）若x（n）是周期的，则y2（n）也是周期的。

（d）若y2（n）是周期的，则x（n）也是周期的。

解：

（1）（a）正确。

若x（t）的周期为T，则x（2t）的周期为T/2。

（b）正确。

若x（2t）的周期为T，则x（t）的周期为2T。

（c）正确。

若x（t）的周期为T，则x（t/2）的周期为2T。

（d）正确。

若x（t/2）的周期为T，则x（t）的周期为T/2。

x（n/2）,n偶

（2）由y1（n）x（2n）,y2（n）

0,n奇

（a）正确。

设x（n）的周期为N。

如果N为偶数，则y1（n）的周期为N/2；如果N为奇数，则必须有2N02N，才能保证周期性，此时y1（n）的周期为N0N。

n

（b）不正确。

设x（n）g（n）h（n），其中g（n）sin，对所有n，

4

2.7判断下列各信号是否是周期信号，如果是周期信号，求出它的基波周期。

（e）x（n）（n3m）（n13m）m0

（f）x（t）cos2tu（t）（g）x（n）cos（n/4）cos（n/4）

（h）x（t）Evcos2tu（t）（i）x（t）Evcos（2t/4）u（t）

（j）x（n）2cos（n/4）sin（n/8）2sin（n/2/6）

2

解：

（a）x（t）2cos（3t/4），周期信号，T。

3

8

（b）x（n）cos（8n/72），周期信号，07，N7

（c）x（t）ej（t1），周期信号，T2。

（d）x（n）ej（n/8），非周期信号，因为0/2是无理数。

（e）x（n）（n3m）（n13m），设周期为N，则有m

x（nN）（nN3m）（nN13，m令）N3k，（k为整数）m

则x（n3k）n3（mk）n13（mk），令mkl则有m

x（n3k）n3ln13l显然，x（n）是周期信号，其周期为m

N3。

（f）x（t）cos2tu（t），非周期信号。

（g）cosn是非周期的，x（n）是非周期信号。

4

1

（h）x（t）Evcos2tu（t）（cos2t）u（t）（cos2t）u（t），周期的，周期T1。

（i）x（t）Evcos（2t/4）u（t），非周期信号。

（j）x（n）是周期信号，其周期就是cosn、sinn和sinn的公共周期。

4826周期为N16。

2.8（a）设x（t）和y（t）都是周期信号，其基波周期分别为T1和T2。

在什么条件下，和式

x（t）y（t）是周期的？

如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？

（b）设x（n）和y（n）都是周期信号，其基波周期分别为N1和N2。

在什么条件下，和式x（n）y（n）是周期的？

如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？

解：

（a）x（t），y（t）是周期的，x（tkT1）x（t），y（tkT2）y（t）

令f（t）x（t）y（t），欲使f（t）是周期的，必须有

s（tT0）x（tT0）y（tT0）x（t）y（t）f（t）

T1l

T0kT1lT2即1，其中k,l为整数。

T2k

这表明：

只要x（t）和y（t）的周期之比T1是有理数，x（t）y（t）就一定是周期的。

T2

其基波周期T0是T1,T2的最小公倍数。

（b）x（n）和y（n）是周期的，x（nN1）x（n）,y（nN2）y（n）

令f（n）x（n）y（n），欲使f（n）是周期的，必须有

N0kN1mN2（k,m为整数）

即N1mN1'gcd（N1,N2）N1'

即N2kN2'gcd（N1,N2）N2'

N1'与N2'无公因子，mN1',kN2'

N0N2'N1N1N2/gcd（N1,N2）

2.9

画出下列各信号的波形图：

（a）

x（t）（2et）u（t）（b）x（t）etcos10tu（t1）u（t2）

（b）

（c）

dx（t）costututsinttt

costutut

2

dx2（t）sintututcosttt

sintututtcos0tcos

sintututtt

d2

（a）x1（t）d2x（t）x（t）（t）（t）

dt

解：

（a）sint（t）dtsin1

22

（d）

et（t2）dte

（2）e2

（e）e（）dte01

（f）0

2.12根据本章的讨论，一个系统可能是或者不是：

①瞬时的；②时不变的；③线性的；④因果的；⑤稳定的。

对下列各方程描述的每个系统，判断这些性质中哪些成立，哪些不成立，说明理由。

（a）

y（t）ex（t）（b）

y（n）x（n）x（n1）

（c）

y（n）x（n2）2x（n17）（d）

y（t）x（t1）x（1t）

（e）

y（t）x（t）sin6t（f）

y（n）nx（n）

（g）

0,t0

y（t）

x（t）x（t100）,t0

（h）0,x（t）0

（h）y（t）

x（t）x（t100）,x（t）0

（i）

y（n）x（2n）（j）

y（t）x（t/2）

解：

（a）

无记忆。

输出只决定于当时的输入。

非线性。

ex1（t）x2（t）ex1（t）ex2（t）y1（t）y2（t）y1（t）y2（t）

时不变。

ex（tt0）y（tt0）

因果。

无记忆系统必然是因果的。

稳定。

当x（t）M时，y（t）ex（t）ex（t）eM。

（b）记忆。

输出不只决定于当时的输入。

非线性。

系统不满足可加性和齐次性。

时不变。

x（nn0）x（nn01）y（nn0）。

因果。

输出只与当时和以前的输入有关。

稳定。

当x（n）有界时，x（n1）也有界，从而y（n）必有界。

（c）记忆。

y

（1）x

（1）2x（16），输出与以前的输入有关。

时不变。

x（nn0）x（nn02）2x（nn017）y（nn0）。

？

线性。

系统满足可加性和齐次性。

因果。

输出只和以前的输入有关。

稳定。

当x（n）有界时，y（n）一定有界。

（d）记忆。

y（0）x

（1）x

（1），输出与以前和以后的输入有关。

时变。

令y（t）y1（t）y2（t），其中y1（t）x（t1是）时不变的，而

y2（t）x（1t）是时变系统整个系统是时变的。

线性。

系统满足可加性和齐次性。

非因果。

y2（t）x（1t）是非因果的。

稳定。

x（t）有界时，x（t1）和x（1t）都有界，从而y（t）必有界。

（e）无记忆。

y（t）只与当时的输入有关。

时变。

（sin6t）x（tt0）y（tt0）sin6（tt0）x（tt0）线性。

系统满足可加性和齐次性。

因果。

无记忆系统必定是因果的。

稳定。

sin6t有界，当x（t）有界时，y（t）必有界。

（f）无记忆。

y（n）只与当时的输入有关。

时变。

nx（nn0）y（nn0）（nn0）x（nn0）。

线性。

系统满足可加性和齐次性。

因果。

无记忆系统必定是因果的。

不稳定。

x（n）有界但n时，y（n）。

（g）记忆。

y（0）x（0）x（100），输出与以前的输入有关。

时变。

输入为x（tT）时，相应的输出为

w（t）0,t0

x（tT）x（tT100）,t0

而y（tT）0,tT显然y（tT）w（t）x（tT）x（tT100）,tT

线性。

系统满足可加性和齐次性。

因果。

y（t）只和当时以及以前的输入有关。

稳定。

x（t）有界时，x（t100）也有界，从而y（t）必有界。

（h）记忆。

x（t）0时，y（t）不仅与当时的输入而且与以前的输入有关。

时不变。

输入为x（tT）时，相应的输出为

w（t）0,x（tT）0y（tT）

x（tT）x（tT100）,x（tT）0

非线性。

若x1（t）0,x2（t）0,x3（t）x1（t）x2（t）0

则有y1（t）0,y2（t）x2（t）x2（t100）,y3（t）0显然，y3（t）y1（t）y2（t），系统不满足可加性。

因果。

y（t）只和当时以及以前的输入有关。

稳定。

x（t）有界时，x（t100）也有界，从而y（t）必有界。

（i）记忆。

y

（1）x

（2）表明输出与以前的输入有关。

时变。

输入为x（nn0）时，输出是x（nn0）的偶数位。

显然，输出不等于

y（nn0）。

线性。

系统满足可加性和齐次性。

非因果。

y

（1）x

（2），表明输出与以后的输入有关。

稳定。

x（n）有界时，x（2n）也有界，从而y（n）必有界。

1

（j）记忆。

y

（1）x（）表明输出与以后的输入有关。

时变。

输入为x（tt0）时，系统的输出为

t1

z（t）x（2t0）x2（t2t0）y（t2t0）y（tt0）线性。

系统满足可加性和齐次性。

非因果。

y（t）与以后的输入有关。

cosx（t）y（t）。

这表明系统的输入与输出不是单纯一一对应的。

（e）系统不可逆。

当输入为（n）或2（n）时，系统的输出都为零。

（d）系统可逆。

其逆系统为y（t）dx（t）。

dt

（e）系统不可逆。

当输入为（n）或（n1）时，系统的输出都为零。

（f）系统可逆。

其逆系统为y（n）x（1n）。

（g）系统不可逆。

当x（t）为任意常数时，y（t）均为零。

（h）系统可逆。

其逆系统为y（t）x（t）。

（i）系统不可逆。

只要x1（n）和x2（n）的偶数位相同，就会产生相同的输出。

（j）系统可逆。

其逆系统为y（n）x（2n）。

2.14对图P2.14（a）所示的系统（图中开平方运算产生正的平方根）

（a）求出x（t）和y（t）之间的函数关系。

（b）判断该系统的线性和时不变性。

（c）当输入x（t）如图P2.14（b）所示时，响应y（t）是什么？

解：

（a）由图P2.14可得出

y（t）x2（t）x2（t1）2x（t）x（t1）x（t）x（t1）

（b）由（a）知，系统的输入输出不满足可加性，故系统是非线性的。

由（a）可看出，当输入为x（tt0）时，输出为y（tt0），故该系统是时不变的。

（d）由（a）可得出响应y（t）如图PS2.14所示。

图PS2.14

2.15判断下列说法是否正确，并说明理由：

（a）两个线性时不变系统的级联仍然是线性时不变系统。

（b）两个非线性系统的级联仍然是非线性系统。

解：

（a）结论正确。

设两线性时不变系统如图PS2.15所示级联。

当x（t）ax1（t）bx2（t）时，

则有w（t）aw1（t）bw2（t），于是y（t）ay1（t）by2（t），因此整个系统是线性的。

若输入为x（tt0），则由于时不变性可知系统1的输出为w（tt0），这正是系统2

的输入，因此总输出为y（tt0）。

即整个系统是时不变的。

图PS2.15

（b）结论不对。

如系统1为w（t）x（t）3t，系统2为y（t）w（t）3t。

虽然两系统

都不是线性的，但它们的级联y（t）x（t）却是线性的。

2.16对图P2.16所示的级联系统，已知其3个子系统的输入-输出方程由下列各式给出：

系统1：

y（n）x（n）

系统2：

y（n）ax（n1）bx（n）cx（n1）

系统3：

y（n）x（n）

其中：

a,b,c都是实数。

（a）求整个互联系统的输入-输出关系；

（b）当a,b,c满足什么条件时，整个系统是线性时不变的；

（c）当a,b,c满足什么条件时，总的输入-输出关系与系统2相同；

（f）

当a,b,c满足什么条件时，整个系统是因果系统。

解：

（a）y（n）z（n）aw（n1）bw（n）cw（n1）

ax（n1）bx（n）cx（n1）

（b）对任意实数a,b,c，整个系统都是LTI系统。

（c）当ac时，总的输入输出关系与系统2相同。

（d）当a0时，整个系统是因果的。

2.17已知某线性时不变系统对图P2.17（a）所示信号x1（t）的响应是图P2.17（b）所示的

y1（t）。

分别确定该系统对图P2.17（c）和（d）所示输入x2（t）和x3（t）的响应y2（t）和

y3（t），并画出其波形图。

x1（t）

x2（t）

1

01234t

1

（c）

图P2.17

（b）x3（t）x1（t1）x1（t）y3（t）y1（t1）y1（t）如图PS2.17（b）所示。

解：

（a）x2（t）x1（t）x1（t2）y2（t）y1（t）y1（t2）如图PS2.17（a）所示。

y3（n）如图P2.18（a）所示。

如果该系统的输入为图P2.18（b）所示的x（n），求系统的输出y（n）。

（b）如果一个离散时间线性时不变系统对图P2.18（a）所示的输入x1（n）有响应y1（n），

那么该系统对x2（n）和x3（n）的响应是什么？

01

y3（n）

x3（n）

4n

x（n）

2

1

1n

10

（b）2

图P2.18

解：

（a）x（n）3x1（n）2x2（n）2x3（n）y（n）3y1（n）2y2（n）2y3（n）如图

PS2.18（a）所示。

（b）x2（n）x1（n）x1（n1）y2（n）y1（n）y1（n1）如图PS2.18（b）所示。

x3（n）x1（n1）y3（n）y1（n1）如图PS2.18（c）所示。

图PS2.18

（a）当x1（n）（n）时，求输出y1（n），并画出其波形图。

（b）当x2（n）u（n）时，求输出y2（n），并画出其波形图。

解：

由图P2.19可得出y（n1）y（n）x（n）

图P2.19

（a）当x1（n）（n）时，由递推可得

y1（n）如图PS2.19（a）所示。

图PS2.19

2.20某线性时不变系统，当输入为图P2.20（a）所示的x1（t）时，输出y1（t）如图P2.20（b）

所示。

试求当输入为P2.20（c）所示的x2（t）时，系统的输出y2（t）。

图P2.20

解：

由观察可知x2（t）x1（t）x1（t1）x2（t2）

当输入为x1（t）时，输出为y1（t）

由LTI系统性质可知当输入为x2（t）时，输出y2（t）y1（t）y1（t1）y2（t2）。

图P2.21

x（t）ay（t）y1（t）

by1（t）y1（t）dty（t）或bdyd1t（t）y1（t）dyd（tt）

消去y1（t）可得

bdx（t）x（t）（1ab）dy（t）ay（t）dtdt

（b）由图P2.21（b）可得

1

x（n）3y（n1）y（n）

1

即y（n）y（n1）x（n）

3