全等三角形章末复习.docx
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全等三角形章末复习
第十二章章末总结
一、考点透视
全等三角形是中考的热点内容,很多问题都可以转化为全等三角形加以解决,在中考中有填空或选择题的形式,但更多是解答题,常与平行线、勾股定理、等腰三角形等综合,还被用来解决四边形、圆、动点问题、存在性问题等。
全等三角形为今后证明线段相等或角相等等的问题提供了基本方法,是初中数学教学的一大重点
二、学法指导
知识要点
方法、规律总结
误区警示
全等三角形
1、全等表达式中,对应顶点在对应的位置上;
2、全等三角形的对应边、对应角相等;
3、公共边是对应边,公共角是对应角,对顶角是对应角;
4、对应边所对的角是对应角;对应角的对边是对应边;
5、两组对应边的夹角是对应角;两组对应角的夹边是对应边。
不能把对边当成对应边,对角当成对应角
三角形全等的判定
1、一般的三角形判定全等用SSS、SAS、ASA、AAS;而直角三角形全等的判定还可用HL;
2、判定全等时至少要有一条边相等:
当有两条边相等时,则可找夹角或第三边;当有两个角相等时,则三边中找任一边均可;当有一边一角时,若边为角的对边,则只能找任一角;若边为角的邻边则可找其余的两个角或找角的另一条邻边;
3、证线段相等或角相等时可选取判定它们所在的三角形全等来解答;当证两线平行、垂直或边、角的和差时可以转化为证线段相等或角相等的问题;
4、当图形中不具有三角形时可添加适当的辅助线构造三角形。
5、注意对顶三角形的应用。
1、书写时大括中:
三个条件要按照顺序写;等号的左边表示同一个三角形的量,右边类似。
2、HL只用于直角三角形。
3、AAA和SSA不能证全等
角的平分线的性质与判定
1、性质与判定中都必须是:
在角的内部有一个点到角的两边有距离,当这个点在角的平分线上时,则两距离相等;当这两距离相等时,则这个点在角的平分线上;
2、当角平分线与两距离不完全时可适当添加辅助线,间接的构造三角形全等的条件;
3、当求点到边的距离时可尝试用面积法用角的平分线的性质解决问题。
1、点到边的距离指的是点到线的垂线段的长度,不能用成斜线段的长度;
2、当条件满足时,要善于用角平分线的性质与判定来解决问题,不要总停留在全等的水平上,造成条件的浪费,也浪费书写时间。
三、思维导图
同步测控
一、选择题
1、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是()
A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去
[解析]三块中只有③具有三个边或角的已知条件,且满足ASA,因此带③去。
[答案]C
2、如图,四边形ABCD中,AC与BD交于点O,AD=BC,AO=BO,CO=DO,则图中全等三角形有()对
A.1B.2C.3D.4
[解析]显然,可用SSS证△AOD≌△BOC;又由AO=BO,CO=DO可得AC=BD,图中有公共边BA,用SSS得△ABD≌△BAC;同理得△ACD≌△BDC
[答案]C
3、以下能判断两个等腰三角形全等的是()
A.两边长是4和5B.两边长是4和6
C.两边长是7和4D.两边长是4和8
[解析]等腰三角形中有两条边是相等的,且腰和底边长应该满足三角形的三边关系,故只有D是一种情况8、8、4,其它的三个备选答案都有两种情况,故不一定全等。
[答案]D
4、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AB=12,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点D,则△DEB的周长为()
5、如图,CA⊥FB于点A,FE⊥BC于点E,且AD=AB=2cm,AE=5cm,则CD=()cm
A.2B.3C.5D.7
[解析]由CA⊥FB于点,FE⊥BC知∠EAD=∠CAB=∠EFC=90°,由对顶三角形可得∠E=∠C,再有AD=AB,所以有△EAD≌△CAB,所以有AE=AC=5cm,问题得解。
[答案]B
二、填空题
6、[2007,沈阳]如图,AC、BD相交于点O,∠A=∠D,请你再补充一个条件,使得△AOB≌△DOC,你补充的条件是 .
[解析]本题已知∠A=∠D,还有对顶角∠AOB=∠DOC,因此只要添一条边利用角角边或角边角即可得三角形全等。
[答案]AO=DO或AB=DC或BO=CO
7、如图,AB∥CD,AC与BD交于点O,欲证△ABO≌△CDO,应添加的条件是 (添加一个条件即可).
[解析]由两线平行得内错角相等,而对顶角又是相等,所以已具备三个角分别相等,因此本题只要填一条边相等就行。
[答案]填AB=CD或填AO=CO或填BO=DO
8、点E为等边△ABC内一点,EA=EB,点D为等边△ABC外一点,且BD=AC,BE平分∠DBC,则∠BDE的度数=()。
[解析]连接EC。
可证△AEC≌△BEC(SSS),得∠BCE=∠ACE=30°,再证△BEC≌△BED,得∠BDE=∠BCE=30°
[答案]30°
9、如图,以Rt△ABC的直角边AB、AC为边分别作正方形ABDE、ACFG,过点D作DN⊥CB于点N、作FM⊥BC于点M,若S△DBN=1,S△CMF=2,则S△ABC=()
[解析]过点A作BC的垂线段AP把△ABC分成两个三角形,分别证这两个三角形与△BDN、△CMF全等即可。
[答案]3
10、如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,M为边BC上的点,连接AM。
如果将△ABM沿直线AM翻折后,点B恰好落在边AC的中点处,那么S△ABM=()
[解析]要求面积,只需求出边AB上的高即可,即点M到AB、AC的距离MD、ME。
用面积法得S△ABC=S△ABM+S△ACM,于是有
所以MD=2,问题得解。
[答案]3
三、解答题
11、如图所示,有人用它来推算海上的船与陆地之间的距离,你认为有道理吗?
请说明理由。
[解析]由ASA得两三角形全等,而全等三角形的对应高是相等的,所以有道理。
[答案]解:
有道理。
理由是
所以有两三角形面积相等,而BC是公共边,所以对应高相等,即船到岸边的距离与点A/到岸边的距离相等,所以有道理。
12、(2013•内江)已知,如图,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACD=∠DCE=90°,D为AB边上一点.求证:
BD=AE.
[解析]
根据等腰直角三角形的意义可得AC=BC,CD=CE,再根据同角的余角相等求出∠ACE=∠BCD,然后利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等,然后根据全等三角形对应边相等即可证明.
[答案]
证明∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,
∴AC=BC,CD=CE,
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,
∴∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中,
,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴BD=AE.
13、如图,在△ADF与△CBE中,点A、E、F、C在一条直线上,有下面四个论断:
①AD=CB;②AF=CE;③∠B=∠D;④AD∥BC。
请用其中三个作为条件,余下一个作为结论,编一道数学题并写出解答过程。
[解析]这是一道开放性试题。
答案不唯一。
①②④结合,运用SAS可得△ADF≌△CBE得结论③;②③④结合,运用AAS可得△ADF≌△CBE得结论①;①③④结合,运用ASA可得△ADF≌△CBE得结论②;①②③结合就成SSA,不能判定全等。
[答案]①③④为条件,②为结论。
已知:
在△ADF与△CBE中,点A、E、F、C在一条直线上,AD=CB,∠B=∠D,AD∥BC。
求证:
AF=CE;
证明:
∵AD∥BC∴∠A=∠C
在△ADF与△CBE中
∠A=∠C
AD=CB
∠D=∠B
∴△ADF≌△CBE(ASA)
∴AF=CE
多问题的题
[问题较多的题,前一个问题是后几个问题的基础,解这类问题的关键是解决好第一个问。
]
14、[2010,湖南娄底]如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD中点,连结AE、BE,BE⊥AE于点E,延长AE交BC延长线于点F,求证:
(1)FC=AD,
(2)AB=BC+AD
[解析]
(1)证FC与AD是全等三角形的对应边即可。
即证△ADE≌△FCE;
(2)因为FC=AD,所以BC+AD=BC+CF=BF,所以证AB与BF是全等三角形的对应边即可,即证△ABE≌△FBE.
[答案]证明:
(1)∵AD∥BC∴∠D=∠ECF ∵E为CD中点∴DE=CE
∠D=∠ECF
在△ABM与△ACM中,DE=CE
∠DEA=∠CEF
∴△ABM≌△ACM(ASA)
∴FC=AD
(2)∵FC=AD∴BC+AD=BC+CF=FB
∵△ABM≌△ACM∴AE=FE∵BE⊥AE∴∠AEB=∠FEB=90°
BE=BE
在△ABE与△FBE中,∠AEB=∠FEB
AE=FE
∴△ABE≌△FBE(SAS)
∴AB=FB又∵BC+AD=FB
∴AB=BC+AD
15、如图,A、D、E在一条直线上,C、B、F在一条直线上,AB=CD,AD=BC,DE=BF.
(1)试判断AD与BC的位置关系。
(提示:
连接BD或AC)
(2)试判断DF与BE的关系。
并说明理由。
[解析]
(1)连接BD,可由SSS证得△ABD与△CDB全等,于是对应角∠ADB与∠CBD相等,问题得解。
(2)证△DEB与△BFD全等,得DF=BE,∠DBE=∠BDF,于是BE∥DF。
[答案]解:
(1)AD∥BC。
理由是:
连接BD。
AB=CD
在△ABD与△CDB中,AD=BC
BD=DB
∴△ABD≌△CDB(SSS)
∴∠ADB=∠CBD∴AD∥BC。
(2)BE=DF,BE∥DF。
理由是:
AD∥BC∴∠EDB=∠FBD
DE=BF
在△ABD与△CDB中,∠EDB=∠FBD
BD=DB
∴△ABD≌△CDB(SAS)
∴BE=DF,∠EBD=∠FDB∴BE∥DF。
16、如图,BD与CE分别为△ABC的角平分线,并交于点O,∠A=60°。
(1)求∠BOC的度数;
(2)求证:
DO=EO.(提示:
在BC上截取BF=BE,连接OF,证EO=FO=DO)
[解析]
(1)根据三角形的内角和可知∠ABC+∠ACB=120°,又∠1=∠2,∠3=∠4,所以有∠2+∠3=60°,所以∠BOC=120°
(2)证△BEO与△BFO全等得EO=FO;证△CDO与△CFO全等得DO=FO,问题得解。
[答案]
(1)解
∵∠A=60°,根据三角形的内角和为180°得∠ABC+∠ACB=120°
∵BD与CE分别为△ABC的角平分线,∴∠1=∠2,∠3=∠4
∴∠2+∠3=60°根据三角形的内角和为180°得∠BOC=120°
(2)证明:
在BC上截取BF=BE,连接OF
BE=BF
在△EBO与△FBO中,∠1=∠2
BO=BO
∴△EBO≌△FBO(SAS)
∴EO=FO,∠5=∠6。
∵∠BOC=120°,∴∠5=60°,∠8=60°∠6=60°
∴∠7=60°=∠8
∠3=∠4
在△CDO与△CFO中,CO=CO
∠7=∠8
∴△CDO≌△CFO(ASA)
∴DO=FO,∵EO=FO
∴DO=EO
17、如图,已知△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=8厘米,点D为AB的中点。
如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。
(1)∠B与∠C相等吗?
为什么?
(2)探究:
当点Q的运动速度为何值时,能保证P、Q运动到某位置时,使△BPD与以C、Q、P为顶点的三角形全等。
[解析]
(1)目前等腰三角形的性质没学,所以可用全等三角形的性质来证。
但两角所在的两个三角形不具备全等条件,因此只能通过作辅助线构造三角形来得解,辅助线的叙述不只一种.
(2)本题已知的都是边。
所以在
(1)的基础上,只要夹∠B与∠C的两边分别相等就能达到目标,但哪两条边是对应边不确定,因此此题有两种情况。
①BD=CP,BP=CQ;②BD=CQ,BP=CP.
[答案]解:
(1)∠B=∠C。
理由是:
取BC边中点M,则得MB=MC。
AB=AC
在△ABM与△ACM中,AM=AM
BM=CM
∴△ABM≌△ACM(SSS)
∴∠B=∠C
(2)∵AB=10,点D为AB的中点,∴BD=5
∵∠B=∠C∴①BD=CP,BP=CQ时,△PBD≌△QCP(SAS).此时,P与Q运动的路程相等,运动的时间相同,故速度相同即Q的运动速度为3厘米/秒
②BD=CQ,BP=CP时,△PBD≌△PCQ(SAS),此时BP=CP=8÷2=4,BD=CQ=5,由P与Q运动的时间相同得Q的运动速度为5÷(4÷3)=
(厘米/秒)
∴当点Q的运动速度为3厘米/秒或
厘米/秒时能保证P、Q运动到某位置时,使△BPD与以C、Q、P为顶点的三角形全等。
变式思维训练
(变式题往往图形在变化,但思维过程基本上相同,不管第一个图用不用我们证,都应该思考一下证法,它是后续几个问题的基础。
)
18、阅读下列材料并解答问题
人教版课本第56页第9题:
如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D、E,AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长。
解:
∵∠ACB=90°,BE⊥EC,AD⊥CE,∴∠BEC=∠ADC=90°(垂直定义)
由∠ACB=90°可知∠BCE+∠ACD=90°,∠CAD+∠ACD=90°.∴∠BCE=∠CAD.
在△BEC和△CDA中
∠BCE=∠CAD
∠BEC=∠CDA
BC=AC
∴△BEC≌△CDA(AAS)
∴CE=AD,BE=CD∵AD=2.5cm,DE=1.7cm,
∴BE=CD=EC-DE=AD-DE=2.5-1.7=0.8(cm)
问题:
1、图中AD、DE、BE之间的关系如何?
2、已知:
∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D、E。
如图甲位置时,猜想AD、DE、BE之间的关系,并说明你的猜想理由;
如图乙位置时呢?
直接写出结果不需说明理由。
[解析]
(1)由阅读材料可知AD=BE+DE;
(2)与
(1)的思路完全一样,图甲可得BE=AD+DE,图乙可得DE=AD+BE
[答案]解:
(1)AD=BE+DE
(2)如图甲位置时,BE=AD+DE。
理由是:
∵∠ACB=90°,BE⊥EC,AD⊥CE,∴∠BEC=∠ADC=90°(垂直定义)
由图可知∠BCE+∠ACD=90°,∠CAD+∠ACD=90°.∴∠BCE=∠CAD.
在△BEC和△CDA中
∠BCE=∠CAD
∠BEC=∠CDA
BC=AC
∴△BEC≌△CDA(AAS)
∴CE=AD,BE=CD
∴BE=CD=EC+DE=AD+DE即BE=AD+DE
如图乙位置时,DE=AD+BE
19、(2013•衢州)【提出问题】
(1)如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN.求证:
∠ABC=∠ACN.
【类比探究】
(2)如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,
(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?
请说明理由.
[解析]
(1)利用SAS可证明△BAM≌△CAN,继而得出结论;
(2)也可以通过证明△BAM≌△CAN,得出结论,和
(1)的思路完全一样.
[答案]
(1)证明:
∵△ABC、△AMN是等边三角形,
∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
∵在△BAM和△CAN中,
∴△BAM≌△CAN(SAS),
∴∠ABC=∠ACN.
(2)解:
结论∠ABC=∠ACN仍成立.
理由如下:
∵△ABC、△AMN是等边三角形,
∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
在△BAM和△CAN中,
∴△BAM≌△CAN(SAS),
∴∠ABC=∠ACN.
20、已知:
点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等,且OB=OC。
(1)小明经过探究发现:
如图①,若点O在BC上,则AB=AC;如图②,若点O在△ABC的内部,AB=AC也成立;请你以图②为例给出相应的证明;
(2)请你思考:
若点O在△ABC的外部,AB=AC成立吗?
请画图表示。
[解析]此题可以只用全等直接证AB=AC,在第十三章就可以通过证∠ABC=∠ACB得AB=AC。
连接AO则利用HL可得AE=AF,BE=CF,问题得解。
[答案]
(1)证明:
连接AO。
∵OE、OF是点O到AB、AC的距离
∴∠AEO=∠AFO=∠BEO=∠CFO=90°
在Rt△AEO与Rt△AFO中,AO=AO
EO=FO
∴Rt△AEO≌Rt△AFO(HL)
∴AE=AF
在Rt△BEO与Rt△CFO中,BO=CO
EO=FO
∴Rt△BEO≌Rt△CFO(HL)
∴BE=CF∵AE=AF
∴AE+BE=AF+CF即AB=AC
(2)解:
不一定成立,如图③④所示。
21、如图①,A、E、F、C在一条直线上,AE=CF,过E、F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,AB=CD。
(1)试证明BD平分EF;
(2)若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为②时,其余条件不变,上述结论是否成立?
说明理由。
[解析]
(1)用HL证△ABF与△CDE全等,得BF=DE;再用AAS证△GBF与△GDE全等,得GE=GF;
(2)成立,参照
(1)。
注意BD平分EF和BD与EF互相平分的区别。
[答案]
(1)证明:
∵AE=CF∴AE+EF=CF+EF∴AF=CE∵DE⊥AC,BF⊥AC∴∠AFB=∠CED=90°在Rt△ABF与Rt△CDE中,
AB=CD
AF=CE
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)
∴BF=DE
在△GBF与△GDE中
∠AFB=∠CED
∠FGB=∠EGD
FB=EG
∴△GBF≌△GDE(AAS)
∴GE=GF即BD平分EF
(2)解:
仍然成立。
理由是:
∵AE=CF∴AE-EF=CF-EF∴AF=CE∵DE⊥AC,BF⊥AC
∴∠AFB=∠CED=90°
在Rt△ABF与Rt△CDE中, AB=CD
AF=CE
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)
∴BF=DE
在△GBF与△GDE中
∠AFB=∠CED
∠FGB=∠EGD
FB=EG
∴△GBF≌△GDE(AAS)
∴GE=GF即BD平分EF
22、
(1)如图1,△ABC和△CDE都是等边三角形,且B、C、D三点共线,联结AD、BE相交于点P,求证:
BE=AD.并求∠DPE的度数。
(2)如图2,在△BCD中,∠BCD<120°,分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF,联结AD、BE和CF交于点P,下列结论中正确的是 ①②③ (只填序号即可)
①AD=BE=CF;②∠BEC=∠ADC;③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°;
(3)如图3,在△BCD中,∠BCD<90°,分别以BC、CD为边在△BCD外部作正方形AGBC、正方形CDFE,连接AD、BE交于点P,求∠DPE的度数
[解析]
(1)根据等边三角形的性质得出BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°,求出∠BCE=∠ACD,证出△BCE≌△ACD,推出BE=AD,∠BEC=∠ADC根据对顶三角形即可求出∠DPE=60°;
(2)求出BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°,∠BCE=∠ACD,证△BCE≌△ACD,推出BE=AD,∠BEC=∠ADC,同理△FDC≌△BDE,推出BE=CF,∠BED=∠FCD根据对顶三角形可求出∠DPE=60°=∠EPC∴∠CPA=60°;
(3)求出BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=90°,∠BCE=∠ACD,证△BCE≌△ACD,推出BE=AD,∠BEC=∠ADC,根据对顶三角形即可求出∠DPE=90°;
[答案]
(1)证明:
∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCE=∠ACD,
在△BCE和△ACD中
∴△BCE≌△ACD(SAS)
∴BE=AD,∠CEP=∠CDA;
又∵∠DME=∠CEP+∠DPE,∠DME=∠DCE+∠CDA(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∴∠DCE=∠DPE=60°
(2)解:
①②③都正确,
理由是:
∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCE=∠ACD,
在△BCE和△ACD中
∴△BCE≌△ACD(SAS)
∴BE=AD,∠BEC=∠ADC,∴②正确;
同理△FDC≌△BDE,
∴BE=CF,∠DCF=∠DEB
∴BE=AD=CF,∴①正确;
∵△BCE≌△ACD,
∴∠CEP=∠CDA,
又∵∠DME=∠CEP+∠DPE,∠DME=∠DCE+∠CDA(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∴∠DCE=∠DPE=60°
同理∠CME=∠DCF+∠EPC,∠CME=∠DEB+∠CDE∴∠EPC=∠CDE=60°,即∠DPE=∠EPC=60°,由平角定义知∠CPA=60°∴③正确;
故答案为:
①②③;
(3)解:
∵△ABC和△CDE都是正方形,
∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠BCE=∠ACD,
在△BCE和△ACD中
∴△BCE≌△ACD(SAS)
∴∠CEP=∠CDA;
又∵∠DME=∠CEP+∠DPE,∠DME=∠DCE+∠CDA(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∴∠DCE=∠DPE=90°
[综合提高]
23、证明:
两条边和第三边上的高分别相等的两个锐角三角形全等
[解析]本题是证几何命题,在证明之前要画出图形,并用符号表示已知和求证。
经过分析找出由已知推出要证的结论的途径,再写出证明过程。
本题所已知的是两个锐角三角形中,两条边和第三边上的高分别相等,证这两个锐角三角形全等。
当两条边分别相等时,第三个条件可以是它们的夹角也可以是第三边。
通过用HL证三角形全等可以达到目的。
[答案]如图
已知:
锐角△ABC与△DEF中,AB=DE,AC=DF,AM与DN分别是两三角形的高,且AM=DN,
求证:
△ABC≌△DEF
证明:
∵AM与DN分别是两三角形的高,∴∠1=∠3=90°∠2=∠4=90°
在Rt△ABM与Rt△DEN中AB=DE
AM=DN
∴Rt△ABM≌Rt△DEN(HL)∴BM=EN
在Rt△ACM与Rt△DFN中AC=DF
AM=DN
∴Rt△ACM≌Rt△DFN(HL)∴CM=FN
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