立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习.docx
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立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习
立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习
知识点整理
(一)平行与垂直的判断
⑴平行:
设,的法向量分别为U,V,贝U直线l,m的方向向量分别为a,b,平面
线线平行i//ma〃ba诂;线面平行i//auau0;面面平行//u//vuJ.
⑵垂直:
设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面,的法向量分别为u,v,则
线线垂直I丄ma丄bab0;线面垂直I丄a//uaku「;面面垂直丄u丄vuv0.
(二)夹角与距离的计算注意:
以下公式可以可以在非正交基底下用,也可以在正交基底下用坐标运算
(1)夹角:
设直线l,m的方向向量分别为,平面,的法向量分别为u,v,则
①两直线I,m所成的角为
(2)空间距离
点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难
①点到平面的距离h:
(定理)如图,设n是是平面的法向量,AP是平面的一条斜线,其中A则点P到平面的距离
uuuuu
②h1Auurn|(实质是AP在法向量n方向上的投影的绝对值)|n|
uuuur
11,12的公垂向量为
③异面直线li,l2间的距离d:
dABJC』1(
|n|'
n,C、D分别是h,l2上任一点).题型一:
非正交基底下的夹角、的计算
例1.如图,已知二面角-I-点A,B,ACI于点C,且AC=CD=DB=1.
求:
(1)A、B两点间的距离;
(2)求异面直线AB和CD勺所成的角(3)AB与CD勺距离.
解:
设ACa,CDb,DBc,则
|a||b||c|1,a,bb,c900,a,c60°,
2••2••2■■2
|AB|abc.abc2ab2bc2ca2
A、B两点间的距离为2.
(2)异面直线AB和CD的所成的角为60°
PE,PF
小结:
任何非正交基底下的证明、计算都先设基底,并将条件也用基底表示,特别证明线面平行时,如AB//平面PEF可以将AB有基底表示,PE,PF也用基底表示,最后用待定系数法ABPEPF,将入和卩求出。
例2。
如图,在三棱锥A—BCC中,侧面ABD]ACC是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,
侧面ABC是正三角形.
(1)
(2)
(3)
求证:
ADLBC
求二面角B—AC-D的大小;
在段线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角?
若存在,确定点E的位置;若不存在,说明理由•
20.解法一:
(1)方法一:
作AHL面BCD于H连DH.
ABLBDHBLBD•/AD=BD=1
/.AE=、Q=BCAC/.BDLD
又BD=CD贝VBHC[是正方形,
则DHLBC.・•・ADLBC
方法二:
取BC的中点0,连AODO则有AOLBCDOLBC
・•・BCL面AOD・・・BCLAD
(2)作BMLAC于M作MNLAC交AD于N,
则/BMN就是二面角B—AC—D的平面角.
•・•AB=AC=BC=2,二M是AC的中点,且MWCD
则Bh=-6,MN1CD1,BN1AD3.
22222
(3)设E为所求的点,作EFLCH于F,连FD则EF//AH,•••EF丄面BCD/EDF就是ED与面BCD所成的角,贝
ED=30°,
设EF=x,易得AH=H(=1,则CF=x,FD=1x2.
tanEDF巨——x—,解得x—,则CE2x1,
FD\1x732
故线段AC上存在E点,且CE=1时,ED与面BCD成30角.
解法二:
(1)作AHL面BCDTH连BHCHDH则四边形BHCD是正方形,且AH=1,
以D为原点,以DB为x轴,DC为y轴建立空间直角坐标
系如图,
则B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1)
BC(1,1,0),DA(1,1,1),
BCDA0,则BCAD.
(2)设平面ABC的法向量为m=(x,y,z),则由EBC知:
BCxy0;
同理由n1CA知n1CAxz0.
可取n1(1,1,1).
(3)设E(x,y,z)
60°,
平面BCD勺一个法向量为n(0,0,1),DE(x,1,x),要使ED与面BCD成30°角,由图可知de与n的夹角为
DEnx1
所以cosDE,n_—『cos60一.
|DE||n|V12x22
则2x12x2,解得,x—,则CE2x1.
2
故线段AC上存在E点,且CE1时,ED与面BCD成30角.
题型二、利用坐标系或几何法解决距离、角度及其证明问题
例3、如题(18)图,在五面体ABCDEF中,AB//DC,BAD-,
CDAD2,四边形ABFE为平行四边形,FA平面ABCD,
FC3,ED.7•求:
(I)直线AB到平面EFCD的距离;
(fl)二面角FADE的平面角的正切
值.
解法一:
AB到面EFCD的距离等于点
(I)QABPDC,DC平面EFCD,
A到面EFCD的距离,过点A作AGFD于G因BAD-AB//DC,故CDAD;又QFA平面ABCD,由三垂线定理可知,CDFD,故CD面FAD,知CDAG,所以AG为所求直线AB到面EFCD的距离
在RtAABC中,FD、、FC?
—CD2.^~4,5
由FA平面ABCD,得FAAD,从而在Rt^FAD中,
FA.FD2AD2r-?
1
AG^AFDAD三255。
即直线AB到平面EFCD的距离为年。
(H)由己知,FA平面ABCD,得FAAD又由BAD-,
FAE为二面角FADE的平面角,记为.
.ED2AD2、、厂3,由YABCD得,FEPBA,从而
AFE—
2
AE2AF2厂2,故tanFa
在RtAAEF中,FE
所以二面角FADE的平面角的正切值为2.解法二:
(I)如图以A点为坐标原-点,AB,AD,AF的方向为x,y,z的正方向建立空间直角坐标系数,则
A(0,0,0)C(2,2,0)D(0,2,0)设f(o,o,zo)(z°0)可得
FC(2,2,zo),由|FC|3.即,22—22一z23,解得F(0,0,1)QAB//DC,
DC面EFCD,所以直线AB到面EFCD的距离等于点A到面
G(x!
y1,z1),则
EFCD的距离。
设A点在平面EFCD上的射影点为
CD(2,0,0),此即2:
00解得xio①,知G点在yoz面上,故G点在FD上.
GFPDF,G1^(^,y”z1)故有鲁召1②联立①,②解得,
24
G(0,—,).
55
|A苟为直线AB到面EFCD的距离.而AG(0牛)所以
55
■2.即E(.2,0,1).故AE(.2,0,1)
0,ADAF0,故FAE为二面角
uuuuuur
(、、2,0,0),|EF|^2,|AF|1,所以
平行四边形,则可设
II)因四边形ABFE为
unrE(Xo,O,1)(xo0),ED(Xo2,1).由
|ED|-.7得、、x^221.7,解得xo
uuuuuruuuruuur
田AD(0,2,0),AF(0,0,1)因ADAE
FADE的平面角,又QEF
uiu
tanFAEL^u-12
|FA|
例3、如图,四棱锥S-ABC冲,底面ABCD为平行四边形,
狈寸面SBCL底面ABCD已知/ABC=45°,AB=2,BC=22,
s心SB=3.
⑴证明:
SAaBC
(2)求直线SD与平面SAB
所成角的大小.
求异面直线DCSA的距离.
解:
⑴作AEBC于E点,则
AEBEABcosABE
2cos45°、2
又•・•BC=22
BE-BC
2
即E点是BC的中点.又•SEASB
・•・SEBSEA90°,即SE是BC的中垂线.
又•・•侧面SBCL底面ABCD・•・SE面AC.
umuururn
⑵以E为原点,分别以向量eases的正万向为x轴、y轴、z轴的非负半轴,建立空间直角坐标系,如图4所示.容易求得SE=1汙是
A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),D(2,-22,0),S(0,0,1)
E(0,0,0).r
设平面SAB的法向量n(x,y,z),
UUT—ULT
…SAb/2,0,1)SB=(0,72,-1)
TULT
nSA、2x-z0
TULT—
nSB2y-z0
令z.2,得n(1,1,&)
又、:
SD(.2,22,1)
设直线SD与平面SAB所成的角为
题型三、探索性问题
・•・不论入为何值,恒有EF//CD二EF丄平面ABCEF平面BEF,
・••不论入为何值恒有平面BEF丄平面
ABC6分
(H)由(I)知,BE!
EF,又平面BEFL平面ACD
・•・BE1平面ACD・•・BE!
AC.8分
・・・BC=CD=1/BCD=90,/ADB=60,
・°・BD2,AB.2tan606,
ACAB2BC2.7,由aB=AE・AC得ae2肇£
J7'AC7'
故当6时,平面bef丄平面
ACD:
12分
22.(2009宁夏海南卷理)(本小题满分12分)
如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的迈倍,P为侧棱SD上的点。
(I)求证:
AC丄SD
(U)若SDL平面PAC求二面角P-AC-D的大小
(皿)在(U)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE//平面PAC若存在,求SEEC的值;若不存在,试说明理由。
I
1\
/r1\
Jr«1\
/;\\
//\V
]J**1/jr
■<
解法一:
(I)连BD设AC交BD于O由题意soac。
在正方形ABCD中,ACBD,所以AC平面SBD,得ACSD.
(n)设正方形边长a,则sd-2a。
又OD予,所以SOD600,
连OP,由(I)知AC平面SBD,所以ACOP,
且ACOD,所以POD是二面角PACD的平面角。
由SD平面PAC,知SDOP,所以POD300,
即二面角PACD的大小为300。
(川)在棱SC上存在一点E,使BE//平面PAC
由(II)可得PD予,故可在SP上取一点N,使PNPD,过N作PC的平行线与SC的交点即为E。
连BN。
在VBDN中知BN//PO,又由于NE//PC,故平面BEN//平面PAC,得BE//平面PAC,由于SN:
NP21,故SE:
EC21.
解法二:
(I);连BD,设AC交于BD于。
,由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点,Ob,OC,OS分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立坐标系Oxyz如图。
设底面边长为a,则高SOJa。
OCSD0
故OCSD从而ACSD
(I)由题设知,平面PAC的一个法向量DS(吕aQ^a),平面DAC的一个法向量OS)0,0逹a),设所求二面角为,则cos垂I冬
2OSDS2
所求二面角的大小为300
(川)在棱SC上存在一点E使BE//平面PAC.
由(H)知DS是平面PAC的一个法向量,且
而BE不在平面PAC内,故BE//平面PAC故SE:
EC21.
题型四:
翻折问题
(本题满分15分)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段
AB,AD上,AEEBAF2FD4.沿直线EF将VAEF翻折成VA'EF,使平面A'EF平面BEF.
(I)求二面角A'FDC的余弦值;
(fl)点M,N分别在线段FD,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折,使C与A重合,求线段FM的长。
解析:
本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同事考查空间想象能力和运算求解能力。
(氓20:
:
>
(I)解:
取线段EF的中点H连结AH,因为a'e=a'f及H是EF的中点,所以A'HEF,又因为平面AEF平面BEF.
如图建立空间直角坐标系A-xyz
则A(2,2,2貶),C(10,8,0),
F(4,0,0),D(10,0,0).
故FA'=(-2,2,2.2),FD=(6,0,0)设n=(x,y,z)为平面A'FD的一个法向量,
I--2x+2y+22z=0
所以
6x=0.
取z迈,则n(0,2,⑵。
njgr^3
又平面BEF的一个法向量m(0,0,1),故cosn,m
所以二面角的余弦值为于
(H)解:
设FMx,则M(4x,0,0),
因为翻折后,C与A重合,所以CMA'M,故,(6x)28202=(2x)222(2.2)2,得x彳
经检验,此时点N在线段BC上,所以FM辺
4
方法二:
(I)解:
取线段EF的中点H,AF的中点G,连结A'G,A'H,GH
因为A'E=A'F及H是EF的中点,
所以A'HEF
又因为平面A'EF平面BEF,所以A'H平面BEF,
又AF平面BEF,
故A'HAF,
又因为G、H是AF、EF的中点,易知GHIIAB,所以GHAF,于是AF面A'GH,所以A'GH为二面角A'DHC的平面角,在RtVA'GH中,A'H=2,2,GH=2,A'G=2.3所以cosA'GH辽
3'
故二面角A'DFC的余弦值为彳
(H)解:
设FMx,
因为翻折后,C与A'重合,
所以CMA'M,
而CM2DC2DM282(6x)2,
A'M2A'H2MH2A'H2MG2GH2(2、、2)2
21
4,
经检验,此时点N在线段BC上,所以FM空。
4
1、如图,在五面体ABCDEF中,FA平面
ABCDAD//BC//FE,ABADM为EC的中点,
AF=AB=BC=FE1AD
2
(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小;
(II)证明平面AMD平面CDE
(III)求二面角A-CD-E的余弦值。
方法一:
(I)解:
由题设知,BF//CE,所以
/CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角。
设P为AD的中点,连结EP,PC因•
为FE〃AP,所以FA〃EP,同理AB,PC又FA
丄平面ABCD所以EP丄平面ABCD而PCAD都在平面ABCD内,故EP丄PCEP丄AD由AB丄AD可得PCLAD设FA=a贝VEP=PC=PD=a,CD=DE=E2C=故/CED=60。
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°
(II)证明:
因为DCDE且M为CE的中点,所以DMCE•连结MP,则MPCE.
又MPDMM,故CE平面AMD.而CE平面CDE,所以平面AMD平面CDE.(III)解:
设Q为CD的中点,连结PQ,EQ.因为CEDE,所以EQCD因为
方法二:
如图所示,建立空间直角坐标系,
点A为坐标原点。
设AB1,依题意得B1,0,0,C1,1,0,D0,2,0,E0,1,1,
M1,丄.
22
(I)解:
BF1,0,,DE0,1,,
0011
2^22
:
————■:
BF?
DE
EE
于是cosBF,DEBF-DE
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为600.
(II)证明:
由AM1n,1,CE1,0,1,AD0,2,0,可得CE?
AM0,
CE?
AD0•因此,CEAM,CEAD.又AMADA,故CE平面AMD.
而CE平面CDE,所以平面AMD平面CDE.
于是Xz0令x1可得u(1,1,1).
yz0.
又由题设,平面ACD的一个法向量为v(0,0,1).
2、在四面体ABCC中,AB丄BCAB丄BD丄CD且AB=BC=1。
(1)求证:
平面CBDL平面ABD
(2)是否存在这样的四面体,使二面角
—AAB的平面角为30°?
如果存在,求出CD的长;如果不存在,请找出一个角B,使得存在这样的四面体,使二面角c—AD^B的平面角为B。
解:
(1)TAB丄BCAB丄BD
•••AB丄平面BCD,又AB面ABD
・••面ABDL面CBD
(2)设CD=x,在面CBD内作CE!
BD于E
由
(1)知平面ABDL面BCD且BD为线
・•・CE!
平面ABD
作EFLAD于F,连结CF,贝VCFLAD
・•・/CFE为“二面角”C—AD^B的平面
角,且/CFE=30°
又在Rt△BCD中,CE・BD=CB・CD
CE—1xx
又•・•CDLBC又BC为AC在面BCD上射影
・•・CDLAC
则在Rt△ACD中,CF・AD=AC-CD
解出x23,无实数解。
30
/•ZCFE-,—
42
故e可以取45°〜90°之间的任意角。
3、如图,四棱锥S—ABCD勺底面是正方形,SD平面ABCDSD=2aad近a点E是SD上的点,且DEa(02)
(I)求证:
对任意的(0,2],都有AC
(n)设二面角C-AE-D的大小为
BE与平面ABCD所成的角为,若㈣加1,求的值解:
(I)证法1:
如图1,连接BE、BD由地面ABCD是正方形可得ACLBD
qSD丄平面ABCDBD是BE在平面ABCDk的射影,ACLBE
(n)解法1:
如图1,由SDL平面ABCD®,ZDBE=,
qSDL平面ABCDCD平面ABCD,SDLCD
又底面ABCD是正方形,CDLAD而SDAD=DCDL平
面SAD.
连接AECE过点D在平面SAD内作DEIAE于F,连接
CF」CFLAE
故ZCDF是二面角C-AE-D的平
面角,即ZCDF=
tan
在Rt△BDE中,QBD=2aDE=a
DE
在Rt△ADE中,
QAD五DEa,AE
a22
DFADDE从而AE
2
a
2
2
tan
在RtCDF中,
CD
22
DF
■
由tantan1,得
‘2
2.2
1-22
2
22
■
由(0,2】,解得
2
即为所求•
(1)证法2:
以
uuuuuuruuu
D为原点,da,dc,ds
的方向分别作为x,y,z
BD2
轴的正方向建立如
图2所示的空间直角坐标系,贝V
D(0,0,0),A",0,0),B"a,岳,0),C(0,辰,
0),E(0,0a),
uur__uuu-—
AC(、.2a,.2a,0),BE(.2a,,2a,a)
UUr322
ACBE2a2a0a0,即ACBE。
易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为
uuuuuur
DS(0,0,2a)与DC(0八2a,0).
Q0<,0,
‘2‘
2
tantansincos2.
242^2
由于(0,2],解得「2,即为所求。
4、已知在四边形ABC[中,AD/BC,AC=AE=1,bcd45o,bad90°将厶ABD沿对角线BD折起到如图所示PBD的位置,使平面
PBD平面BCD.
⑴求证:
CDPB;⑵求二面角PBCD的余弦值大小;⑶求点D到平面PBC勺距离.
解:
(1)折叠前,在直角梯形ABC[中,易知/CBD$ADB=45
又/BCD=45
折叠后,在三棱锥P—BCD中,CDLBD且平面PBDL平面
BCDBD为交线
・•・CCL平面PBD
・•・CDLPB
(2)取BD中点0,作OELBC于E,连P0,
PE
•・•PB=PD
・•・POLBD
又平面PBDL平面BCDBD为交线
・•・POL平面BCD在平面BCD内射
影为OE
由三垂线定理PELBC
・•・/PEO是二面角P—BC—D平面角
(3)设D到平面PBC距离为h
或者:
由
(1)知PB丄CD
又PB丄PD
・•・PBX面PDC
・••面PDCL面PBCPC为交线过D作DHLPC则DHL面PBC・•・DH即为D点到面PBC的距离
空间距离专题复习
题型一:
两条异面直线间的距离
【例1】如图,在空间四边形ABCD中,
AB=B(=Ct=DAA(=BD=a,E、F分别是ABCD的中点.
⑴求证:
EF是AB和CD的公垂线;异\
⑵求AB和CD间的距离;/!
,•&
【规范解答】
(1)证明:
连结AFBF,由已知餾"AFBF
例1题图
又因为AE=BE所以FE!
AB交AB于E
同理EF±DC交DC于点F.
所以EF是AB和CD的公垂线.
(2)在Rt△BEF中,BF^-^a,BE=1a所以EF=BF-BE=1a2,即EF=^a.
22
由⑴知EF是ABCD的公垂线段,所以AB和CD间的距离为厶.
2
例2题图
【例2】
CD之间的距离.
设AB中点为巳连CEED•・•AOBCAE=EB・•・CDLAB同理DELAB・•・ABL平面CED设CD的中点为F,连EF;贝VABLEF
同理可证CDLEF・•・EF是异面直线ABCD的距离.
•••C昱,•••C匡FD=1,ZEFO90。
・•・ABCD的距离是子.
【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法:
(1)利用图形性质找出两条异面直线的公垂线,求出
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