高考数学竞赛 函数教案讲义3.docx
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高考数学竞赛函数教案讲义3
2019-2020年高考数学竞赛函数教案讲义(3)
一、基础知识
定义1映射,对于任意两个集合A,B,依对应法则f,若对A中的任意一个元素x,在B中都有唯一一个元素与之对应,则称f:
A→B为一个映射。
定义2单射,若f:
A→B是一个映射且对任意x,y∈A,xy,都有f(x)f(y)则称之为单射。
定义3满射,若f:
A→B是映射且对任意y∈B,都有一个x∈A使得f(x)=y,则称f:
A→B是A到B上的满射。
定义4一一映射,若f:
A→B既是单射又是满射,则叫做一一映射,只有一一映射存在逆映射,即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射,记作f-1:
A→B。
定义5函数,映射f:
A→B中,若A,B都是非空数集,则这个映射为函数。
A称为它的定义域,若x∈A,y∈B,且f(x)=y(即x对应B中的y),则y叫做x的象,x叫y的原象。
集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。
通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围,如函数y=3-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}.
定义6反函数,若函数f:
A→B(通常记作y=f(x))是一一映射,则它的逆映射f-1:
A→B叫原函数的反函数,通常写作y=f-1(x).这里求反函数的过程是:
在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y),然后将x,y互换得y=f-1(x),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。
例如:
函数y=的反函数是y=1-(x0).
定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。
定理2在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。
定义7函数的性质。
(1)单调性:
设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1,x2∈I并且x1
(2)奇偶性:
设函数y=f(x)的定义域为D,且D是关于原点对称的数集,若对于任意的x∈D,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)是奇函数;若对任意的x∈D,都有f(-x)=f(x),则称f(x)是偶函数。
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称。
(3)周期性:
对于函数f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内每一个数时,f(x+T)=f(x)总成立,则称f(x)为周期函数,T称为这个函数的周期,如果周期中存在最小的正数T0,则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。
定义8如果实数aa}记作开区间(a,+∞),集合{x|x≤a}记作半开半闭区间(-∞,a].
定义9函数的图象,点集{(x,y)|y=f(x),x∈D}称为函数y=f(x)的图象,其中D为f(x)的定义域。
通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0);
(1)向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象;
(2)向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象;(3)向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象;(4)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称;(5)与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称;(6)与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称;(7)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。
定理3复合函数y=f[g(x)]的单调性,记住四个字:
“同增异减”。
例如y=,u=2-x在(-∞,2)上是减函数,y=在(0,+∞)上是减函数,所以y=在(-∞,2)上是增函数。
注:
复合函数单调性的判断方法为同增异减。
这里不做严格论证,求导之后是显然的。
二、方法与例题
1.数形结合法。
例1求方程|x-1|=的正根的个数.
例2求函数f(x)=
的最大值。
2函数性质的应用。
例3设x,y∈R,且满足
,求x+y.
例4奇函数f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,又f(1-a)+f(1-a2)<0,求a的取值范围。
例5设f(x)是定义在(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用Ik表示区间(2k-1,2k+1],已知当x∈I0时,f(x)=x2,求f(x)在Ik上的解析式。
例6解方程:
(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.
3.配方法。
例7求函数y=x+的值域。
4.换元法。
例8求函数y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。
5.判别式法。
例9求函数y=的值域。
6.关于反函数。
例10若函数y=f(x)定义域、值域均为R,且存在反函数。
若f(x)在(-∞,+∞)上递增,求证:
y=f-1(x)在(-∞,+∞)上也是增函数。
例11设函数f(x)=,解方程:
f(x)=f-1(x).
三、基础训练题
1.已知X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2},映射f:
X→Y满足:
对任意的x∈X,它在Y中的象f(x)使得x+f(x)为偶数,这样的映射有_______个。
2.给定A={1,2,3},B={-1,0,1}和映射f:
X→Y,若f为单射,则f有_______个;若f为满射,则f有_______个;满足f[f(x)]=f(x)的映射有_______个。
3.若直线y=k(x-2)与函数y=x2+2x图象相交于点(-1,-1),则图象与直线一共有_______个交点。
4.函数y=f(x)的值域为[],则函数g(x)=f(x)+的值域为_______。
5.已知f(x)=,则函数g(x)=f[f(x)]的值域为_______。
6.已知f(x)=|x+a|,当x≥3时f(x)为增函数,则a的取值范围是_______。
7.设y=f(x)在定义域(,2)内是增函数,则y=f(x2-1)的单调递减区间为_______。
8.若函数y=(x)存在反函数y=-1(x),则y=-1(x)的图象与y=-(-x)的图象关于直线_______对称。
9.函数f(x)满足=1-,则f()=_______。
10.函数y=,x∈(1,+∞)的反函数是_______。
11.求下列函数的值域:
(1)y=;
(2)y=;(3)y=x+2;(4)y=
12.已知定义在R上,对任意x∈R,f(x)=f(x+2),且f(x)是偶函数,又当x∈[2,3]时,f(x)=x,则当x∈[-2,0]时,求f(x)的解析式。
四、高考水平训练题
1.已知a∈,f(x)定义域是(0,1],则g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______。
2.设0≤a<1时,f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒为正值。
则f(x)定义域为_______。
3.映射f:
{a,b,c,d}→{1,2,3}满足10 4.设函数y=f(x)(x∈R)的值域为R,且为增函数,若方程f(x)=x解集为P,f[f(x)]=x解集为Q,则P,Q的关系为: P_______Q(填=、、)。 5.下列函数是否为奇函数: (1)f(x)=(x-1); (2)g(x)=|2x+1|-|2x-1|;(3)(x)=;(4)y= 6.设函数y=f(x)(x∈R且x0),对任意非零实数x1,x2满足f(x1x2)=f(x1)+f(x2),又f(x)在(0,+∞)是增函数,则不等式f(x)+f(x-)≤0的解集为_______。 7.函数f(x)=,其中P,M为R的两个非空子集,又规定f(P)={y|y=f(x),x∈P},f(M)={y|y=f(x),x∈M},给出如下判断: ①若P∩M=,则f(P)∩f(M)=;②若P∩M,则f(P)∩f(M);③若P∪M=R,则f(P)∪f(M)=R;④若P∪MR,则f(P)∪f(M)R.其中正确的判断是_______。 8.函数y=f(x+1)的反函数是y=f-1(x+1),并且f (1)=3997,则f(xx)=_______。 9.已知y=f(x)是定义域为[-6,6]的奇函数,且当x∈[0,3]时是一次函数,当x∈[3,6]时是二次函数,又f(6)=2,当x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3。 求f(x)的解析式。 10.设a>0,函数f(x)定义域为R,且f(x+a)=,求证: f(x)为周期函数。 11.设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为α,β(α<β),已知函数f(x)=, (1)求f(α)、f(β); (2)求证: f(x)在[α,β]上是增函数;(3)对任意正数x1,x2,求证: <2|α-β|. 五、联赛一试水平训练题 1.奇函数f(x)存在函数f-1(x),若把y=f(x)的图象向上平移3个单位,然后向右平移2个单位后,再关于直线y=-x对称,得到的曲线所对应的函数是________. 2.若a>0,a1,F(x)是奇函数,则G(x)=F(x)是________(奇偶性). 3.若=x,则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x);②F(-x)=;③F(x-1)=F(x);④F(F(x))=-x. 4.设函数f: R→R满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(x)=________. 5.已知f(x)是定义在R上的函数,f (1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1。 若g(x)=f(x)+1-x,则g(xx)=________. 6.函数f(x)=的单调递增区间是________. 7.函数f(x)=的奇偶性是: ________奇函数,________偶函数(填是,非)。 8.函数y=x+的值域为________. 9.设f(x)=, 对任意的a∈R,记V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1,3]}-min{f(x)-ax|x∈[1,3]},试求V(a)的最小值。 10.解方程组: (在实数范围内) 11.设k∈N+,f: N+→N+满足: (1)f(x)严格递增; (2)对任意n∈N+,有f[f(n)]=kn,求证: 对任意n∈N+,都有n≤f(n)≤ 六、联赛二试水平训练题 1.求证: 恰有一个定义在所有非零实数上的函数f,满足: (1)对任意x≠0,f(x)=x·f; (2)对所有的x≠-y且xy≠0,有f(x)+f(y)=1+f(x+y). 2.设f(x)对一切x>0有定义,且满足: (ⅰ)f(x)在(0,+∞)是增函数;(ⅱ)任意x>0,f(x)f=1,试求f (1). 3.f: [0,1]→R满足: (1)任意x∈[0,1],f(x)≥0; (2)f (1)=1;(3)当x,y,x+y∈[0,1]时,f(x)+f(y)≤f(x+y),试求最小常数c,对满足 (1), (2),(3)的函数f(x)都有f(x)≤cx. 4.试求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x>0,y>0)的最小值。 5.对给定的正数p,q∈(0,1),有p+q>1≥p2+q2,试求f(x)=(1-x)+在[1-q,p]上的最大值。 6.已知f: (0,1)→R且f(x)= . 当x∈时,试求f(x)的最大值。 7.函数f(x)定义在整数集上,且满足f(n)= ,求f(100)的值。 8.函数y=f(x)定义在整个实轴上,它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。 (1)求证: 方程f(x)=x恰有一个解; (2)试给出一个具有上述性质的函数。 9.设Q+是正有理数的集合,试构造一个函数f: Q+→Q+,满足这样的条件: f(xf(y))=x,y∈Q+. 2019-2020年高考数学竞赛圆锥曲线教案讲义(11) 一、基础知识 1.椭圆的定义,第一定义: 平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的距离)的点的轨迹,即|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|=2c). 第二定义: 平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 (0 第三定义: 在直角坐标平面内给定两圆c1: x2+y2=a2,c2: x2+y2=b2,a,b∈R+且a≠b。 从原点出发的射线交圆c1于P,交圆c2于Q,过P引y轴的平行线,过Q引x轴的平行线,两条线的交点的轨迹即为椭圆。 2椭圆的方程,如果以椭圆的中心为原点,焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系,由定义可求得它的标准方程,若焦点在x轴上,列标准方程为 (a>b>0), 参数方程为(为参数)。 若焦点在y轴上,列标准方程为 (a>b>0)。 3.椭圆中的相关概念,对于中心在原点,焦点在x轴上的椭圆 , a称半长轴长,b称半短轴长,c称为半焦距,长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a,0),(0,±b),(±c,0);与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为,与右焦点对应的准线为;定义中的比e称为离心率,且,由c2+b2=a2知0 椭圆有两条对称轴,分别是长轴、短轴。 4.椭圆的焦半径公式: 对于椭圆1(a>b>0),F1(-c,0),F2(c,0)是它的两焦点。 若P(x,y)是椭圆上的任意一点,则|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex. 5.几个常用结论: 1)过椭圆上一点P(x0,y0)的切线方程为 ; 2)斜率为k的切线方程为; 3)过焦点F2(c,0)倾斜角为θ的弦的长为 。 6.双曲线的定义,第一定义: 满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|,a>0)的点P的轨迹; 第二定义: 到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。 7.双曲线的方程: 中心在原点,焦点在x轴上的双曲线方程为 , 参数方程为(为参数)。 焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 。 8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在x轴上的双曲线 (a,b>0), a称半实轴长,b称为半虚轴长,c为半焦距,实轴的两个端点为(-a,0),(a,0).左、右焦点为F1(-c,0),F2(c,0),对应的左、右准线方程分别为离心率,由a2+b2=c2知e>1。 两条渐近线方程为,双曲线与有相同的渐近线,它们的四个焦点在同一个圆上。 若a=b,则称为等轴双曲线。 9.双曲线的常用结论,1)焦半径公式,对于双曲线,F1(-c,0),F2(c,0)是它的两个焦点。 设P(x,y)是双曲线上的任一点,若P在右支上,则|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a;若P(x,y)在左支上,则|PF1|=-ex-a,|PF2|=-ex+a. 2)过焦点的倾斜角为θ的弦长是。 10.抛物线: 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫焦点,直线l叫做抛物线的准线。 若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴,x轴与l相交于K,以线段KF的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,设|KF|=p,则焦点F坐标为,准线方程为,标准方程为y2=2px(p>0),离心率e=1. 11.抛物线常用结论: 若P(x0,y0)为抛物线上任一点, 1)焦半径|PF|=; 2)过点P的切线方程为y0y=p(x+x0); 3)过焦点倾斜角为θ的弦长为。 12.极坐标系,在平面内取一个定点为极点记为O,从O出发的射线为极轴记为Ox轴,这样就建立了极坐标系,对于平面内任意一点P,记|OP|=ρ,∠xOP=θ,则由(ρ,θ)唯一确定点P的位置,(ρ,θ)称为极坐标。 13.圆锥曲线的统一定义: 到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P,若0 这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为。 二、方法与例题 1.与定义有关的问题。 例1已知定点A(2,1),F是椭圆的左焦点,点P为椭圆上的动点,当3|PA|+5|PF|取最小值时,求点P的坐标。 例2已知P,为双曲线C: 右支上两点,延长线交右准线于K,PF1延长线交双曲线于Q,(F1为右焦点)。 求证: ∠F1K=∠KF1Q. 2.求轨迹问题。 例3已知一椭圆及焦点F,点A为椭圆上一动点,求线段FA中点P的轨迹方程。 例4长为a,b的线段AB,CD分别在x轴,y轴上滑动,且A,B,C,D四点共圆,求此动圆圆心P的轨迹。 例5在坐标平面内,∠AOB=,AB边在直线l: x=3上移动,求三角形AOB的外心的轨迹方程。 3.定值问题。 例6过双曲线(a>0,b>0)的右焦点F作B1B2轴,交双曲线于B1,B2两点,B2与左焦点F1连线交双曲线于B点,连结B1B交x轴于H点。 求证: H的横坐标为定值。 注: 本例也可借助梅涅劳斯定理证明,读者不妨一试。 例7设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在准线上,且BC//x轴。 证明: 直线AC经过定点。 例8椭圆上有两点A,B,满足OAOB,O为原点,求证: 为定值。 4.最值问题。 例9设A,B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点,且OAOB(O为原点),求|AB|的最大值与最小值。 例10设一椭圆中心为原点,长轴在x轴上,离心率为,若圆C: 1上点与这椭圆上点的最大距离为,试求这个椭圆的方程。 5.直线与二次曲线。 例11若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点,试求a的取值范围。 例12若直线y=2x+b与椭圆相交, (1)求b的范围; (2)当截得弦长最大时,求b的值。 三、基础训练题 1.A为半径是R的定圆⊙O上一定点,B为⊙O上任一点,点P是A关于B的对称点,则点P的轨迹是________. 2.一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m2(>0),则动点的轨迹是________. 3.椭圆上有一点P,它到左准线的距离是10,它到右焦点的距离是________. 4.双曲线方程,则k的取值范围是________. 5.椭圆,焦点为F1,F2,椭圆上的点P满足∠F1PF2=600,则ΔF1PF2的面积是________. 6.直线l被双曲线所截的线段MN恰被点A(3,-1)平分,则l的方程为________. 7.ΔABC的三个顶点都在抛物线y2=32x上,点A(2,8),且ΔABC的重心与这条抛物线的焦点重合,则直线BC的斜率为________. 8.已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0,一条准线方程为5y+4=0,则双曲线方程为________. 9.已知曲线y2=ax,与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点,如果过这两个交点的直线的倾斜角为450,那么a=________. 10.P为等轴双曲线x2-y2=a2上一点,的取值范围是________. 11.已知椭圆与双曲线有公共的焦点F1,F2,设P是它们的一个焦点,求∠F1PF2和ΔPF1F2的面积。 12.已知(i)半圆的直径AB长为2r;(ii)半圆外的直线l与BA的延长线垂直,垂足为T,设|AT|=2a(2a<);(iii)半圆上有相异两点M,N,它们与直线l的距离|MP|,|NQ|满足求证: |AM|+|AN|=|AB|。 13.给定双曲线过点A(2,1)的直线l与所给的双曲线交于点P1和P2,求线段P1P2的中点的轨迹方程。 四、高考水平测试题 1.双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点,它的一条渐近线方程是=0,则此双曲线的标准方程是_________. 2.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点,若A,B在抛物线准线上的射影分别是A1,B1,则∠A1FB1=_________. 3.双曲线的一个焦点为F1,顶点为A1,A2,P是双曲线上任一点,以|PF1|为直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为_________. 4.椭圆的中心在原点,离心率,一条准线方程为x=11,椭圆上有一点M横坐标为-1,M到此准线异侧的焦点F1的距离为_________. 5.4a2+b2=1是直线y=2x+1与椭圆恰有一个公共点的_________条件. 6.若参数方程(t为参数)表示的抛物线焦点总在一条定直线上,这条直线的方程是_________. 7.如果直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点,则m的范围是_________. 8.过双曲线的左焦点,且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条. 9.过坐标原点的直线l与椭圆相交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F,则直线l的倾斜角为_________. 10.以椭圆x2+a2y2=a2(a>1)的一个顶点C(0,1)为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC,这样的三角形最多可作_________个. 11.求椭圆上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。 12.设F,O分别为椭圆的左焦点和中心,对于过点F的椭圆的任意弦AB,点O都在以AB为直径的圆内,求椭圆离心率e的取值范围。 13.已知双曲线C1: (a>0),抛物线C2的顶点在原点O,C2的焦点是C1的左焦点F1。 (1)求证: C1,C2总有两个不同的交点。 (2)问: 是否存在过C2的焦点F1的弦AB,使ΔAOB的面积有最大值或最小值? 若存在,求直线AB的方程与SΔAOB的最值,若不存在,说明理由。 五、联赛一试水平训练题 1.在平面直角坐标系中,若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆,则m的取值范围是_________. 2.设O为抛物线的顶点,F为焦点,且PQ为过F的弦,已知|OF|=a,|PQ|=b,ΔOPQ面积为_________. 3.给定椭圆,如果存在过左焦点F的直线交椭圆于P,Q两点,且OPOQ,则离心率e的取值范围是_________. 4.设F1,F2分别是双曲线(a>b>0)的左、右焦点,P为双曲线上的动点,过F1作∠F1PF2平分线的垂线,垂足为M,则M的轨迹为_________. 5.ΔABC一边的两顶点坐标为B(0,)和C(0,),另两边斜率的乘积为,若点T坐标为(t,0)(t∈R+),则|AT|的最小值为_________. 6.长为l(l<1)的线段AB的两端点在抛物线y=x2上滑动,则线段AB的中点M到x轴的最短距离等于_________. 7.已知抛物线y2=2px及定点A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa,M是抛物线上的点,设直线AM,BM与抛物线的另一个交点分别为M1,M2,当M变动时,直线M1M2恒过一个定点,此定点坐标为_________. 8.已知点P(1,2)既在椭圆内部(含边界),又在圆x2+y2=外部(含边界),若a,b∈R+,则a+b的最小值为_________. 9.已知椭圆的内接ΔABC的边AB,AC分别过左、右焦点F1,F2,椭圆的左、右顶点分别为D,E,直线DB与直线CE交于点P,当点A在椭圆上变动时,试求点P的轨迹。 10.设曲线C1: (a为正常数)与C2: y2=2(x+m)在x轴上方有一个公共点P。 (1)求实数m
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