分式方程增根与无解.docx

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分式方程增根与无解

甲：

增根是什么？

分式方程的增根与无解

乙：

增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大

了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比如

例1、解方程：

。

①

为了去分母，方程两边乘以，得②

由②解得。

甲：

原方程的解是

乙：

可是当时，原方程两边的值相等吗？

乙：

因为原来方程①中未知数x的取值范围是且，而去分母化为整式方程②后，未知数x的取值范围扩大为全体实数。

这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。

甲：

如此说来，从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么，如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢？

乙：

很简单，两个字：

检验。

可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母，看是否使公分母等于0，如果公分母为0，则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。

甲：

那么，这个题中就是增根了，可原方程的解又是什么呢？

乙：

原方程无解。

甲：

啊？

！

为什么会无解呢？

甲：

这我可没注意，检验一下不就知道了。

哟！

当时，原方程有的项的分母为0，

没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦？

乙：

求解过程完全正确，没有任何的差错。

乙：

无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值

相等，如上题中，不论x取何值，都不能使方程①两边的值相等，因此原方程无解，

又如对于方程，不论x取何值也不能使它成立，因此，这个方程也无解。

甲：

那为什么会出现这种情况呢？

甲：

是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？

乙：

不是！

有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看：

甲：

虽然无解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定无解，但我还觉得

无解与增根之间似乎有种微妙的关系，这是怎么一回事？

例2、解方程，

去分母后化为，解得或，此时，是增根，但原方程并不

是无解，而是有一个解，而方程，去分母后化为，原方程虽然无

解，但原方程也没有增根。

乙：

你说的没错，增根与无解都是分式方程的“常客”，它们虽然还没有达到形影不离

的程度，但两者还是常常相伴而行的，在有些分式方程问题中，讨论无解的情形时应

考虑增根，例如：

例4、已知关于x的方程

无解，求m的值

乙：

增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，利用这种关系

可以解决分式方程的有关问题，你看：

例3、已知关于x的方程有增根，求k的值。

首先把原方程去分母，化为。

③

因为原方程的最简公分母是，所以方程的增根可能是或若增根为，代入方程③，得，；若增根为，代入方程③，得，。

故当或时，原方程会有增根。

先把原方程化为。

④

1）若方程④无解，则原方程也无解，方程④化为，当，而

时，方程④无解，此时

2）若方程④有解，而这个解又恰好是原方程的增根，这时原方程也无解，所以，当

方程④的解为时原方程无解，代入方程④，得，故

综合

（1）、

（2），当或时，原方程无解。

妙用分式方程的增根解题

在解分式方程的过程中，我们还可以利用增根来求分式方程中的待定字母的值.请

看下面几例.

例1若关于x的方程ax110有增根，则a的值为.

x1

析解：

去分母并整理，得ax1x1，因为原方程有增根，增根只能是x1，将x1代入去分母后的整式方程，得a1.

例2若关于x的方程x2m2无解，则m的值是.

x3x3析解：

去分母并整理，得xm40.

解之，得x4m.

因为原方程无解，所以x4m为方程的增根.又由于原方程的增根为x3.所以

4m3，m1.

例3.已知方程12＋2＝k有增根，则k＝.

4x2x2

析解：

把原方程化成整式方程，得

2

12（4x2）k（x2）.因为原方程有增根，所以增根只能是x2或x2.

1将x2代入12（4x2）k（x2），得k；

4

1将x2代入12（4x2）k（x2），无解.故应填－.

4

练一练：

1.如果分式方程xm无解，则m的值为（）.

x1x1

（A）1（B）0（C）－1（D）－2

2.如果方程x2kx2有增根x1，则k＝.

x211x

答案：

1.C；2.1；

分式方程的增根及其应用

解分式方程时，有时会产生增根，这是因为我们把分式方程转化为整式方程过程中，无形中取掉了原分式方程中分母不为零的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围，于是就产生了如下两种情况：

（1）如果整式方程的根都在分式方程未知数的取值范围内，那么整式方程的根就是分式方程的根；

（2）如果整式方程的有些根不在分式方程未知数的取值范围内，那么这种根就不是分式方程的根，是分式方程的增根．因此，解分式方程时，验根是必不可少的步骤．

二、利用增根解题不可否认，增根的出现给我们的解题带来了一定的麻烦，然而任何事物都有其两面性，由增根的原因知道，分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同时还能使其最简公分母的值为零，据此可以解决一些相关的问题，常见的类型有如下几种：

1．已知方程有增根，确定字母系数值

例1：

若方程x2m有增根，则m的值为（）

x3x3

A．－3B．3C．0D．以上都不对

析解：

把分式方程两边同乘以公分母x－3，得整式方程x－2（x－3）=m．若原方程有增根，必须使公分母x－3等于0，即x=3，代入整式方程得3=6－m，解得m=3．故应选B．

点评：

方程有增根，一定是公分母等于0的未知数的值．解这类题的一般步骤①把分式方程化成的整式方程；②令公分母为0，求出x的值；③再把x的值代入整式方程，求出字母系数的值．

2．已知方程无解，确定字母系数值

例2：

若方程32x2mx1无解，则m的值为（）

x33x

3

A．－1B．3C．－1或3D．－1或

5

分析：

把分式方程化为整式方程，若整式方程无解，则分式方程一定无解；若整

解：

去分母，得（3－2x）－（2+mx）=3－x,整理,得（m+1）x=－2．若m+1=0，则m=－

2231，此时方程无解；若m+1≠0，则x=2是增根．因为2=3，所以m=3．所

m1m15

3

以m的值为－1或，故应选D．

5

点评：

方程无解的条件，关键是看转化后的整式方程解的情况．既要考虑整式方程无解的条件，又要考虑整式方程有解，但它是分式方程增根的可能性，考虑问题要全面、周到．

3．已知方程无增根，确定字母系数值

例3：

若解关于x的方程x2k

x1x21

C．不为±

析解：

去分母，把分式方程化为整式方程，x（x+1）－k=x（x－1），解关于k的方程,得k=2x.由题意,分式方程无增根，则公分母x2－1≠0，即x≠±1,则k≠±2．故应选

C．

点评：

方程无增根，就意味着对应的整式方程的根使分式方程的公分母不等于0，

利用这一点可以确定字母系数值或取值范围．

妙用分式方程的增根求参数值解分式方程时，常通过适当变形化去分母，转化为整式方程来解，若整式方程的根使分式方程中的至少一个分母为零，则是增根，应舍去，由此定义可知：

增根有两个性质：

（1）增根是去分母后所得整式方程的根；

（2）增根是使原分式方程分母为零的未知数的值，灵活运用这两个性质，可简捷地确定分式方程中的参数（字母）值，请看下面例示：

一、分式方程有增根，求参数值

2

x4xa

例1a为何值时，关于x的方程x3=0有增根？

分析：

先将原分式方程转化为整式方程，然后运用增根的两个性质将增根代入整式方程可求a的值

解：

原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得

x2-4x+a=0（※）

因为分式方程有增根，增根为x=3，把x=3代入（※）得，9-12+a=0a=3

x24xa

所以a=3时，x3=0有增根。

点评：

运用增根的性质将所求问题转化为求值问题，简捷地确定出分式方程中的参数（字母）值

1m2m2

例2m为何值时，关于x的方程x1+x2=x23x2有增根。

分析：

原分式方程有增根，应是使分母为0的x值。

将这样的x值代入去分母的整式方程可求出m的值。

解：

原方程两边同乘以（x-1）（x-2）去分母整理，得

（1+m）x=3m+4（※）

因为分式方程有增根，据性质

（2）知：

增根为x=1或x=2。

把x=1代入（※），解得3

m=-2；把x=2代入（※）得m=-2

3

所以m=-2或-2时，原分式方程有增根

k2

点评：

分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实），如方程x1+1=（x1）（x2）有

28增根，可求得k=-3，但分式方程这时有一实根x=3。

二、分式方程是无实数解，求参数值

x2m

例3若关于x的方程x5=x5+2无实数根，求m的值。

分析：

因原方程无实数根，将原方程去分母得到整式方程解出的x值为原方程的增根，又x=5是原方程的增根，故可求出m的值解：

去分母，得x-2=m+2x-10，x=-m+8因为原方程无解，所以x=-m+8为原方程的增根。

又由于原方程的增根为x=5，所以-m+8=5所以m=3

点评：

这类型题可通过列增根等于增根的方程求出参数值。

分式方程的非常规解法

抓特点选方法有些分式方程利用一般方法解非常麻烦，若能根据题目的特点，采用一些特殊的方法，就可避免不必要的麻烦，巧妙地求得方程的解，获得意外的惊喜，现结合几道习

、分组化简法

例1．解方程：

1111

x2x3x4x5

分析：

本题的最小公分母为（x2）（x3）（x4）（x5），若采用一般解法，就会出现

例3．解方程：

3xx121

x13x2

分析：

因本题中3x与x1，2与1分别互为倒数，符合方程x1a1的特点，

x13x2xa故可将该方程转化为这种方程的形式求解．

高次项数，计算相当繁琐，而且也极易出错，我们注意到

111

x2x3（x2）（x3）

解：

原方程变形为

3xx1x13x

1x11

21，设则x1=1，此时原方程变形为：

23xy

1

x4x5（x4）（x5）

，在此基础上再通过比较上面两式即可将本题求解．

解：

原方程化为：

（x12

x13）（x

x3x

1）0，∴上式可变为：

x5

（x2）（x3）（x4）（x5）

0．即（x2）（x3）

（x4）（x5）

∴（x2）（x3）（x4）（x5），解这个整式方程得：

x3.5，当x3.5时，该

分式方程中各分式的分母的值均不为0，所以x3.5为原方程的解．

、拆项变形法

例2．解方程23－1=21

x23x2x2x2x

分析：

本题求解时应首先将题目中的第

4

x22x

1，3，4个分式的分母因式分解，再将这

y121，∴y2或y1．即3x2或3x1，解得：

x12，x21．经

y22x1x12125

11

检验得：

x12，x21都是原方程的解．∴原方程的解为x12，x21．

55

与分式方程根有关的问题分类举例与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。

1.已知分式方程有增根，求字母系数的值

解答此类问题必须明确增根的意义：

（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。

（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。

利用

（1）可以确定出分式方程的增根，利用

（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。

例1.（2000年潜江市）

几个分式分解成两个分式差的形式，目的是通过整理将其化繁为简，使方程变得简捷

易解．

解：

原方程变形为：

（33）

x2x1

化简后整理得：

34，∴3（x1）

xx1

的各分式的分母均不为0，

11122

x2（x1x）（x2x

4x，解得：

x3，当x3时，分式方程中

2x42a

使关于x的方程a22x42a产生增根的a的值是（）x22x

A.2B.－2C.2D.与a无关

解：

去分母并整理，得：

a22x401

三、利用特殊分式方程

11

分式方程x1a1

xa

故x

3是原方程的解．

1

的解为x1

1

1求解．

a

1

a，x21，若一个方程等号两边的项分别互为倒a

因为原方程的增根为x=2，把x=2代入<1>，得a2=4所以a2故应选C。

例2.（1997年山东省）

2xm1x1

若解分式方程2xm21x1产生增根，则m的值是（）

x1xxx

A.－1或－2B.－1或2

C.1或2D.1或－2

解：

去分母并整理，得：

2

x22x2m01

又原方程的增根是x=0或x1，把x=0或x=－1分别代入＜1＞式，得：

m=2或m=1

故应选C。

例3.（2001年重庆市）

ax1

若关于x的方程ax110有增根，则a的值为。

x1

解：

原方程可化为：

a1x201又原方程的增根是x1，把x1代入＜1＞，得：

a1

故应填“1”。

例4.（2001年鄂州市）

xk

关于x的方程x2k会产生增根，求k的值x3x3

评注：

由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：

（1）将所给方程化为整式方程；

（2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）

（3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。

2.已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围

例6.（2002年荆门市）

当k的值为（填出一个值即可）时，方程xk22x只有一个实数

x1xx根。

解：

原方程可化为：

x22xk01要原方程只有一个实数根，有下面两种情况：

（1）当方程＜1＞有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由44k0

得k=－1。

当k=－1时，方程＜1＞的根为x1x21，符合题意。

（2）方程＜1＞有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，所以由

44k0，得k＞－1。

又原方程的增根为x=0或x=1，把x=0或x=1分别代入＜1＞得k=0，或k=3，均符合题意。

综上所述：

可填“－1、0、3”中的任何一个即可

例7.（2002年孝感市）

2xm1

21

xxxx1

当m为何值时，关于x的方程

无实根？

解：

原方程可化为：

x2x3k1又原方程的增根为x=3，把x=3代入＜1＞，得：

k=3

解：

原方程可化为：

2

x1k5x1k1x1把x=1代入＜1＞，得k=3

所以当k=3时，解已知方程只有增根x=1

解：

原方程可化为：

2x2x2m01

要原方程无实根，有下面两种情况：

（1）方程＜1＞无实数根，由1242m0，得m7

（2）方程＜1＞的实数解均为原方程的增根时，原方程无实根，而原方程的增根为x=0或x=1，把x=0或x=1分别代入＜1＞得m=2。

综上所述：

当m7或当m=2时，所给方程无实数解。

例8.（2003年南昌市）

要原方程有实数根，只要方程＜1＞有实数根且至少有一个根不是原方程的增根即可。

（1）当m=0时，有x=1，显然x=1是原方程的增根，所以m=0应舍去。

xa

例9.已知关于x的方程xxa21的根大于0，求a的取值范围

解：

原方程可化为：

2x2a

2）当m0时，由

14m0，得m

又原方程的增根为x=0或x=1，当x=0时，方程＜1＞不成立；当

x1，m0

综上所述：

当

且m0时，所给方程有实数根。

所以x12

评注：

由以上三例可知，由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基本思路是：

（1）将所给方程化为整式方程；

（2）根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。

3.已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围

2

x1x22x2ax

x2x1x2x1

解：

原方程可化为：

2x2ax30

又原方程的增根为x=2或x1，把x=2或x1分别代入＜1＞得：

xk

例10.已知关于x的方程xk2的根小于0，求k的取值范围

x2

解：

原方程可化为：

xk2x4

所以xk4

由题意，得：

k40

所以k4评注：

解答此类题的基本思路是：

（1）求出已知方程的根；

（2）由已知建立关于字母系数的不等式，求出字母系数的取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。

说明：

注意例9与例10的区别，例9有1a2，而例10无k42这一不等

式？

请读者思考。

同时满足两个条件：

（1）是由分式方程转化成整式方程的的根。

（2）使最简公分母为零。

在解分式方程时，由于可能出现增根，因此我们在解分式方程时要验根，这是增根的基本用途。

在近几年中考中出现了一类关于分式方程增根灵活运用的题。

下面我们来看两种类型的应用：

（一）由增根求参数的值

这类题的解题思路为：

1将原方程化为整式方程（两边同乘以最简公分母）；

2确定增根（题目已知或使分母为零的未知数的值）；

3将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值。

例：

（2005扬州中考题）

若方程6

m=1有增根，

则它的增根是（

）

（x1）（x

1）

x1

A、0B、1

C

、-1D、

1或-1

分析：

使方程的最简公分母（x+1）（x-1）=0则x=-1或x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零,还必须是所化整式方程的根。

原方程易化成整式方程：

6-m（x+1）=x2-1整理得：

③根据根的情况，确定参数的取值范围。

（注意要排除增根时参数的值）例：

关于x的方程x-2=m有一个正数解，求m的取值范围。

x3x3

分析：

把m看成常数求解，由方程的解是正数，确定m的取值范围，但不能忽略产生增根时m的值。

原方程易化为整式方程：

x-2（x-3）=m

整理得：

x=6-m

∵原方程有解，故6-m不是增根。

∴6-m≠3即m≠3

∵x>0

∴m<6由此可得答案为m的取值范围是m<6且m≠3。

综上所述关于增根的问题，一定要弄清楚增根的定义，及增根必须满足的条件，和解这类题的思路，相信同学们就不会觉得困难了。

2

m（x+1）=7-x2当x=-1时,此时m无解；当x=1时,解得m=3。

由此可得答案为B。

二）由分式方程根的情况，求参数的取值范围这类题的解题思路为

①将原方程化为整式方程。

②把参数看成常数求解。