第五讲运动的基本概念运动的合成与分解.docx

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第五讲运动的基本概念运动的合成与分解

第五讲：

运动的基本概念、运动的合成与分解

5、如图所示，有一河面宽L=1km，河水由北向南流动，流速v=2m/s，一人相对于河水以u=1m/s的速率将船从西岸划向东岸。

（1）若船头与正北方向成α=30°角，船到达对岸要用多少时间？

到达对岸时，船在下游何处？

（2）若要使船到达对岸的时间最短，船头应与岸成多大的角度？

最短时间等于多少？

到达对岸时，船在下游何处？

（3）若要使船相对于岸划行的路程最短，船头应与岸成多大的角度？

到达对岸时，船在下游何处？

要用多少时间？

（1）船头与正北方向成15°角，船到对岸花多少时间？

何处？

（2）要求时间最短，船头与河岸应多少度？

最短时间多少？

到岸时，处于何处？

已知水流速度　V＝2m/s，船在静水中的速度是　V`＝1.5m/s，河宽　S＝1千米＝1000米

（1）当船头与正北方向成15°角时，把静水中的航速V`正交分解在平行河岸与垂直河岸方向，

垂直河岸方向的速度分量是　V`1＝V`*sin15°＝1.5*sin15°＝1.5*根号[（1－cos30°）/2]＝0.388m/s

平行河岸方向的速度分量是　V`2＝V`*cos15°＝1.5*cos15°＝1.5*根号[（1＋cos30°）/2]＝1.45m/s

船过河所用时间是　t1＝S/V`1＝1000/0.388＝2575.8秒＝42.93分钟

在沿河岸方向的总速度是　V岸＝V－V`2＝2－1.45＝0.55m/s

在这段时间内，船向下游运动距离是L1＝V岸*t1＝0.55*2575.8＝1416.7米＝1.42千米

即船到达对岸的位置是在出发点的下游1.42千米远的对岸处。

（2）要求时间最短，船头的指向必须与河对岸垂直，即船头与河岸应90度。

最短时间是　t短＝S/V`＝1000/1.5＝666.67秒＝11.11分钟

在这段时间内，船向下游运动的距离是　L＝V*t短＝2*666.67＝1333.33米＝1.33千米

即船到达对岸的位置是在出发点的下游1.33千米远的对岸处。

【例题1】如图所示，两个边长相同的正方形线框相互叠放，且沿对角线方向，A有向左的速度v，B有向右的速度2v，求交点P的速度。

【例题2】一人以7m/s的速度向北奔跑时，感觉风从正西北方向吹来，当他转弯向东以1m/s的速度行走时，感觉风从正西南方向吹来，求风速。

以自学伽利略变换系，很简单的，主要因为这些都是向量运算，高中阶段可能不好理解，我以坐标系的坐标式表示第一次人的速度（0,7），风相对人的速度为（b,-b）推得风速为（b,7-b）第二次人的速度为（1,0）

风相对人的速度为（a,a）推得人的速度为（1+a,a）解方程组就行了，可得（4,3）风速大小就是5了，方向为arctan（3/4）

【例题3】一人站在到离平直公路距离为d=50m的B处，公路上有一汽车以v1=10m/s的速度行驶，如图所示。

当汽车在与人相距L=200m的A处时，人立即以v2=3m/s的速率奔跑。

为了使人跑到公路上时，能与车相遇。

问：

（1）人奔跑的方向与AB连线的夹角θ为多少？

（2）经多长时间人赶上汽车？

（3）若其它条件不变，人在原处开始匀速奔跑时要与车相遇，最小速度为多少？

如图所示，一个人站在距离平直公路h=50m远的B处，公路上有一辆汽车以v1=10m/s的速度行驶．当汽车与人相距L=200m的A处时，为了使人跑到公路上时能与车相遇，人的速度至少为多大？

此时人应该沿哪个方向运动？

用α表示人看到汽车的视线与人跑动的方向之间的夹角，θ表示视线与公路间的夹角．

  设人从B处跑到公路上的D处与汽车相遇，所用的时间为t，

对△ABD有：

AD=v1t，BD=v2t，AB=L，∠ABD=α，sinθ=

h

L

据正弦定理列式可得：

AD

sinα

=BD

sinθ

，

     即

v1t

sinα

=

v2t

sinθ

，

   v2=

sinθ

sinα

v1=

hv1

Lsinα

要使人的速度最小，sinα应该最大，即α=90°，

    v2=

hv1

L

=

50×10

200

=2.5m/s．

人应该沿垂直AB方向运动．

答：

人的速度至少为2.5m/s，人应该沿垂直AB方向运动．

【练习】1、一艘船在河中逆流而上，突然一只救生圈掉入水中顺流而下。

经过t0时间后，船员发现救生圈掉了，立即掉转船头去寻找丢失的救生圈。

问船掉头后要多长时间才能追上救生圈？

某传在静水中的速度为54KM\H，现在流速为5M\S的河水中逆流而上，在A处船尾的救生圈掉入水中，半小时被船员发现并立即掉头追赶，问追上时的地方离A处有多远？

以河水为参照物，救生圈掉入水中半小时后被发现开始掉头追赶，由于船与河水的相对速度一定，所以掉头追赶的时间等于发现救生圈掉落掉头时的时间等于半小时。

这样，从救生圈从A处掉落到船掉头追上累计用时：

0.5+0.5=1小时

1小时的时间救生圈随河水漂流的距离=v河水*t=5*3600=18000米=18km

答：

追上时的地方离A处18km

2、平面上有两直线夹角为θ（θ<90°），若它们各以垂直于自身大小为v1和v2的速度在该平面上作如图所示的匀速运动，试求交点相对于纸面的速率和相对于每一直线的速率。

第二题：

经过时间t以后，交点的竖直位移是v2t，水平位移是v2t/tanα+v1t/sinα。

合位移是s=t√（v2）^2+（v2/tanα+v1/sinα）^2。

下面算根号里边的部分：

（v2）^2+（v2/tanα）^2=（v2/sinα）^2，

所以根号里边的部分等于（v1/sinα）^2+（v2/sinα）^2+[2v1v2cosα/（sinα）^2]，

所以交点速度v=s/t=√（v1/sinα）^2+（v2/sinα）^2+[2v1v2cosα/（sinα）^2]。

先算相对于L2的速度：

因为L2是水平的，交点的水平位移是v2t/tanα+v1t/sinα，

所以v2’=v1/sinα+v2/tanα=（v1+v2cosα）/sinα，根据对称性，交换一下v1和v2，

就是v1‘=v1/tanα+v2/sinα=（v1cosα+v2）/sinα。

3、如图所示，一辆汽车以速度v1在雨中行驶，雨滴落下的速率v2与竖直方向偏前θ角，求车后一捆行李不会被雨淋湿的条件。

1．

如图，一辆汽车以速度v1在雨中行驶。

已知雨滴落下的速度v2与竖直方向偏前θ角。

求车后的一行李不被淋湿的条件。

4、如图所示，AA1和BB1是两根光滑的细直杆，并排固定于天花板上，绳的一端拴在B点，另一端拴在套于AA1杆中的珠子D上，另有一珠子C穿过绳及杆BB1以速度v1匀速下落，而珠子D以一定速度沿杆上升，当图中角度为α时，珠子D上升的速度v2是多大？

纸上

5、有A、B两艘船在大海中航行，A船航向正东，船速15km/h，B船航向正北，船速20km/h。

A船正午通过某一灯塔，B船下午两点也通过同一灯塔。

问：

什么时候A、B两船相距最近？

最近距离是多少？

设灯塔点为O，由斜边大于直角边可得，在12：

00前，AB40的。

设当A经过灯塔h小时候，AB相隔最近，S=15h*15h+（20*2-20*h）*（20*2-20*h）的平方根。

现在就是求S的最小值了。

最后解的h=1.28小时，S=24。

也就是当A进过灯塔1.28小时候，即在13时16分48秒时，AB相隔最近，相隔24千米。

没有画图软件，就不给出图形了，自己画一个就可以了

6、一个半径为R的半圆柱体沿体沿水平方向向右做匀加速运动，在半圆柱体上搁置一竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动（沿图所示），当半圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体接触点P与柱心连线（竖直方向）的夹角为θ，求此时竖直杆的速度和加速度。

设竖直杆运动的速度为V1，方向竖直向上，由于弹力方向沿OP方向，所以V0、V1在OP方向的投影相等，解得V1=V0.tgθ.

7、在宽度为d的街上，有一连串汽车以速度u鱼贯驶过，已知汽车的宽度为b，相邻两车间的间距为a。

如图所示，一行人想用尽可能小的速度沿一直线穿过此街，试求此人过街所需的时间。

走一个斜线，假设穿过车队时间为t，平行街道与车同向的速度为v1，垂直车道方向v2.

则（u-v1）t=a.同时v2*t=b。

则v1=u-（a/b）*v2

合速度v=根号下v1平方+v2平方，将上式带进去得到v与v2的表达式

对v2求导，导数等于0时v2=abu/（a^2+b^2），则v1=b^2*u/（a^2+b^2）。

可得合速度v=bu/根号（a^2+b^2）。

方向是与街道夹角为A，tanA=v2/v1=a/b.

8、一架飞机以相对于空气为v的速率从A向正北方向飞向B，A与B相距为L。

假定空气相对于地速率为u，且方向偏离南北方向有一角度θ，求飞机在A、B间往返一次所需时间为多少？

并就所得结果，对u和θ进行讨论。

A-B对地速度：

v+ucosθ∴tº=L/（v+ucosθ）

同样B-At¹=L/（v-ucosθ）∴t=tº+t¹=2Lv/（v²-u²cos²θ）

若u>v且θ=0t<0既不能返回

若u=v且

θ=0t=∞既不能返回

若u0返回时间=2Lv/（v²-u²cos²θ）

若θ=90ºt=2L/v-------（和无风一样）

若θ为任意角需讨论v<=>vcosθ三种情况

第七讲：

匀变速直线运动

【知识要点】

速度公式：

①

位移公式：

②

推论公式：

③

平均速度：

④

上述各式，要注意用正、负号表示矢量的方向。

一般情况下规定初速度

方向为正方向，a、vt、s等矢量与正方向相同则为正，与正方向相反则为负。

利用匀变速直线运动规律求解运动学问题，在熟悉题意的基础上，首先要分清物体的运动过程及各过程的运动性质，要注意每一个过程加速度必须恒定。

找出各过程的共同点及两过程转折点的速度、再根据已知量和待求量选择合适的规律、公式求解，尽管公式都是现成的，但选择最简单的公式却有很多技巧，解题中要注意一题多解，举一反三，以达到熟练运用运动学规律的目的。

【例题1】一小球自屋檐自由下落，在△t=0.2s内通过窗口，窗高h=2m，g=10m/s2，不计空气阻力，求窗顶到屋檐的距离。

【例题2】一气球从地面以10m/s的速度匀速竖直上升，4s末一小石块从气球上吊篮的底部自由落下，不计空气阻力，取g=10m/s2，求石块离开气球后在空气中运行的平均速度和平均速率。

【例题3】一物体由静止开始以加速度a1匀加速运动，经过一段时间后加速度突然反向，且大小变为a2，经过相同时间恰好回到出发点，速度大小为5m/s，求物体加速度改变时速度的大小和

的值

【例题4】一架直升飞机，从地面匀加速飞行到高H的天空，若加速度a与每秒钟耗油量的关系式为Y=ka+β（k>0，β>0），求飞机上升到H高空的最小耗油量Q和所对应的加速度。

【练习】1、一物体做匀加速度直线运动，在某时刻的前t1（s）内的位移大小为s1（m），在此时刻的后t2（s）内的位移大小为s2（m），求物体加速度的大小。

2、一皮球自h高处自由落下，落地后立即又竖直跳起，若每次跳起的速度是落地速度的一半，皮球从开始下落到最后停止运动，行驶的路程和运动的时间各是多少？

（不计空气阻力，不计与地面碰撞的时间）

3、一固定的直线轨道上A、B两点相距L，将L分成n等分，令质点从A点出发由静止开始以恒定的加速度a向B点运动，当质点到达每一等分段时它的加速度增加

，试求质点到达B点时的速度vB

4、如图所示，在倾角为θ的光滑斜面顶端有一质点A自静止开始自由下滑，与此同时在斜面底部有一质点B自静止开始以加速度a背向斜面在光滑的水平面上向左运动。

设A下滑到斜面底部能沿光滑的小弯曲部分平稳地向B追去，为使A不能追上

B，试求a的取值范围。

5、地面上一点有物体甲，在甲的正上方距地面H高处有物体乙，在从静止开始释放乙的同时，给甲一个初速度竖直上抛，问

（1）为使甲在上升阶段与乙相遇，初速度v0为多大？

（2）为使甲在下落阶段与乙相遇，初速度v0又为多大？

第八讲：

抛物的运动

【知识要点】

抛物运动——物体在地面附近不大的范围内仅在重力作用下的运动。

平抛运动——物体水平抛出后的运动。

斜抛运动——物体斜向上或斜向下抛出后的运动。

平抛和斜抛运动的物体只受恒定的重力作用，故物体作匀变速曲线运动，其加速度为重力加速度g。

抛体运动的求解必须将运动进行分解，一般情况下是分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的竖直上抛运动，则有：

在水平方向

，

在竖直方向

，

上式中，当θ=0°时，物体的运动为平抛运动。

求解抛物运动，还可以采用其它的分解方法，比如将斜抛运动分解为初速度方向的匀速运动和竖直方向上的自由落体运动。

抛物运动是一般匀变速曲线运动的一个特例，其求解方法也是求解一般匀变速曲线运动的基本方法。

尽管物体速度方向是在不断变化的，但其速度变化的方向只能在合力即重力的方向上，因此其速度变化的方向总是竖直向下的。

抛物运动的共同特点是加速度相同，因此，当研究多个抛体的运动规律时，以自由落体为参照物，则各物体的运动均为匀速直线运动，这种选择参照物的方法，能大大简化各物体运动学量之间的联系，使许多看似复杂的问题简单、直观。

【例题1】如图所示，A、B两球之间用长L=6m的柔软细绳相连，将两绳相隔t0=0.8s先后从同一地点抛出，初速均为v0=4.5m/s，求A球抛出多长时间后，连线被拉直，在这段时间内A球离抛出点的水平距离多大？

（g=10m/s2）

【例题2】在与水平成θ角的斜坡上的A点，以初速度v0水平抛出一物体，物体落在同一坡上的B点，如图所示，不计空气阻力，求：

（1）物体的飞行时间及A、B间距离；

（2）抛出后经多长时间物体离开斜面的距离最大，最大距离多大？

【例题3】如图所示，树上有一只小猴子，远处一个猎人持枪瞄准猴子，当猎枪击发时猴子看到枪口的火光后立即落下，不考虑空气阻力，已知猴子开始离枪口的水平距离为s，竖直高度为h，试求当子弹初速度满足什么条件时，子弹总能击中猴子。

【练习】1、飞机以恒定的速度沿水平方向飞行，距地面高度为H。

在飞行过程中释放一个炸弹，经过时间t，飞行员听到炸弹着地后的爆炸声。

设炸弹着地即刻爆炸，声速为v0，不计空气阻力，求飞机的飞行速度v。

2、如图所示，在离竖直墙壁30m的地面，向墙壁抛出一个皮球，皮球在高10m处刚好与墙壁垂直碰撞，反弹后落到离墙20m的地面，取g=10m/s2，求皮球斜抛初速度和落回地面时的速度。

3、某同学在平抛运动实验中，得出如图所示轨迹，并量出轨迹上a、b两点到实验开始前所画竖直线的距离

，

，以及ab间竖直高度h，求平抛小球的初速度。

4、地面上的水龙头按如图所示的方式向上喷水，所有水珠喷出的初速度v0的大小相同，但喷射角在0°到90°范围内不等。

若喷出后水束的最高位置距地面5m，试求水束落地时的圆半径。

5、从高H的一点O先后平抛两个小球1和2，球1直接恰好越过竖直挡板A落到水平地面上的B点，球2与地面碰撞一次后，也恰好越过竖直挡板并落在B点，如图所示。

设球2与地面碰撞遵循的规律类似反射定律，且反弹速度大小与碰撞前相同，求竖直挡板的高度h。

6、如图所示，排球场总长为18m，设球网高2m，运动员站在离网3m的线上（如图中虚线所示）正对网前跳起将球水平击出，球飞行中阻力不计，取g=10m/s2。

（1）设击球点在3m线正上方且高度为2.5m，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？

（2）若击球点在3m线正上方的高度小于某个值，那么无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度。

7、在掷铅球时，铅球出手时离地面高度为h，若出手时速度为v0，求以何角度掷铅球时，铅球水平射程最远，最远射程多少？

第九讲：

牛顿运动定律（动力学）

【知识要点】

1、牛顿运动定律的内容：

牛顿第一定律：

内容（略）；它反映了物体不受力时的运动状态：

静止或匀速直线运动

质量是惯性大小的唯一量度。

牛顿第二定律：

内容（略）；数学表达式：

F合=ma。

适用范围：

惯性系。

三性：

矢量性；瞬时性；独立性。

牛顿第三定律：

内容（略）；表达式：

；适用于惯性系，也适用于非惯性系。

牛顿运动定律只适用于宏观、低速的机械运动。

2、物体初始条件对物体运动情况的影响

在受力相同的情况下，物体的初始条件不同，物体的运动情况也不同。

如抛体运动，均只受重力作用，但初速度方向不同，运动情况就不同（平抛、斜抛、竖直上抛）；受力情况只决定物体的加速度。

物体的运动情况必须将物体的受力情况和初速度结合一起加以考虑。

3、联接体

联接体是指在某一种力的作用下一起运动的两个或两个以上的物体。

解题中要根据它们的运动情况来找出它们的加速度的关系，寻找的方法一般有两种，一种方法是从相对运动的角度通过寻找各物体运动的制约条件，从而找出各物体运动的相对加速度间的关系；另一种方法是通过分析极短时间内的位移关系，利用做匀变速运动的物体在相同时间内位移正比于加速度这个结论，找到物体运动的加速度之间的关系。

【解题思路与技巧】

牛顿运动定律建立了物体的受力和物体运动的加速度之间的关系。

因此，应用时分析物体的受力情况和运动情况尤为重要。

同时，要注重矢量的合成和分解。

相对运动等知识的灵活运用，从而找出各物体的受力与它的加速度之间的关系。

【例题1】如图所示，竖直光滑杆上有一个小球和两根弹簧，两弹簧的一端各与小球相连，另一端分别用销钉M、N固定于杆，小球处于静止状态，设拔去销钉M瞬间，小球加速度大小为12m/s2。

若不拔去销钉M而拔去销钉N瞬间，小球的加速度可能是（取g=10m/s2）

A、22m/s2，竖直向上B、22m/s2，竖直向下

C、2m/s2，竖直向上D、2m/s2，竖直向下

【例题2】如图所示，质量为M=10kg的木楔ABC静止于粗糙的水平地面上，动摩擦因数μ=0.02。

在木楔的倾角θ为30°的斜面上，有一质量m=1.0kg的物块由静止开始沿斜面下滑。

当滑行路程s=1.4m时，其速度v=1.4m/s。

在此过程中木楔没有动。

求地面对木楔的摩擦力的大小和方向。

（g=10m/s2）

【例题3】如图所示，质量均为m的两物块A、B叠放水平桌面上，B与桌面之间的动摩擦因数为μ1，一根轻绳绕过一动滑轮和两个定滑轮水平拉动A、B。

动滑轮下面挂一个质量为2m，的物体C，滑轮的质量和摩擦都可忽略。

（1）如果A、B之间的摩擦力足以保证它们不发生相对滑动，那么它们之间的摩擦力为多在？

（2）如果A、B之间的动摩擦因数为μ2，且μ2无法维持A、B相对静止，那A、B的加速度各为多大？

【例题4】如图所示，两斜面重合的木楔ABC和ADC的质量均为M，AD、BC两面成水平，E为质量等于m的小滑块，楔块的倾角为α，各接触面之间的摩擦均不计，系统放在水平台角上从静止开始释放，求两斜面未分离前小滑块E的加速度。

【练习】

1、如图所示，一轻绳两端各系重物m1和m2，挂在车厢内的定滑轮上，滑轮摩擦不计，m2＞m1，m2静止在车厢地板上，当车厢以加速度a向右作匀加速运动时，m2仍在原处不动。

求此时m2对地板的压力为多大？

这时m2与地板间的动摩擦因数至少为多大才能维持这种状态？

2、如图所示，尖劈A的质量为mA，一面靠在光滑的竖直墙上，另一面与质量为mB的光滑棱柱B接触，B可沿光滑水平面C滑动，求A、B的加速度aA和aB的大小及A对B的压力。

3、如图所示，A、B的质量分别为m1=1kg，m2=2kg，A与小车壁的静摩擦因数μ=0.5，B与小车间的摩擦不计，要使B与小车相对静止，小车的加速度应为多大？

4、如图所示，A、B两个楔子的质量都是8.0kg，C物体的质量为384kg，C和A、B的接触面与水平的夹角均为45°。

水平推力F=2920N，所有摩擦均忽略不计。

求：

（1）A和C的加速度。

（2）B对C的作用力的大小和方向。

5、如图所示，质量为M的光滑圆形滑块平放在桌面上，一细轻绳跨过此滑块后，两端各挂一个物体，物体质量分别为m1和m2，绳子跨过桌边竖直向下，所有摩擦均不计，求滑块的加速度。

第十讲：

力和直线运动

【知识要点】

1、直线运动的特点：

物体的s、v、a、

在同一直线上，当

与V同向时，V逐渐增大，物体做加速运动；当

与V反向时，V逐渐减小，物体做减速运动。

2、恒力与直线运动：

（1）单个物体牛顿第二定律的分量式：

（2）物体系牛顿第二定律的分量式：

3、变力与直线运动：

（1）分段运动：

在实际问题中，有时由于制约物体运动的条件发生变化而导致物体在不同阶段的受力情况不同，这时我们可以将物体的运动分为几个阶段，虽然在物体运动的整个过程中受力的情况发生变化，但每一阶段的运动中物体却是受到恒力的作用，是做匀变速运动。

（2）变力作用下物体的运动情况分析：

将弹簧与物体相连时，在物体运动过程中，弹簧的弹力大小往往发生变化，这时我们要结合物体的受力及其速度来分析物体的运动情况，尤其要抓住合外力、速度的最小和最大的状态，及合外力、速度即将反向的状态进行分析。

（例题2）

（3）特殊变力作用下的直线运动：

中学阶段主要研究的特殊变力有：

与时间成正比的变力；与位移成正比的变力。

4、临界状态分析法：

如果问题中涉及到临界状态，分析时要抓住物体运动状态变化的临界点，分析在临界点的规律和满足的条件。

一般来说，当物体处于临界状态时，往往具有双重特征。

如在某两个物体即将分离的临界状态，一方面相互作用的弹力为零（分离的特征），另一方面又具有相同的加速度（没有分离的特征）。

（练习2）

【解题思路和技巧】

物体做直线运动时，其速度、加速度、位移及物体所受到的合外力都在同一直线上。

竞赛中经常出现物体运动过程中受力的变化，这时要抓住物体受力变化的特点，从而分析出物体运动情况的变化。

同时，注重数学归纳法、数列等数学知识在物理解题中的应用。

【例题1】水平传送带长度为20m，以2m/s的速度作匀速运动，已知某物体与传送带间动摩擦因数为0.1，如图所示，求物体轻轻放到传送带一端开始到达另一端所需的时间（取g=10m/s2）

【例题2】如图所示，质量可以不计的弹簧，平行于水平面，左端固定，右端自由；物块停放在弹簧右端的位置O（接触但不相挤压）。

现用水平力把物块从位置O推到位置A，然后由静止释放，物块滑到位置B静止。

下列说法中正确的有（）

A、物块由A到B，速度先增大后减小，通过位置O的瞬时速度最大，加速度为零

B、物块由A到B，速度先增大后减小，通过A、O之间某个位置时速度最大，加速度为零

C、物块通过位置O以后作匀减速直线运动

D、物块通过A、O之间某个位置时，速度最大，随后作匀减速直线运动

【例题3】如图所示，A、B两木块质量分别为mA和mB紧挨着并排放在水平桌面上，A、B间的接触面是光滑的，且与水平面成θ角。

A、B和水平桌面之间的静摩擦因数和动摩擦因数均为μ。

开始时A、B均静止，现施一水平推力F作用于A，要使A、B向右加速运动且A、B之间不发生相对滑动，则

（1）μ的