九年级数学一元二次方程培优训练试题.docx
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九年级数学一元二次方程培优训练试题
九年级数学一元二次方程培优训练试题
一.选择题
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A.x﹣4=2xB.x2+x﹣5=0C.x2﹣4y+2=0D.
﹣x+2=0
2.已知4是关于x的方程x2﹣5mx+12m=0的一个根,且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则△ABC的周长为( )
A.14B.16C.12或14D.14或16
3.已知x=a是方程x2﹣3x﹣5=0的根,则代数式4﹣2a2+6a的值为( )
A.6B.9C.14D.﹣6
4.若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根,则m+n的值为()
A.1B.2C.-1D.-2
5.若2﹣
是方程x2﹣4x+c=0的一个根,则c的值是( )
A.1B.3-
C.1+
D.2+
6.已知2是关于x的方程x2﹣(5+m)x+5m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长,则△ABC的周长为( )
A.9B.12C.9或12D.6或12或15
7.若关于x的一元二次方程(k+2)x2﹣3x+1=0有实数根,则k的取值范围是( )
A.k<
且k≠﹣2B.k≤
C.k≤
且k≠﹣2D.k≥
8.直角三角形两条直角边的和为7,面积为6,则斜边为().
A.
B.5C.
D.7
9.三角形两边长分别是8和6,第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0一个实数根,则该三角形的面积是( )
A.24B.48C.24或8
D.8
10.已知:
x1,x2是方程x2﹣2x﹣5=0的两根,则2x12+x22﹣2x1=( )
A.16B.17C.18D.19
11.设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根,则m2+3m+n=( )
A.﹣5B.9C.5D.7
二.填空题
12.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共要比赛90场.设共有x个队参加比赛,则依题意可列方程为_____.
三.解答题
13.已知:
关于x的一元二次方程mx2﹣(2m﹣2)x+m=0有实根.
(1)求m的取值范围;
(2)若原方程两个实数根为x1,x2,是否存在实数m,使得
=1?
请说明理由.
14.某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现采用提高售出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件,问他将售出价定为多少元时,才能使每天所赚的利润最大?
并求出最大利润.
15.列一元二次方程解应用题
某公司今年1月份的纯利润是20万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的纯利润是22.05万元.假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同.
(1)求每个月增长的利润率;
(2)请你预测4月份该公司的纯利润是多少?
16.关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根
.
(1)求实数k的取值范围.
(2)若方程两实根
满足|x1|+|x2|=x1·x2,求k的值.
17.已知关于x的一元二次方程x2+(m﹣3)x﹣3m=0
(1)求证:
该方程有两个实数根;
(2)若该方程的两个实数根x1、x2满足x12+x22=25,求m的值.
18.十一黄金周期间,海洋中学决定组织部分优秀老师去北京旅游,天马旅行社推出如下收费标准:
(1)学校规定,人均旅游费高于700元,但又想低于1000元,那么该校所派人数应在什么范围内;
(2)已知学校已付旅游费27000元,问该校安排了多少名老师去北京旅游?
19.近年来,随着城市居民入住率的增加,污水处理问题成为城市的难题.某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水,减少污水排放,规定:
居民用水量每月不超过a吨时,只需交纳10元水费,如果超过a吨,除按10元收费外,超过部分,另按每吨5a元收取水费(水费+污水处理费).
(1)某市区居民2018年3月份用水量为8吨,超过规定水量,用a的代数式表示该用户应交水费多少元;
(2)下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况;
月份
用水量(吨)
交水费总金额(元)
4
7
70
5
5
40
根据上表数据,求规定用水量a的值.
(3)结合当地水资源状况,谈谈如何开展水资源环境保护?
如何节约用水?
20.如图所示,在长为32m、宽20m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,横向与纵向互相垂直),把耕地分成大小不等的六块作试验田,要使试验田面积为570m2,问道路应多宽?
21.在2017年“双十一”期间,某快递公司计划租用甲、乙两种车辆快递货物,从货物量来计算:
若租用两种车辆合运,10天可以完成任务;若单独租用乙种车辆,完成任务的天数是单独租用甲种车辆完成任务天数的2倍.
(1)求甲、乙两种车辆单独完成任务分别需要多少天?
(2)已知两车合运共需租金65000元,甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元,试问:
租甲和乙两种车辆、单独租甲种车辆、单独租乙种车辆这三种租车方案中,哪一种租金最少?
请说明理由.
22.甲乙两人同时同地沿同一路线开始攀登一座600米高的山,甲的攀登速度是乙的1.2倍,他比乙早20分钟到达顶峰.甲乙两人的攀登速度各是多少?
如果山高为
米,甲的攀登速度是乙的
倍,并比乙早
分钟到达顶峰,则两人的攀登速度各是多少?
23.为了“绿色出行”,王经理上班出行由自驾车改为乘坐地铁出行,已知他家距上班地点21千米,他用地铁方式平均每小时出行的路程,比用自驾车平均每小时行驶的路程的2倍还多5千米,他从家出发到达上班地点,地铁出行所用时间是自驾车方式所用时间的
,求王经理地铁出行方式上班的平均速度.
24.如图,在Rt△ABC中,AC=8cm,BC=6cm,P点在BC上,从B点到C点运动(不包括C点),点P运动的速度为1cm/s;Q点在AC上从C点运动到A点(不包括A点),速度为2cm/s,若点P、Q分别从B、C同时运动,且运动时间记为t秒,请解答下面的问题,并写出探索的主要过程.
(1)当t为何值时,P、Q两点的距离为4
cm?
(2)请用配方法说明,点P运动多少时间时,四边形BPQA的面积最小?
最小面积是多少?
一元二次方程综合训练试题
一.选择题
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A.x﹣4=2xB.x2+x﹣5=0C.x2﹣4y+2=0D.
﹣x+2=0
【答案】B
【解析】
【分析】
逐一分析各个选项,找出符合一元二次方程定义的即可得到答案.
【详解】A.整理后得:
x+4=0,是一元一次方程,A项不是一元二次方程,
B.符合一元二次方程的定义,有一个未知数,且未知数的最高次数为2,B项是一元二次方程,
C.有两个未知数,未知数的最高次数为2,是二元二次方程,C项不是一元二次方程,
D.分母含有未知数,属于分式方程,D项不是一元二次方程,
故选:
B.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键.
2.已知4是关于x的方程x2﹣5mx+12m=0的一个根,且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则△ABC的周长为( )
A.14B.16C.12或14D.14或16
【答案】D
【解析】
【分析】
先把x=4代入方程x2-5mx+12m=0得m=2,则方程为x2-10x+24=0,利用因式分解法解方程得到x1=4,x2=6,再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长,然后计算对应的三角形周长.
【详解】把x=4代入方程x2-5mx+12m=0得16-20m+12m=0,解得m=2,
则方程为x2-10x+24=0,
(x-4)(x-6)=0,
所以x1=4,x2=6,
因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,
所以这个等腰三角形三边分别为4、4、6;4、6、6,
所以△ABC的周长为14或16.
故选:
D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
3.已知x=a是方程x2﹣3x﹣5=0的根,则代数式4﹣2a2+6a的值为( )
A.6B.9C.14D.﹣6
【答案】D
【解析】
【分析】
利用一元二次方程解的定义得到a2-3a=5,再把4-2a2+6a变形为4-2(a2-3a),然后利用整体代入的方法计算即可.
【详解】把x=a代入方程x2-3x-5=0得a2-3a-5=0,则a2-3a=5,
所以4-2a2+6a=4-2(a2-3a)=4-2×5=-6.
故选:
D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
4.若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根,则m+n的值为()
A.1B.2C.-1D.-2
【答案】D
【解析】
∵n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根,
代入得:
n2+mn+2n=0,
∵n≠0,
∴方程两边都除以n得:
n+m+2=0,
∴m+n=-2.
故选D.
5.若2﹣
是方程x2﹣4x+c=0的一个根,则c的值是( )
A.1B.3-
C.1+
D.2+
【答案】A
【解析】
【分析】
把2﹣
代入方程x2﹣4x+c=0就得到关于c的方程,就可以解得c的值.
【详解】把2﹣
代入方程x2﹣4x+c=0,得(2﹣
)2﹣4(2﹣
)+c=0,解得:
c=1.
故选A.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.
6.已知2是关于x的方程x2﹣(5+m)x+5m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长,则△ABC的周长为( )
A.9B.12C.9或12D.6或12或15
【答案】B
【解析】
【分析】
先把x=2代入x2−(5+m)x+5m=0中得4−2(5+m)+5m=0,解得m=2,再解方程得到x1=2,x2=5,然后根据三角形三边的关系得到等腰△ABC的腰长为5,底边长为2,再计算三角形的周长.
【详解】把x=2代入方程x2−(5+m)x+5m=0得4−2(5+m)+5m=0,解得m=2,
方程化为x2−7x+10=0,解得x1=2,x2=5,
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长,
所以等腰△ABC的腰长为5,底边长为2,
所以△ABC的周长为5+5+2=12.
故选:
B.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系.
7.若关于x的一元二次方程(k+2)x2﹣3x+1=0有实数根,则k的取值范围是( )
A.k<
且k≠﹣2B.k≤
C.k≤
且k≠﹣2D.k≥
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且△=(-3)2-4(k+2)•1≥0,求出即可.
【详解】∵关于x的一元二次方程(k+2)x2-3x+1=0有实数根,
∴k+2≠0且△=(-3)2-4(k+2)•1≥0,
解得:
k≤
且k≠-2,
故选:
C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式,能得出关于k的不等式是解此题的关键.
8.直角三角形两条直角边的和为7,面积为6,则斜边为().
A.
B.5C.
D.7
【答案】B
【解析】
【分析】
设一条直角边为x,则另一条直角边为7-x,利用三角形面积公式可得:
x(7-x)=6.
【详解】设一条直角边为x,则另一条直角边为7-x,利用三角形面积公式可得:
x(7-x)=6,
解得x=3或4,故该直角三角形两个直角边分别为3和4,
利用勾股定理可得斜边长为:
,
故斜边为5.
【点睛】本题利用三角形面积公式和勾股定理考察了一元二次方程的应用.
9.三角形两边长分别是8和6,第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0一个实数根,则该三角形的面积是( )
A.24B.48C.24或8
D.8
【答案】C
【解析】
试题分析:
由
,得到
,∴
或
.
当
时,该三角形为以6为腰,8为底的等腰三角形.∴高h=
,
∴S△=
;
当
时,该三角形为以6和8为直角边,10为斜边的直角三角形.
∴S△=
.∴S=24或
.
故选:
C.
考点:
1.一元二次方程的应用;2.三角形三边关系;3.等腰三角形的性质.
10.已知:
x1,x2是方程x2﹣2x﹣5=0的两根,则2x12+x22﹣2x1=( )
A.16B.17C.18D.19
【答案】D
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系结合一元二次方程的解可得出:
x12-2x1=5,x1+x2=2,x1x2=-5,将其代入2x12+x22-2x1=(x12-2x1)+(x1+x2)2-2x1x2中即可求出结论.
【详解】∵x1,x2是方程x2-2x-5=0的两根,
∴x12-2x1=5,x1+x2=2,x1x2=-5,
∴2x12+x22-2x1=(x12-2x1)+(x1+x2)2-2x1x2=5+22-2×(-5)=19.
故选:
D.
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解,利用根与系数的关系及一元二次方程的解找出x12-2x1=5,x1+x2=2,x1x2=-5是解题的关键.
11.设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根,则m2+3m+n=( )
A.﹣5B.9C.5D.7
【答案】C
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系可知m+n=-2,又知m是方程的根,所以可得m2+2m-7=0,最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n,最终可得答案.
【详解】∵设m、n是一元二次方程x2+2x−7=0的两个根,
∴m+n=−2,
∵m是原方程的根,
∴m2+2m−7=0,即m2+2m=7,
∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7−2=5,
故答案为:
5.
【点睛】本题考查根与系数的关系,解题的关键是熟练应用韦达定理.
二.填空题
12.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共要比赛90场.设共有x个队参加比赛,则依题意可列方程为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
设有x个队参赛,根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛,共要比赛90场,可列出方程.
【详解】设有x个队参赛,
x(x-1)=90.
故答案是:
x(x-1)=90.
【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程,关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解.
三.解答题
13.已知:
关于x的一元二次方程mx2﹣(2m﹣2)x+m=0有实根.
(1)求m的取值范围;
(2)若原方程两个实数根为x1,x2,是否存在实数m,使得
=1?
请说明理由.
【答案】
(1)m≤
且m≠0;
(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据“关于x的一元二次方程mx2-(2m-2)x+m=0有实根”,判别式△≥0,得到关于m的一元一次方程,解之即可;
(2)根据“
=1”,通过整理变形,根据根与系数的关系,得到关于m的一元二次方程,解之,结合
(1)的结果,即可得到答案.
【详解】:
(1)∵方程mx2-(2m-2)x+m=0是一元二次方程,
∴m≠0,
△=(2m-2)2-4m2
=4m2-8m+4-4m2
=4-8m≥0,
解得:
m≤
,即m的取值范围为:
m≤
且m≠0;
(2)
=
-2=1,
x1+x2=
,x1x2=1,
把x1+x2=
,x1x2=1代入
-2=1得:
=3,
解得:
m=4±2
,
∵m的取值范围为:
m≤
且m≠0,
∴m=4±2
不合题意,
即不存在实数m,使得
=1.
【点睛】本题考查了根与系数的关系,一元二次方程的定义和根的判别式,解题的关键:
(1)根据判别式△≥0,列出关于m的一元一次方程,
(2)正确掌握根与系数的关系,列出一元二次方程.
14.某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现采用提高售出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件,问他将售出价定为多少元时,才能使每天所赚的利润最大?
并求出最大利润.
【答案】他将售出价(x)定为14元时,才能使每天所赚的利润(y)最大,最大利润是360元.
【解析】
试题分析:
日利润=销售量×每件利润.每件利润为x-8元,销售量为100-10(x-10),据此得关系式.
试题解析:
由题意得,
y=(x-8)[100-10(x-10)]=-10(x-14)2+360(10≤a<20),
∵a=-10<0
∴当x=14时,y有最大值360
答:
他将售出价(x)定为14元时,才能使每天所赚的利润(y)最大,最大利润是360元.
考点:
二次函数的应用.
16.关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根
.
(1)求实数k的取值范围.
(2)若方程两实根
满足|x1|+|x2|=x1·x2,求k的值.
【答案】
(1)k﹥
;
(2)k=2.
【解析】
试题分析:
:
(1)根据方程有两个不相等的实数根可得△>0,代入求得k的取值范围即可;
(2)首先判断出两根均小于0,然后去掉绝对值,进而得到2k+1=k2+1,结合k的取值范围解方程即可.
试题解析:
(1)∵原方程有两个不相等的实数根
∴Δ=(2k+1)2-4(k2+1)=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3﹥0
解得:
k﹥
;
∵k﹥
,
∴x1+x2=-(2k+1)<0
又∵x1·x2=k2+1﹥0
∴x1<0,x2<0,
∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-(x1+x2)=2k+1
∵|x1|+|x2|=x1·x2
∴2k+1=k2+1,
∴k1=0,k2=2
又∵k﹥
∴k=2.
考点:
根的判别式;根与系数的关系.
17.已知关于x的一元二次方程x2+(m﹣3)x﹣3m=0
(1)求证:
该方程有两个实数根;
(2)若该方程的两个实数根x1、x2满足x12+x22=25,求m的值.
【答案】
(1)见解析;
(2)m的值为±4.
【解析】
【分析】
(1)利用根的判别式求出关于m的代数式,整理成非负数的形式即可判定b2-4ac≥0;
(2)根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积,然后把x12+x22=25,转换为(x1+x2)2-2x1x2=25,然后利用前面的等式即可得到关于m的方程,解方程即可求出结果.
【详解】
(1)证明:
∵△=b2-4ac
=(m-3)2+12m
=m2+6m+9
=(m+3)2;
又∵(m+3)2≥0,
∴b2-4ac≥0,
∴该方程有两个实数根;
(2)解:
∵x1+x2=3-m,x1•x2=-3m,
x12+x22=25,
(x1+x2)2-2x1x2=25,
(3-m)2-2×(-3m)=25,
9+m2=25,
m2=16,
解得m=±4.
故m的值为±4.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的根与系数的关系:
x1+x2=-
,x1•x2=
.
18.十一黄金周期间,海洋中学决定组织部分优秀老师去北京旅游,天马旅行社推出如下收费标准:
(1)学校规定,人均旅游费高于700元,但又想低于1000元,那么该校所派人数应在什么范围内;
(2)已知学校已付旅游费27000元,问该校安排了多少名老师去北京旅游?
【答案】
(1)25<x<40,
(2)该校安排了30名老师去北京旅游.
【解析】
【分析】
(1)设出该校所派人数为x人,列出不等式,解出x的值;
(2)设该校所派人数为x人,列出关于x的等式,求出值后舍去不符合的值.
【详解】解:
(1)设该校所派人数为x人,
∵人均旅游费低于1000元,
∴x>25,
∵人均旅游费高于700元,
∴1000﹣20(x﹣25)>700,
解得:
x<40,
即x的取值范围为:
25<x<40,
答:
该校所派人数应多于25人,少于40人,
(2)若该校所派人数为25人,
25×1000=25000<27000,
∴安排的老师人数多于25人,
设该校所派人数为x人,
根据题意得:
x[1000﹣20(x﹣25)]=27000,
整理得:
x2﹣75x+1350=0,
解得:
x1=30,x2=45(舍去),
答:
该校安排了30名老师去北京旅游.
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用,解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的应用.
19.近年来,随着城市居民入住率的增加,污水处理问题成为城市的难题.某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水,减少污水排放,规定:
居民用水量每月不超过a吨时,只需交纳10元水费,如果超过a吨,除按10元收费外,超过部分,另按每吨5a元收取水费(水费+污水处理费).
(1)某市区居民2018年3月份用水量为8吨,超过规定水量,用a的代数式表示该用户应交水费多少元;
(2)下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况;
月份
用水量(吨)
交水费总金额(元)
4
7
70
5
5
40
根据上表数据,求规定用水量a的值.
(3)结合当地水资源状况,谈谈如何开展水资源环境保护?
如何节约用水?
【答案】
(1)10+40a-5a2元;
(2)3吨;(3)见解析;
【解析】
【分析】
(1)根据总费用=10+超出费用列出代数式即可;
(2)根据题意分别列出5a(7-a)+10=70,5a(5-a)+10=40,取满足两个方程的a的值即为本题答案;(3)结合当地水资源状况,叙述合理即可;
【详解】
(1)3月份应交水费10+5a(8-a)=10+40a-5a2元;
(2)由题意得:
5a(7-a)+10=70,
解得:
a=3或a=4
5a(5-a)+10=40
解得:
a=3或a=2,
综上,规定用水量为3吨;
(3)既然我们的水资源比较缺乏,就要提高节水技术、防治水污染、植树造林.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是了解本题的水费收取标准.
20.如图所示,在长为32m、宽20m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,横向与纵向互相垂直),把耕地分成大小不等的六块作试验田,要使试验田面积为570m2,问道路应多宽?
【答案】道路为1m宽.
【解析】
试题分析:
本题中,试验地的面积=矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积.如果设道路宽x,可根据此关系列出方程求出x的值,然后将不合题意的舍去即可.
试题解析:
设道路为x米宽,
由题意得:
,整理得:
,解得:
,
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- 九年级 数学 一元 二次方程 训练 试题