行测数量盈亏和牛吃草问题 非常好的思路和解析 附练习题.docx

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行测数量盈亏和牛吃草问题非常好的思路和解析附练习题

【盈亏问题公式】

（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：

（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。

（2）两次都有余（盈），可用公式：

（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。

（3）两次都不够（亏），可用公式：

 （大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。

（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：

亏÷（两次每人分配数的差）=人数。

（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：

盈÷（两次每人分配数的差）=人数。

例1：

一个植树小组去栽树，如果每人栽3棵，还剩下15棵树苗；如果每人栽5棵，就缺少9棵树苗。

求这个小组有多少人？

一共有多少棵树苗？

　　分析：

已知如果每人栽3棵，还剩下15棵树苗，也就是说还有15棵树苗没有栽上，树苗余下了；又知如果每人栽5棵，就缺少9棵树苗，这就是说，树苗不够了。

按照第一种方案去栽，树苗余下了，若按照第二种方案去栽，树苗不足了。

一个是余下一个是不足，这两个方案之间相差多少棵呢？

相差（15＋9=）24棵，也就是说，如果按照第二种方案去栽的话，可以比第一种方案多栽24棵树。

为什么能多栽24棵树呢？

因为每个人多栽（5-3=）2棵。

　　由于每一个人多栽2棵树，一共多栽24棵树，即“2棵树”对应于“1个人”。

这样，小组的人数可以求得。

随之，树苗的棵数也可以求得。

　　计算：

（1）小组的人数：

　　（15＋9）÷（5-3）

　　=24÷2

　　=12（人）

（2）树苗的棵数：

　　3×12+15=51（棵）

　　答：

这个小组有12人，一共有51棵树苗。

　　在解题时，常常要找两个“差”。

一个是总棵数之差，即第一种方案同第二种方案所栽树苗的总差数；另一个是单量之差，即每个人所栽树苗的差。

有了这两个差即可求出结果。

因此，这种解题的思路也可以称作“根据两个差求未知数”。

　　例2：

悦悦每天早晨7点30分从家出发上学去，如果每分钟走45米，则迟到4分钟到校；如果每分钟走75米，则可以提前4分钟到校。

求从家出发需要走多少分钟才能准时到校？

悦悦的家离学校有多少米？

　　分析：

已知如果悦悦每分钟走45米，则迟到4分钟，这就是说，按照规定到校的时刻来说，还距离学校有（45×4=）180米的路；又知如果每分钟走75米，则可以提前4分钟到校，这就是说，到校之后还可以多走出（75×4=）300米的路。

这样，一个慢一个快，在同样时间之内，速度快要比速度慢多走出（180+300=）480米的路。

又知每分钟多走（75-45=）30米。

总之，由于每分钟多走30米，一共多走出480米；因此，从家到学校所需要的时间就可以求出来了，随之，悦悦的家距离学校的米数也可以求出来了。

　　计算：

（1）准时到校需要多少分钟？

　　（45×4+75×4）÷（75-45）

　　=480÷30

　　=16（分钟）

（2）悦悦家与学校距离多少米？

　　45×16+45×4

　　=720+180

　　=900（米）

　　答：

准时到校需要16分钟，悦悦家离学校900米。

　　例3：

晶晶读一本故事书，原计划若干天读完。

如果每天读11页，可以比原计划提前2天读完；如果每天读13页，可以比原计划提前4天读完。

求原计划多少天读完？

这本书共有多少页？

　　分析：

已知如果每天读11页，可以比原计划提前2天读完，这就是说，如果继续读2天的话，还可以多读（11×2=）22页；又知如果每天读13页，可以比原计划提前4天读完，这就是说，如果继续读4天的话，还可以多读（13×4=）52页。

两种情况，虽然都可以多读，但是它们之间有差别。

就是说，在一定的日期之内，第二种方法比第一种方法多读（52-22=）30页。

为什么能多读30页呢？

就是因为每天多读（13-11=）2页。

由于每天多读2页，结果一共可以多读30页。

这是多少天读的呢，问题不就解决了吗！

　　计算：

（1）原计划多少天读完这本书？

　　（13×4-11×2）÷（13-11）

　　=（52-22）÷2

　　=30÷2=15（天）

（2）这本书共有多少页？

　　11×（15-2）

　　=11×13=143（页）

练习题

1、幼儿园把一箱苹果分给一批小朋友，如果每人2个，则多18个，如果每人3个，则少12个。

问幼儿园有多少个小朋友？

一共有多少个苹果？

2、一堆桃子分给一群猴子，如果每只猴子分10个桃子，则有两只猴子没有分到；如果每只猴子分8个桃子，则刚好分完。

求有多少只猴子？

多少个桃子？

3、实验小学学生乘车春游，如果每车坐60人，则有15人上不了车；如果每车坐65人，恰好多出一辆车。

问一共有几辆车？

有多少个学生？

4、学生分练习本，如果每人分4本，则多8本；如果有1人分10本，其余每人分6本，则缺18本。

学生有多少人？

练习本有多少本？

5、小强从家到学校，如果每分走50米，上课就要迟到3分；如果每分走60米，就可以比上课时间提前2分到校。

小强家到学校的路程是多少千米？

6、张华离家到县城去上学，他以每分50米的速度走了2分后，发现按这个速度走下去就要迟到8分。

于是他加快了速度，每分多走10米，结果到校时，离上课还有5分。

张华家到学校的路程是多少？

7、一组学生植树，每人栽6棵还剩4棵；如果其中3人各栽5棵，其余每人各栽7棵，正好栽完。

这一组学生有多少人？

一共栽多少棵？

8、小红的爷爷买回一筐梨，分给全家人。

如果小红和小妹两人每人分4个，其余每人分两个，还多出4个；如果小红一人分6个，其余每人分4个，又差12个。

小红家有多少人？

这筐梨有多少个？

9、学校有一批树苗，交给若干少先队员去栽，一次一次往下分，每次分一棵，最后剩下12棵不够分了；如果再拿来8棵树苗，那么每个少先队员正好栽10棵。

参加栽树的少先队员有多少人？

原有树苗多少棵？

10、有一批正方形的砖，排成一个大正方形，余下32块；如果将它们改排成每边比原来多一块砖的正方形，就要差49块。

这批砖原有多少块？

11、某年级同学春游时租船游湖，若每只船乘10人，还多2个座位；若每只船多坐2人，可少租一条船，这时每人可节省5角钱。

租一只船需要多少钱？

12、小李到市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20千克，则多2元。

已知牛肉比猪肉每千克贵8角。

牛肉、猪肉各多少钱一千克？

13、学校买来一批篮球与排球分给各班，排球是篮球的2倍，若篮球每班分2个，多4个；若排球每班分5个，少2个。

学校有几个班？

篮球与排球各买了几个？

牛吃草

牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我只介绍一些比较浅显的牛吃草问题，给大家开拓一下思维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点

知识要点

一、定义

伟大的科学家牛顿著的《普通算术》一书中有这样一道题：

“12头牛4周吃牧草10/3格尔，同样的牧草，21头牛9周吃10格尔。

问24格尔牧草多少牛吃18周吃完。

”（格尔——牧场面积单位），以后人们称这类问题为“牛顿问题”的牛吃草问题。

这类问题难在哪呢？

大家看看它的特点

二、特点

在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。

难吗？

难什么啊，一点都不难，只要掌握了方法，以后这样的题就都会了，来，看看这例题

典例评析

例1牧场上长满牧草，每天都匀速生长。

这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。

问可供21头牛吃几天？

【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。

解题的关键应找到不变量——即原来的牧草数量。

因为总草量可以分成两部分：

原有的草与新长出的草。

新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。

从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在变化的，但是也有不变的，都是什么不变啊？

草是以匀速生长的，也就是说每天长的草是不变的;，同样，每天牛吃草的量也是不变的，对吧？

这就是我们解题的关键。

这里因为未知数很多，我教大家一种巧妙的设未知数的方法，叫做设“1”法。

我们设牛每天吃草的数量为1份，具体1份是多少我们不知道，也不用管它，设草每天增长的数量是a份，设原来的草的数量为b份，那么我们可以列方程了：

27*6=b+6a；23*9=b+9a

【思考1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？

15天．设1头牛1天吃的草为1份。

则每天新生的草量是（20×10-24×6）÷（10-6）=14份，原来的草量是（24-14）×6=60份。

可供18头牛吃60÷（18-14）=15天

例2因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。

已知牧场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天?

【分析】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量

【思考2】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。

那么，可供11头牛吃几天？

8天，设一头牛一天吃的草量为一份。

牧场每天减少的草量：

（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原来的草量：

（20+4）×5=120份，可供11头牛吃120÷（11+4）=8天。

总结：

想办法从变化中找到不变的量。

牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但是因为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。

正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。

知识衍变

牛吃草基本问题就先介绍到这，希望大家掌握这种方法，以后出现样吃草问题，驴吃草问题也知道怎么做，甚至，以下这些问题都可以应用牛吃草问题解决方法

例3自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走20级台阶，结果小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上。

该扶梯共有多少级台阶？

【分析】在这道题中，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总级数”，“草”变成了“台阶”，“牛”变成了“速度”,所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答。

【思考3】两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。

白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。

黑夜往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的，结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底，另一只恰好用了6个昼夜到达井底。

那么，井深多少米？

大家说这里什么是牛？

什么是草？

都什么是不变的？

15米。

蜗牛每夜下降：

（20×5-15×6）÷（6-5）=10分米

所以井深：

（20+10）×5=150分米=15米

例4一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。

如果用12人舀水，3小时舀完。

如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。

现在要想在2小时舀完，需要多少人？

【分析】典型的“牛吃草”问题，找出“牛”和“草”是解题的关键

【思考4】一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可把水抽干。

那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？

5小时。

设一台抽水机一小时抽水一份。

则每小时涌出的水量是：

（20×10-15×10）÷（20-10）=5份，池内原有的水是：

（10-5）×20=100份.所以,用25部抽水机需要:

100÷（25-5）=5小时

思维拓展

例5有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？

【分析】“牛吃草”问题的特点是随时间的增长，所研究的量也等量地增加。

解答时，要抓住这个关键问题，也就是要求出原来的量和每天增加的量各是多少。

【思考5】一个牧场上的青草每天都匀速生长。

这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，现有一群牛吃了4天后卖掉2头，余下的牛又吃了4天将草吃完。

这群牛原来有多少头？

25头。

设每头牛每天的吃草量为1份。

每天新生的草量为：

（23×9-27×6）÷（20-10）=15份，原有的草量为（27-15）×6=72份。

如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8天内吃草量72+15×8+2×4=200份。

所以这群牛原来有200÷8=25头

例6有三块草地，面积分别为5公顷，6公顷和8公顷。

每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。

第三块草地可供19头牛吃多少天？

【分析】由题目可知，这是三块面积不同的草地，为了解决这个问题，首先要将这三块草地的面积统一起来。

巩固练习

1.一块牧场长满了草，每天均匀生长。

这块牧场的草可供10头牛吃40天，供15头牛吃20天。

可供25头牛吃＿＿天。

                          （  ）

A.10    B.5    C.20

A假设1头牛1天吃草的量为1份。

每天新生的草量为：

（10×40-15×20）÷（40-20）=5（份）。

那么愿草量为：

10×40-40×5=200（份），安排5头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供25头牛吃：

200÷（25-5）=10（天）。

2.一块草地上的草以均匀的速度生长，如果20只羊5天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而14只羊则要10天吃光。

那么想用4天的时间，把这块草地的草吃光，需要＿＿只羊。

                                          （   ）

A.22    B.23    C.24

B假设1只羊1天吃草的量为1份。

每天新生草量是：

（14×10-20×5）÷（10-5）=8（份）原草量是：

20×5-8×5＝60（份）安排8只羊专门吃每天新长出来的草，4天时间吃光这块草地共需羊：

60÷4+8＝23（只）

3．画展9时开门，但早有人来排队等候入场。

从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。

如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队了，那么第一个观众到达的时间是8点＿＿分。

                                     （   ）

A.10     B.12    C.15

C假设每个人口每分钟进入的观众量是1份。

每分钟来的观众人数为（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5（份）

到9时止，已来的观众人数为：

3×9-0.5×9＝22.5（份）

第一个观众来到时比9时提前了：

22.5÷0.5＝45（分）

所以第一个观众到达的时间是9时-45分=8时15分。

4.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。

假设地球新生成的资源增长速度是一样的。

那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活（       ）亿人。

70设1亿人1年所消耗的资源为1份

那么地球上每年新生成的资源量为：

（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）

只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少，才能满足人类不断发展的需要。

所以地球最多只能养活：

70÷1=70（亿人）

5.快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车。

三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米。

快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用（       ）小时。

12自行车的速度是：

（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米/小时）

三车出发时自行车距A地：

（24-14）×6==60（千米）

慢车追上自行车所用的时间为：

60÷（19-14）=12（小时）

6.一水池中原有一些水，装有一根进水管，若干根抽水管。

进水管不断进水，若用24根抽水管抽水，6小时可以把池中的水抽干，那么用16根抽水管，（     ）小时可将可将水池中的水抽干。

18设1根抽水管每小时抽水量为1份。

（1）进水管每小时卸货量是：

（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）

（2）水池中原有的水量为：

21×8-12×8＝72（份）

（3）16根抽水管，要将水池中的水全部抽干需：

72÷（16-12）=18（小时）

7.某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用9辆汽车，12小时可以把它们运完，如果用8辆汽车，16小时可以把它们运完。

如果开始只用3辆汽车，10小时后增加若干辆，再过4小时也能运完，那么后来增加的汽车是（      ）辆。

19设每两汽车每小时运的货物为1份。

（1）进水管每小时的进水量为：

（8×16-9×12）÷（16-12）=5（份）

（2）码头原有货物量是：

9×12-12×5＝48（份）

（3）3辆汽车运10小时后还有货物量是：

48+（5-3）×10=68（份）

（4）后来增加的汽车辆数是：

（68+4×5）÷4-3=19（辆）

8．有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16头牛吃20天，可供80只羊吃12天。

如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？

8天

（1）按牛的吃草量来计算，80只羊相当于80÷4=20（头）牛。

（2）设1头牛1天的吃草量为1份。

（3）先求出这片草地每天新生长的草量：

（16×20-20×12）÷（20-12）=10（份）

（4）再求出草地上原有的草量：

16×20-10×20＝120（份）

（5）最后求出10头牛与60只羊一起吃的天数：

120÷（10+60÷4-10）=8（天）

9.某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加。

为了防洪，需开闸泄洪。

假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10小时水位降到安全线。

现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线，问：

至少要同时打开几个闸门？

4个设1个泄洪闸1小时的泄水量为1份。

（1）水库中每小时增加的上游河水量：

（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）

（2）水库中原有的超过安全线的水量为：

1×30-0.5×30＝15（份）

（3）在5.5小时内共要泄出的水量是：

15+0.5×5.5＝17.75（份）

（4）至少要开的闸门个数为：

17.75÷5.5≈4（个）（采用“进1”法取值）

10.现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的2倍去追乙车，5小时后能追上，如果甲车以现在的速度去追乙车，3小时后能追上。

那么甲车以现在的速度去追，几小时后能追上乙车？

15小时

设甲车现在的速度为每小时行单位“1”，那么乙车的速度为：

（2×5-3×3）÷（5-3）=0.5

乙车原来与甲车的距离为：

2×5-0.5×5＝7.5

所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为：

7.5÷（1-0.5）=15（小时）

练习题

1.牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么，供25头吃几天？

2.牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。

如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？

3.一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可淘完。

如果要求2小时淘完，要安排多少人？

4.有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。

如果需要6天割完，需要派多少人去割草？

5.有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。

这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？

6.一水库存水量一定，河水均匀入库。

5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。

若要6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

7.有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可将草吃完.现有牛若干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问有牛多少头（草每日匀速生长）？

8.一块草地，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。

如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？

9.一片草地，有15头牛吃草，8天可以把草全部吃光。

如果起初这15头牛吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完，如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，则总共（）天可以把草吃完。

假定草生长的速度不变，每头牛每天吃的草量相同。

10.（牛顿的牛吃草问题）有三片牧场，场上的草长的一样密，而且长的一样快。

它们的面积为公亩，10公亩和24公亩。

12头牛4星期吃完第一块牧场原有的和4星期内新长出来的草，21头牛9星期吃完第二块牧场原有的和9星期内新长出来的草。

问多少头牛才能在18星期吃完第三块牧场原有的和新长出来的草？