专升本高数300题一.docx
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专升本高数300题一
考点1.求函数的定义域
4x-1
1、函数f(x)=arccos
3
的定义域为.
]
1
ϑ1]
解:
由
1得4x-13→-2x1.即它的定义域为|⎝-2,1|.
2、函数f(x)=
1
x-3
+
ln(x-1)的定义域是()
A(-1,+)B(1,+)C
(-1,3)υ(3,+)
D(1,3)υ(3,+)
解:
选D.由题意:
x-3σ0,x-1>0,x+1>0,所以得到函数
y=1
x-3
+ln(x-1)
的定义域为(1,3)υ(3,+).
3、设f(x)=
1
1+x
,则fϑ⎝f(x)]]的定义域为
11xσ-11+x
解:
∵fϑ⎝f(x)]]=1+f(x)=
1+1
1+x
=
2+x
∴fϑ⎝f(x)]]定义域为(-,-2)υ(-2,-1)υ(-1,+).
4、f(x)的定义域是[0,1],ϕ(x)=
f(x-4)+f(x+4)的定义域是()
A.[0,1]
B.ϑ-1,1]
C.ϑ1,3]
D.ϑ1]
⎝|44|]
|⎝44|]
|⎝4,1|
]
{1{15
|0x-41
x
44
解:
定义域D:
{
|0x+
⎝
→{
11|-1
4⎝4
x
3→D:
4x4,因此选C.
4
5、如果函数f(lnx)的定义域为[e,+),则函数f(x)的定义域为()
A、[e,+)
B、[1,+)
C、[1,e)
D、(0,e]
解:
由ex<+→1lnx<+,可知定义域为[1,+).选B.
考点2求复合函数或函数或复合函数的外层函数
6、已知f(x)=
x
1+x
,则f[f(x)]=.
x
解:
根据复合函数可知:
f[f(x)]=1+x=x.
1+x
1+x
2x+1
7、设f(x+2)=x2+1,则f(x-1)=
解:
令x+2=t,f(t)=t2-4t+5f(x)=x2-4x+5;
f(x-1)=(x-1)2-4(x-1)+5=x2-6x+10.
8、设y=f(sinx)=cos2x+2,求f(x).
解:
因为f(sinx)=1-sin2x+2=3-sin2x,所以f(x)=3-x2.
9、设函数f(x)=1-2x,g[f(x)]=1-x,则g{1⎞=.
||
2
x⎝⎠
解:
由题意知,g[f(x)]=g(1-2x)=1-x,题目让求
x
x=1,代入g(1-2x)=1-x即可得到结果3.
g
(1)2
,即已知1-2x=,得
2
4x
10、设f(x)=2x+5,则f[f(x)-1]=.
解:
f(x)-1=2x+5-1=2x+4,则f[f(x)-1]=f(2x+4)=2(2x+4)+5=4x+13
考点3函数的奇偶性、有界性等性质的题目
11、函数y=1在定义域内是()
x
A、周期函数B、单调函数C、有界函数D、无界函数
解:
根据函数y=的图像可知是无界函数.选D.
x
12、下列函数时奇函数的是()
A、y=sin2x∙cosxB、y=cos2x∙sinx
2x+2-x
C、y=D、y=x2-x+1
3
解:
A、C是偶函数,B是奇函数,D为非奇非偶.故选B.
13、以下结论中正确的是()
A、函数y=x3+1是奇函数B、函数y=sinx2在定义域内有界C、函数y=-lnx在定义域内是单调增加的D、函数y=tan2x的周期是ν
ν
解:
A选项是非奇非偶的,C在定义域内是单调减少的,D的周期为
2
14、下列函数中,图形关于y轴对称的是()
.故选B.
A、y=xcosx
B、y=x3+x+1
2x-2-x
C、y=D、y=
2
2x+2-x2
15、若f(x)的定义域关于原点对称,则下列函数的图像一定关于y轴对称的是()
A、f(x)
B、f(x)
C、f(x)+f(-x)
D、f(x)-f(-x)
解:
此题实质也是确定函数奇偶性,利用奇偶函数定义只有f(x)+f(-x)一定是偶函数,图像关于y轴对称;f(x)-f(-x)奇函数,图像关于原点对称;另两个无法确定.应选C.
16、若f(x)(xχR)为奇函数,则下列函数一定为偶函数的是
A.f(2x)
B.f(-x+2)
C.f(|x|)
D.2f(x)
解:
由奇偶函数的定义易得f(|x|)是偶函数,f(2x),2f(x)为奇函数,f(-x+2)为非
奇非偶函数,应选C.
考点4无穷小量阶的比较
17、当n→时,sin21与1
为等价无穷小,则k=()
nnk
A1B1C2D2
2
sin211
解:
limn=limn2=1,k=2选C
n→1n→1
nknk
18、当x→0时,ln(1+x2)是比1-cosx的()
A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但不等价无穷小
2
19、当x→0时,与x不等价的无穷小量是()
A、2xB、sinxC、ex-1
解:
根据常用等价关系知,只有2x与x比较不是等价的.故选A.
20、当x→0时,x2-sinx是x的()
D、ln(1+x)
A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但非等价无穷小D、等价无穷小
21、当x→0时,f(x)与1-cosx等价,则lim
f(x)=.
考点5简单函数求极限或极限的反问题
x→0xsinx
22、若lim{1+
n→⎝
5⎞-kn
|
⎠
=e-10,则k=.
lim5(-kn)
解:
左式=en→n
f(2x)
=e-5k
=e-10
x
故k=2.
23、若lim
x→0x
=2,则lim
x→0
f(3x)
=()
A.3B.1
3
2t
C.2D.1
2
解:
lim
x→0
x
f(3x)
3x=2tlim
t→0
3
f(2t)
=2lim
3t→0
1
f(2t)
t
=2∙1=1,∴选B
323
(
24、limn
n→
-n-2)=
解:
原式
有理化
lim
n→
=3.
2
25、已知lim
x→1
x2+ax+61-x
存在,则a=
解:
lim(1-x)=0∴lim(x2+ax+6)=0,1+a+6=0,a=-7
x→1
26、若lim
x2ln(1+x2)
x→1
=0且lim
sinnx
=0,则正整数n=
x→0
sinnx
x→01-cosx
x2ln(1+x2)
x2∙x2
n<4
xnn>2
解:
lim
=lim
0,lim0∴n>2,n<4,
故n=3.
x→0
sinnx
2
x→0xn
x→0x2
2
27、lim(1+x)x=()
x→0
A、1B、eC、2eD、e2
2ϑ1]2
解:
lim(1+x)x=|lim(1+x)x|
=e2.故选D.
x→0
⎝x→0]
考点6函数的连续性问题
{1sinx(x<0)
|
|0(x=0)
28、设fx{
|xsin1+a(x>0)
且limf(x)存在,则a=()
x0
|x
|
⎝
A.1B.0C.1D.2
解:
lim=sinx=1,limϑ{xsin1⎞+a]=o+a∴a=1
选C.
x→0x
x→0
x||
⎝⎝⎠]
{-1
{
29、函数f(x)=|ex-1,xσ1,在点x=1处()
|⎝0,x=1
A、连续B、不连续,但右连续
C、不连续,但左连续D、左右都不连续
解:
f
(1)=0,lime
x→1-
-1
x-1=,lime
x→1+
-1
x-1=0=
f
(1),所有不连续,但是右连续.选B.
{x2-2,x1
30、设f(x)={
在x=1连续,则a=()
A、-2
⎝a,x>1
B、-1
C、1D、2
解:
根据连续的定义有:
a=lim(x2-2)=-1.故选B.
x→1-
{sinν(x-1),x<1
{
31、如果函数f(x)=|
x-1
处处连续,则k=()
|⎝arcsinx+k,x1
22νν
A、-ν
B、νC、2
sinν(x-1)
D、-
2
解:
因为函数处处连续,所以在x=1处也连续,又lim
x→1-
x-1
=ν,
lim(arcsinx+k)=ν+k,从而可知k=ν
.选C.
x→1+
22
{a+bx2,x0
32、f(x)=|
x>0
在x=0处连续,a与b的关系为.
⎝|2x
考点7函数间断点的类型判定
33、x=0是函数f(x)=arctan1的()
x
A、连续点B、可去间断点C、跳跃间断点D、第二类间断点
解:
limarctan1
=ν,limarctan1
ν
=-→C.故选C.
x→0+
x2x→0-x2
34、x=0是f(x)=x2sin1
x2
的()
A、连续点B、跳跃间断点C、可去间断点D、第二类间断点
解:
函数f(x)在x=0处无定义,又limx2sin1
x→0x2
=0,极限存在,故为可取间断点.选C.
{x-2,x0
⎝
35、设f(x)={x+2,x>0,则x=0是f(x)的()
A、连续点B、可去间断点C、无穷间断点D、跳跃间断点
解:
lim(x-2)=-2,lim(x+2)=2,根据间断点的分类,可知x=0是跳跃间断点.选
x→0-
D.
x→0+
{xlnx,x>0
36、设f(x)={
⎝
1,x0
,则x=0是f(x)的()
A、连续点B、可去间断点C、无穷间断点D、跳跃间断点
1
lnx
解:
limxlnxlimlim
x=-limx=0,lim1=1,根据间断点的分类,可知
x→0+
x→0+1
x→0+-1
x→0+
x→0-
xx2
x=0是跳跃间断点.选D.
1
37、x=0是函数f(x)=2x-1的()
A、连续点B、可去间断点C、跳跃间断点D、第二类间断点考点8零点定理确定方程根的存在性
38、方程x3+x-1=0在区间(0,1)内的实根的个数为()
A、0B、1C、2D、3
解:
构造函数f(x)=x3+x-1,
f(0)=-1<0,f
(1)=1>0,根据零点定理知,在(0,1)
内至少有一个实根;又f'(x)=3x2+1>0,即函数f(x)是单调的。
由此可知,已知方程在(0,1)内只有一个实根。
选B.
39、下列方程在区间(0,1)内至少有一个实根的为()
A、x2+1=0B、x-lnx=0
C、x3+5x2-2=0D、x2+1+arctanx=0
解:
构造函数,验证端点函数值是否异号,显然只有f(x)=x3+5x2-2满足零点定理,故选C.
40、不求解方程证明方程(x-2)(x-3)+2(x-1)(x-3)+3(x-1)(x-2)=0恰有两个实根.证明:
构造函数f(x)=(x-2)(x-3)+2(x-1)(x-3)+3(x-1)(x-2),
它在[1,2],[2,3]区间上连续,且f
(1)=2,f
(2)=-2,f(3)=6,
从而有f
(1)f
(2)<0;f
(2)f(3)<0,由零点定理可知f(x)=0在区间(1,2),(2,3)内个至少有一个实根,而f(x)=0是二次多项式方程,最多有两个实根.
故方程f(x)=0恰有两个实根,分别在(1,2),(2,3)内.
41、证明方程设函数f(x),g(x)均在区间[a,b]上连续,且f(b) 存在⋂χ(a,b),使得f(⋂)=g(⋂)+⋂成立。 证明: 构造辅助函数 F(x)= f(x)-g(x)-x,则 F(a)= f(a)-g(a)-a>0,F(b)= f(b)-g(b)-b<0,由零点定理可知至少存在一 点⋂χ(a,b),使得F(⋂)=0,及f(⋂)=g(⋂)+⋂. 42.设函数f(x),g(x)均在区间[a,b]上连续,f(a)=g(b),f(b)=g(a),且 f(a)σ f(b),证明存在存在⋂χ(a,b),使得f(⋂)=g(⋂)成立。 证明: 构造辅助函数F(x)= f(x)-g(x),则F(a)= f(a)-g(a)= f(a)-f(b), F(b)=f(b)-g(b)= f(b)-f(a),又由于f(a)σ f(b),从而F(a)与F(b)一定异号,显然 F(x)在[a,b]上连续的,从而满足中值定理的条件,故存在⋂χ(a,b),使得 f(⋂)=g(⋂). 考点9求复杂函数的极限 43. 求lim 1+tanx-1-tanx x→0 解: lim x→0 =lim ex-1 ex-1 2 =lim x→0 ⨯limtanx=1 2tanx x→0(1+tanx+ 1-tanx) x→0x 44.求lim x→+ xt2et2dt 0. xex2 xt2et2dt 2x22 ⎰0 xex1 解: lim x→+ xex2 ==lim x→+(x+2x2 )ex2 =lim x→+(x +2x2)=2 45. 求lim x→- 解: lim x→- =lim x→- 4x2+x-1+x+1 -x -x =lim x→- =2-1=11 1 46.求limcosx+xsinxx2x→0 1 1ln(cosx+xsinx) → 解: lim(cosx+xsinx)x2 x0 =limeln(cosx+xsinx) x→0 =limex2x→0 x2 ln(cosx+xsinx) lim lim-sinx+sinx+xcosx =ex→0 lim x2 cosx =ex→0 1 2x(cosx+xsinx) =ex→02(cosx+xsinx)=e2 47.设f(x)在x=2处连续,且f (2)=3,求limf(x)ϑ1-4] ϑ14] x→2 x-2 |⎝x-2 f(x) x2-4|] 解: limf(x) - =limf(x) =lim x→2 |⎝x-2 x2-4|]x→2 x2-4 x→2x+2 =1limf(x)=1f (2)=3. ϑ 48求limx-x2 x→ { ln|1 1⎞] x|| 4x→244 ⎝ 解: ϑ2 ⎝⎠] {1⎞] 1=tx ϑ1ln(1+t)] lim|x-x ln|1+x||===lim|t- t2| x→⎝ ⎝⎠] t→0⎝] =limt-ln(1+t)=lim 1 1+t =lim t→0t2 1=1 t→02t t→02(1+t)2 考点10利用导数的定义,求极限或导数 49. 已知函数f(x)可导,且lim x→0 f(1+2x)-f(1-x)2x =-1,则曲线y=f(x)在点(1,f (1)) 处的切线斜率为 2233 A.B.-C.-D. 3322 解: lim f(1+2x)-f(1-x)=3f' (1)=-1,所以 f' (1)=-2,即曲线y=f(x)在点 x→02x23 (1,f (1))处的切线斜率为-2,应选B. 3 50.函数f(x)在点x=x0 处可导,且取得极大值,则lim h→0 3 f(x0)-f(x0+3h)= 2h 3 A.0B.1C.-D. 22 解: 由函数f(x)在点x=x0处可导,且取得极大值得f'(x0)=0,而 limf(x0)-f(x0+3h)=-3f'(x)=0,应选A h→02h20 51.设函数f(x)在点x=1处可导,且lim f(1+2Ox)-f (1)=1,则f' (1)等于 A1B 2 1C-1 44 Ox→0 Ox2 D-1 2 解: 根据导数的定义解题, lim f(1+2Ox)-f (1)=2∙ lim f(1+2Ox)-f (1)=2f' (1)=1 ,所以可知 Ox→0Ox f' (1)=1 4 2Ox→0 2Ox2 52.已知f' (1)=1,则lim Ox→0 f(1-2Ox)- Ox f (1) 等于() (A)1(B)-1(C)2(D)-2 解: 根据导数的定义,lim Ox→0 f(1-2Ox)- Ox f (1) =-2lim Ox→0 f[1+(-2Ox)]- -2Ox f (1) =-2f' (1)=-2,选(D). 53.若lim h→0 f(x0+h)- h f(x0-h) =A,则A=() (A)f'(x0) (B)2f'(x0) 1 (C)0(D) 2 f'(x0) 解: lim f(x0+h)-f(x0-h)=lim f(x0+h)-f(x0-h).2=2f'(x) h→oh h→02h0 考点11简单函数求导数或微分 54.y=ln(lnx),则dy= 解: dy =dln(lnx)= x2 1.1d lnxxx t 55.设f(x)=⎰0 esintdt,则
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