概率论与数理统计公式集锦.docx
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'随机事件与概率
公式名
称
公式表达式
德摩根
公式
AJB=AnB,B=aUB
古典概型
pmA包含的基本事件数
()n基本事件总数
几何概
型
p(a)=SA),其中卩为几何度量(长度、面积、体积)
求逆公
p(A)=1—P(A)
加法公
式
P(AU
B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)=0时,P(AU
B)=P(A)+P(B)
减法公
式
P(A-B)=P(A)-P(AB),bua
时P(A-B)=P(A)-P(B)
条件概率公式与乘法公式
p(BA)=pP篇
P(ABC)=P(A)P(B|A)P(CAB)
全概率
n
P(A)=迟P(Bi)P(A|Bi)
i二
贝叶斯公式(逆概率公式)
P(Bi)P(A|Bi)
P(Bi|A)=!
——
送P(Bi)P(A|Bi)i丄
两个事件
相互独
\立
P(AB)=P(A)P(B);P(B|A)=P(B);P(BA)=P(BA);
1、随机变量及其分布
1、分布函数
「「P(x二Xk)
F(x)=P(X兰x)=/査,P(a x llof(t)dt 2、离散型随机变量及其分布 分布名称 分布律 0-分布 xIb(1,p) k1k P(X=k)=p(1—p)d,k=0,1 二项分布 X「b(n,p) P(X=k)=C;;pk(1—p)n」k=0,1,…,n 泊松分布 xUpg k P(X=k)'eP^0,1,2,|||k! 3、续型随机变量及其分布 分布 名称 密度函数 分布函数 均匀 分布 xLu(a,b) "1 ,aexcb f(x)=彳b—a 、、0,其他 『0,xva F(x)=』x-a,a兰xcb |b-a i1,xZb 分布 名称 密度函数 分布函数 指数 分布 XLe仏) x>0 f(x) Lo,X兰0 宀,XA0 F(x)=J'” l0,x兰0 正态 分布 XLN(岂口2) .(72 f(x)=—^eF>/2兀CT —旳 彳(tJ! )2 1X_r? F(x)=fe乞dt 标准 正态分布 XLN(0,1) 玖xe—P V2n -°o 1x」t2 ①(x)=fe2dt V2n 4、随机变量函数Y=g(X)的分布离散型: P(丫二yi)Pj,i=1,2,l||, g(xj)』 连续型: ①分布函数法,②公式法 fY(y)=fx(h(y))N(y)|(x=h(y)单调) 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量及其分布 分布律: P(X订,丫沙)二Pij,i,j=1,2,川分布函数 F(X,Y)-、、 X\鱼壯空 边缘分布律: Pi.=P(X=x\)=》pijpj=P(Y=yj)=£pij ji 条件分布律: Pi;p.. P(X—xY—yj)—,1—1,2,111,P(Y=yX=x.)=—,j=1,2,111 pi,p: 2、连续型二维随机变量及其分布 1联合分布函数及性质 2边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数: Fx(x)=;」(u,v)dvdu密度函数: fx(x)f(x,v)dv y■: : Fy(y)f(u,v)dudv -bo fY(y)f(u,y)du 3条件概率密度 fx(x) fYx(yx)」f(x;[—: : : y: : : : fxY(xy)= 3、随机变量的独立性 随机变量x、Y相互独立二F(x,y)=Fx(x)FY(y),离散型: Pj二Pi.Pj,连续型: f(x,y)二fx(x)fY(y) 4、二维随机变量和函数的分布 离散型: P(Z二Zk)二、p(x=x,Y=yj) 连续型: Xi->j刍 fz(z)f(x,z-x)dxf(z-y,y)dy 四、随机变量的数字特征 1、数学期望 ①定义: 离散型E(X)八一XkPk,连续型E(X)=[xf(x)dx ②性质: E(C)=C,E[E(X)]=E(X),E(CX)=CE(X),E(X_Y)=E(X)_E(Y) E(aX_b)二aE(X)_b,当X、Y相互独立时: E(XY)二E(X)E(Y) 2、方差 ①定义: 222 D(X)二E[(X-E(X))]=E(X)-E(X) ②性质: 2 D(C)=0,D(aX±b)=aD(X),D(X土Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y) 当X、Y相互独立时: D(XY)二D(X)D(Y) 3、协方差与相关系数 ①协方差: Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),当X、Y相互独立 时: Cov(X,Y)=0 ②相关系数: “Cov(x,Y)当X、丫相互独立时: D(X).D(Y) 叭=o(X,Y不相关) ③协方差和相关系数的性质: Cov(X,X)=D(X), Cov(X,Y)=Cov(Y,X) Cov(XiX2,Y)=Cov(Xi,Y)Cov(X2,Y),Cov(aXc,bYd)二abCov(X,Y) 4、常见随机变量分布的数学期望和方差 分布 数学 期望 方差 0-1分布 b(1,P) p p(1-p) 二项分布 b(n,p) np np(1-p) 泊松分布 P⑺ k 均匀分布 a+b (b-a)? U(a,b) 2 12 正态分布 n(A,ct2) A a2 指数分布 1 丄 二 e(扎) Zj 五、大数定律与中心极限定理 1、切比雪夫不等式 若E(X)」,D(X)二2,对于任意;0有P{X-E(X)一庐警 Z 2、大数定律: ①切比雪夫大数定律: 若XiXn相 互独立, ②伯努利大数定律: 设nA是n次独立试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发 生的概率,则加>o,有: ”氏戸將”十1 ③辛钦大数定律: 若Xi,川,X”独立同分布,且E(Xi)=」, “n 贝ylzXi-p->^ ni吕nT: 3、中心极限定理 1列维一林德伯格中心极限定理: 独立同分布的随机变量Xi(i=i,2,in),均值为」,方差为c2o,当n充分大时有: YnXk-n卩)/Vn口、N(0,1) k士I 2棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理: 随机变量 X~B(n,p),则对任意x有: X-noxi丿 limP{: : x}=e2dt=: : 」(x) ”厂nP(1—P): 2- 3近似计算: P(^nX^bVG(fG『W) 概率论与数理统计公式整理1、总体和样本的分 布函数 设总体xLf(x),则样本的联合分布函数 n F(Xi,X2Xn)二kjF(Xk) 2、统计量 21"21"22 s(Xi_X)(XiJX) n-1i4n-1i4 ,样本k阶原点距: 样本均值: X—,羊本方差: 样本标准差: s= n Ak丄Xjk,k=1,2 nV 样本k阶中心距: Bk(X,_X)k,k=1,2,3山 ni二 3、三大抽样分布 (1)2分布: 设随机变量XiLN(0,1)(i‘2Hl,n)且相互独立,则称统计量2=xfX服从自由度为n的2分布,记为2〜%) 性质: ①E[32(n)]=n,D[E2(n)]=2n②设X〜Hm),Y~32(n)且相互独 立,则X+Y〜32(m+n) ⑵t分布: 设随机变量X~N(0,1),Y~2(n),且X与丫独立,则称统计量: T=6服从自由度为n的t分布,记为T~t(n) x2 '性质: ^DE(T)=O(nAOD((n>2)nmfn(x)=®(x)=^^e2 (3)F分布: 设随机变量X~2(m),Y~2(n),且X与Y独立,则称统计量F(m,n)=X^服从第一自由度为m,第二自由度为门的F分布,记为F~F(m,n),性质: 设 F~F(m,n),贝1F~F(n,m) 七、参数估计 1.参数估计 1定义: 用=(Xl,X2丄,X”)估计总体参数: ,称r(Xi,X2,L,Xn)为r的估计量,相应的: (沟,X? 川,X”)为总体: 的估计值。 2当总体是正态分布时,未知参数的矩估计值= 未知参数的极大似然估计值 2.点估计中的矩估计法: 基本思想: 用样本矩来估计相应的总体矩 求法步骤: 设总体X的分布中包含有未知参数 g,iiz,它的前k阶原点 矩—E(X)(i=1,2』l,k)中包含了未知参数九切||(,和, 即7=gCi,6jl“k)(i"2HI,k);又设人必丄x为总体X的n个样本值,用样本矩代替7,在所建立的方程组中解出的k个未知参数即为参数洽2,川,入的矩估计量肯2,川,耳。 注意: 分布中有几个未知参数,就求到几阶矩。 3■点估计中的极大似然估计设Xi,X2,LXn取自X的样本,设X~f(x门)或X~P(xJ),求 法步骤: ①似然函数: nn l(日)=nf(k,e)(连续型)或L(e)=np(x,)(离散型) i#iT ②取对数: nn lnL(8)=送Inf(xiJ3)或InL(&)=送Inpi(xi3) 6=q(Xi,X2,川,Xn) ③解方程: 詈f,詈=0,解得: <川川 旳已! AA |? k"心人川,Xn) 4.估计量的评价标准 估 计 日 无 偏 性 设&=&X1,X2,L,X")为未知参数e的估计量。 若E($)=,则称斤为®的无偏估计量。 量 的评价标准 有 效 性 设=el(X1,X2丄,Xj和$2=$2(洛公2丄,Xj是 未知参数。 的两个无偏估计量。 右 D($1)cD(«2),则称说比危有效。 致 性 设金是e的一串估计量,如巾>o,有nmP(l°n则称日n为日的致估计量(或相合估计量)。 5.单正态总体参数的置信区间 估 枢 条 置信水平为-的 计 枢轴量 轴 件 置信区间 参 量 数 分 布 已知 CT2 匕/亦 N(0,1) ( 未 知 CT2 t(n_1) 卜汕-嘯讥2空J 已 知 a2 皇土W-打i±lCT丿 门n) 1 "nn 送(Xi—円2送(Xi—円2 i-1i-1 \ 丿 ■^(n)'%a(n) 未 知 CT2 2 沖丄n—1)S 扎: 一2 CJ #(n-1) f\ (n—1)S2(n—1)S2 J^(nj)‘A&(nj), 八、假 设检 验 1. 假 设 检 验 的 基 本 概念 基本思想 假设检验的统计思想是小概率原理。 小概率事件的概率就是显著性水平 a,常取a=0.05,0.01或0.10。 ①提出原假设H0: ②选择检验统计 量g(X,L,Xn);③对于a查表找分位数入 基 使P(g(X」X严W)",从而定出拒绝域 本 W; 步 ④由样本观测值计算统计量实测值 骤 g(x,川,x”);并作出判断: 当实测值落入 W时拒绝H0,否则认为接受H0。 两类错误 第 类 错 误 当Ho为真时,而样本值却落入了拒绝域,应当否定Ho。 这时,我们把客观上Ho成立判为Ho为不成立(即否定了真实的假设),称这种错误为“弃真错误”或第一类错误,记为犯此类错误的概率,即: P{拒绝Ho|Ho为真}=a; 第 类 错 误 当Hi为真时,而样本值却落入了接受域,应接受Ho。 这时,我们把客观上Ho不成立判为Ho成立(即接受了不真实的假设),称这种错误为"取伪错误”或第二类错误,记戶为犯此类错误的概率,即: P{接受Ho|Hi为真}=P。 两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。 但是,当容量n—定时,a变小,贝胖变大;相反地,B变小,则a变大。 取定a要想使P变小,则必须增加样本容量。 2.单正态总体均值和方差的假设检验 条 件 原假设 检验统 计量 统计 量 分布 拒绝域 已 H。 「% 丨牛乡2 Ho Z亦 N(0,1) Zf 知。 2 Ho z£_z« 未 Ho TX_巴 t(n1) t(n—1) 72 Ho 4护0 Shfn 2如(n-1) 知b2 Ho: 4 tv—0(n—1) z2ax2z八 'V人*(n-1) 未 H。 / 2=CJ 厂(n-1) 或 V2(n-1)S 知H £=2— Co ^>4(n「) /2 ■■2 一2 72n.y2z八 Ho: CT 3o 上>za(n-1) HoP2 、2 > 工yn—1) 已 ..2 2 n)或 HoP = /2 -z2-/2“、 L>za(n) 知H /2 ・・2 一2 ■y2-T2z、 Ho: CT "o 上aQn) V/YLJ\2 _L(Xi一丹 ( F亠 & 1-(n) 少 Ho: / 、2"o 厂<£(n) 见)
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