初三数学总复习资料.docx
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初三数学总复习资料
《数与式》
考点1有理数、实数的概念
【知识要点】
1、实数的分类:
有理数,无理数。
2、如图1,数轴上的点M所表示的数的相反数为
M
-10123
图1
3、(1-m)2+|n+2|=0,则m+n的值为
2、实数和数轴上的点是对应的,每一个实数都可以用数轴上的来表示,反过来,数轴上的点都表示一个。
3、叫做无理数。
一般说来,凡开方开不尽的数是无理数,但要注意,
4、已知|x|=4,|y|=
1
,且xy<0,则x
2y
的值等于
用根号形式表示的数并不都是无理数(如
4
),也不是所有的无理数都可以写成根号的形
5、实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图2所示,下列式子中正确的有()
式(如π)。
【典型考题】
①b+c>0
②a+b>a+c
cba
∙∙∙
-2-10123
③bc>ac④ab>ac
1、把下列各数填入相应的集合内:
图2
A.1个B.2个C.3个D.4个
-7.5,
15,4,
2,
8
13
3
38,π,
0.25,
0.15
6、①数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是数轴上表示1和-3的两点之间的距离是
。
②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是,如果|AB|=2,那么x=
有理数集{},无理数集{}
2
327
正实数集{}
【复习指导】
2、在实数-4,
3,0,
2
-1,
64,
127
中,共有个无理数
1、若a,b互为相反数,则a+b=0;反之也成立。
若a,b互为倒数,则ab=1;反之也成立。
2、关于绝对值的化简
3、在
3,-3.14,-2,sin45︒,
3
4中,无理数的个数是
(1)
绝对值的化简,应先判断绝对值符号内的数或式的值是正、负或0,然后再根据定义把绝对值符号去掉。
2
4、写出一个无理数,使它与
【复习指导】
的积是有理数
(2)
已知|x|=a(a≥0),求x时,要注意x=±a
考点3平方根与算术平方根
解这类问题的关键是对有理数和无理数意义的理解。
无理数与有理数的根本区别在于能否用既约分数来表示。
考点2数轴、倒数、相反数、绝对值
【知识要点】
1、若a≠0,则它的相反数是,它的倒数是。
0的相反数是。
a
2、一个正实数的绝对值是;一个负实数的绝对值是;0的绝对值
【知识要点】
1、若x2=a(a≥0),则x叫a做的,记作;正数a的叫做算术平方根,0的算术平方根是。
当a≥0时,a的算术平方根记作。
2、非负数是指,常见的非负数有
(1)绝对值|a|0;
(2)实数的平方a20;
⎧(x≥0)
⎩
是。
|x|=⎨(x<0)
(3)算术平方根
0(a≥0)。
3、一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与的距离。
【典型考题】
3、如果a,b,c是实数,且满足|a|+b2+
【典型考题】
=0,则有a=,b=,c=
c
1、的倒数是-11;0.28的相反数是。
1、下列说法中,正确的是()
3
7
2A.3的平方根是
B.7的算术平方根是
C.
-15
-2
-15的平方根是±D.-2的算术平方根是
2、9的算术平方根是
2、今年我市二月份某一天的最低温度为-5︒C,最高气温为13︒C,那么这一天的最高气温比最低气温高
3、如图1,是一个简单的数值运算程序,当输入x的值为-1时,则输出的数值为
3-8
输入x
⨯(-3)
-2
输出
3、等于
y-3
4、|x-2|+
=0,则xy=
4、计算
考点4近似数和科学计数法
【知识要点】
1、精确位:
四舍五入到哪一位。
2、有效数字:
从左起到最后的所有数字。
3、科学计数法:
正数:
(1)(-2)2+1(2004-
2
3)0-|-1|
2
【典型考题】
负数:
(2)(1+
2)0+
(1)
2
-1+2⋅cos30︒
1、据生物学统计,一个健康的成年女子体内每毫升血液中红细胞的数量约为420万个,用科学计算法可以表示为
2、由四舍五入得到的近似数0.5600的有效数字的个数是,精确度是
3、用小数表示:
7⨯10-5=考点5实数大小的比较
【知识要点】
1、正数>0>负数;
2、两个负数绝对值大的反而小;
3、在数轴上,右边的数总大于左边的数;
4、作差法:
若a-b=0,则a=b;若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a 【典型考题】 2 1、比较大小: |-3|π;1-0。 考点7乘法公式与整式的运算 【知识要点】 1、判别同类项的标准,一是;二是。 2、幂的运算法则: (以下的m,n是正整数) (1)am⋅an=; (2)(am)n=;(3)(ab)n=;(4)am÷an=(a≠0); (5)(b)n= a 3、乘法公式: (1)(a+b)(a-b)=; (2)(a+b)2=;(3)(a-b)2= 4、去括号、添括号的法则是 【典型考题】 1、下列计算正确的是() 5 2、应用计算器比较311与的大小是 A. x2+x3=x5 B. x2⋅x3=x6 C.(-x3)2=x6 D. x6÷x3=x2 3、比较-1,-1,-1的大小关系: 234 2、下列不是同类项的是() A.-2与1B.2m与2nC.-1a2b与a2bD-x2y2与1x2y2 4、已知0 242 x 考点6实数的运算 【知识要点】 3、计算: (2a+1)2-(2a+1)(2a-1) 1、当a≠0时,a0=;a-n=(n是正整数)。 A.1B.aC.1D6 4、计算: (-2x2y2)2÷(-x2y4) a 5、计算: 1 1-x 32π +11+x 考点8因式分解 【知识要点】 因式分解的方法: 1、提公因式: 2、公式法: a2-b2=;a2+2ab+b2= 6、计算: a2 a-1 -a-1 a2-2ab+b2= 【典型考题】 考点10二次根式 【知识要点】 1、分解因式mn+mn2=,a2+4ab+4b2= 1、二次根式: 如 a(a≥0) 2、分解因式x2-1= 考点9: 分式 【知识要点】 1、分式的判别: (1)分子分母都是整式, (2)分母含有字母; 2、分式的基本性质: b=b⋅m=b÷m(m≠0) 2、二次根式的主要性质: (1)(a)2=(a≥0) (2) ⎧(a>0) a2 ⎨ =|a|=⎪(a=0) ⎩ ⎪(a<0) aa⋅ma÷m (3)=(a≥0,b≥0) (4) =(a≥0,b>0) ab 3、分式的值为0的条件: 4、分式有意义的条件: 5、最简分式的判定: b a 3、二次根式的乘除法 a b a 6、分式的运算: 通分,约分 【典型考题】 ⋅=(a≥0,b≥0)=(a≥0,b>0) b 1、当x x-2 时,分式有意义 x+5 x2-4 4、分母有理化: 5、最简二次根式: 6、同类二次根式: 化简到最简二次根式后,根号内的数或式子相同的二次根式 2、当x时,分式 x-2 的值为零 7、二次根式有意义,根号内的式子必须大于或等于零 【典型考题】 12 3x 2x3 5 3 3、下列分式是最简分式的是()1、下列各式是最简二次根式的是() 2a2+a A. ab B. 6xy 3a x2-1 C.x+1 x2+1 Dx+1 A.B.C.D. 4、下列各式是分式的是() 2、下列根式与 8 是同类二次根式的是() 2 3 5 6 A.B.C.D. 无理数集{ 15, π} 8 13 8 13 3、二次根式 有意义,则x的取值范围 正实数集{ 15,4, 3x-4 2, 38,π, 0.25, 0.15} 6 2 3 4、若3x=,则x= 3 2、2 2 3 5、计算: 3+ -2-3 3、2 2 4、答案不唯一。 如() a2 6、计算: 5 -4a2(a≥0) 考点2数轴、倒数、相反数、绝对值 1、-2,-0.28 3 2、-2.5 3、-1 4、-8 5、C 6、3,4;|x+1|,-3或1 20-1 5 7、计算: 8、数a、b在数轴上的位置如图所示,化简: (a+1)2 (b-1)2 (a-b)2 +-. 考点3平方根与算术平方根 1、B 2、3 3、-2 4、6 考点4近似数和科学计数法 1、4.2⨯106个 2、4,万分位 3、0.00007 考点5实数大小的比较 1、<,< 5 311 2、> 3、-1<-1<-1 (第8题) 数与式考点分析及复习研究(答案) 考点1有理数、实数的概念 234 4、1 x 考点6实数的运算 1、有理数集{- 7.5,4, 2,3 3 8,0.25,0.15} 1、18︒C 2、1 3、 (1)解: 原式=4+1-1 (2)解: 原式=1+2+2⋅3=2 222 (1-x)(1+x) 3 =4=3+ 考点7乘法公式与整式的运算 1、C a2 6、a-1 -a-1 a2 2、B 3、(2a+1)2-(2a+1)(2a-1) 解: 原式= a-1 a2 -(a+1) (a+1)(a-1) 解: 原式=(2a+1)(2a+1-(2a-1)) =- a-1 a-1 =(2a+1)(2a+1-2a+1) =2(2a+1) a2-(a2-1) = a-1 =4a+2 =1 a-1 4、(-2x2y2)2÷(-x2y4) 解: 原式=4x4y4÷(-x2y4) =-4x2 2 3 2 3 考点8因式分解 考点10二次根式 1、B 2、A 3、x≥4 3 2 4、 1、mn(1+n),(a+2b)2 5、3+ -2-3 2、(x+1)(x-1) 考点9: 分式 1、x≠-5 2、x=-2 解: 原式=3-2+-3 2 2 3 3 2 3 =-2 3、D 6、5-4a2(a≥0) a2 4、A 5、1+1 解: 原式=5a-2a 20-1 5 =3a 1-x 1+x 1+x 1-x 7、= -1=2- 4 5 55 解: 原式= = (1-x)(1+x)+ 1+x+1-x (1+x)(1-x) (a+1)2 (b-1)2 (a-b)2 8、+- (1-x)(1+x) 解: a<-1,b>1,b>a (第8题) ∴a+1<0,b-1>0,a-b<0 原式=-(a+1)+(b-1)+(a-b) 求根公式ax2+bx+c 例题: =0(a ≠0) x=-b± b2-4ac 2a (b2- 4ac ≥0) =-a-1+b-1+a-b =-2 方程与不等式 ①、解下列方程: (1)x2-2x=0; (2)45-x2=0; (3)(1-3x)2=1;(4)(2x+3)2-25=0. (5)(t-2)(t+1)=0;(6)x2+8x-2=0 (7)2x2-6x-3=0;(8)3(x-5)2=2(5-x) 一、方程与方程组 二、不等式与不等式组 知识结构及内容: 1几个概念 2一元一次方程 (一)方程与方程组3一元二次方程 4方程组 5分式方程 6应用 1、概念: 方程、方程的解、解方程、方程组、方程组的解 2、一元一次方程: 解方程的步骤: 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一(未知项系数不能为零) 例题: .解方程: 解: ②填空: (1)x2+6x+()=(x+)2; (1) 解: x-1+x=1 33 (2) x+2- 3 x-12 =2-x (2)x2-8x+()=(x-)2; (3)x2+3x+()=(x+)2 2 (3)判别式△=b²-4ac的三种情况与根的关系 (3)【05湘潭】关于x的方程mx+4=3x+5的解是x=1,则m=。 解: 3、一元二次方程: (1)一般形式: ax2+bx+c=0(a≠0) (2)解法: 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 当∆>0时有两个不相等的实数根, 当∆=0时有两个相等的实数根 当∆<0时没有实数根。 当△≥0时有两个实数根 例题.①.(无锡市)若关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根,则k满足() A.k>1B.k≥1C.k=1D.k<1 ②(常州市)关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k-1=0根的情况是() (A)有两个不相等实数根(B)有两个相等实数根 (C)没有实数根(D)根的情况无法判定 ③.(浙江富阳市)已知方程关系式是() x2+2px+q=0 有两个不相等的实数根,则 p、q 满足的 x+y=9 【05宁德】解方程组: 3(x+y)+2x=33 解 A、p2-4q>0 B、p2-q>0 C、p2-4q≥0 D、p2-q≥0 (4)根与系数的关系: x1+x2=-b,x1x2=c aa 115、分式方程: x x 例题: (浙江富阳市)已知方程3x2+2x-11=0的两根分别为x、x,则 + 的值是 分式方程的解法步骤: 12 12 (1)一般方法: 选择最简公分母、去分母、解整式方程,检验 () (2)换元法 A、2 11 B、11 2 C、-2D、-11 112 例题: ①、解方程: 4 x2-4 +1= 1 x-2 的解为 x2-4 x2+5x+6 =0根为 4、方程组: 加减消元加减消元 三元一次方程组−代−入−消元−→二元一次方程组−−代入−消元−→一元一次方程 ②、【北京市海淀区 】当使用换元法解方程( x x+1 )2-2( x x+1 )-3=0时,若设y= x x+1, 二元(三元)一次方程组的解法: 代入消元、加减消元 ⎨2x-y=8. 例题: 【05泸州】解方程组⎧x+y=7, ⎩ 则原方程可变形为() A.y2+2y+3=0B.y2-2y+3=0 C.y2+2y-3=0D.y2-2y-3=0 解 ⎧x-2y=0 (3)、用换元法解方程x2-3x+ 3 x2-3x =4时,设y=x2-3x,则原方程可化为() ⎨ 【05南京】解方程组 ⎩3x+2y=8 (A)y+3-4=0 y (B)y-3+4=0 y (C)y+1 3y -4=0 (D)y+1 3y +4=0 解 ⎪ ⎧x-y+1=1 【05苏州】解方程组: ⎨23 ⎪⎩3x+2y=10 解 ⎧x-y=1 ⎩ 【05遂宁课改】解方程组: ⎨2x+y=8 6、应用: (1)分式方程(行程、工作问题、顺逆流问题) (2)一元二次方程(增长率、面积问题) (3)方程组实际中的运用 例题: ①轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的 速度是3千米/时,求轮船在静水中的速度.(提示: 顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度) 解: 解 ②乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为450 千米,B、C两城的距离为400千米,甲车比乙车的速度快10 千米/时,结果两辆车同时到达C城.求两车的速度解 ③某药品经两次降价,零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样,求每次降价的百分率.(精确到0.1%) 解 ④【05绵阳】已知等式(2A-7B)x+(3A-8B)=8x+10对一切实数x都成立,求A、B的值解 ⑤【05南通】某校初三 (2)班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元.捐款情况如下表: 捐款(元) 1 2 3 4 人数 6 7 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚. 若设捐款2元的有x名同学,捐款3元的有y名同学,根据题意,可得方程组 积为800平方米.求截去正方形的边长.解: 1几个概念 (二)不等式与不等式组2不等式 3不等式(组) 1、几个概念: 不等式(组)、不等式(组)的解集、解不等式(组) 2、不等式: (1)怎样列不等式: 1.掌握表示不等关系的记号 2.掌握有关概念的含义,并能翻译成式子. ⎧x+y=27 ⎩ A、⎨2x+3y=66 解 ⎧x+y=27 ⎩ B、⎨2x+3y=100 ⎧x+y=27 ⎩ C、⎨3x+2y=66 ⎧x+y=27 ⎩ D、⎨3x+2y=100 (1)和、差、积、商、幂、倍、分等运算. (2)“至少”、“最多”、“不超过”、“不少于”等词语.例题: 用不等式表示: ①a为非负数,a为正数,a不是正数解: ② ⑥已知三个连续奇数的平方和是371,求这三个奇数. 解 ⑦一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小正方形,折成一个无盖的长方体水槽,使它的底面 (2)8与y的2倍的和是正数; (3)x与5的和不小于0; (5)x的4倍大于x的3倍与7的差; 解: (2)不等式的三个基本性质 不等式组 ⎧x<2, ⎨x<-3, ⎩ ⎧x ⎨x ⎩ > > 2, -3, ⎧x ⎨x ⎩ > < 2, -3, ⎧x ⎨x ⎩ < > 2, -3, 数轴表示 解集 不等式的性质1: 如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c推论: 如果a+c>b,那么a>b-c。 不等式的性质2: 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc。 不等式的性质3: 如果a>b,并且c<0,那么ac
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