0023算法笔记贪心算法哈夫曼编码问题.docx
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0023算法笔记贪心算法哈夫曼编码问题
0023算法笔记——【贪心算法】哈夫曼编码问题
1、问题描述
哈夫曼编码是广泛地用于数据文件压缩的十分有效的编码方法。
其压缩率通常在20%~90%之间。
哈夫曼编码算法用字符在文件中出现的频率表来建立一个用0,1串表示各字符的最优表示方式。
一个包含100,000个字符的文件,各字符出现频率不同,如下表所示。
有多种方式表示文件中的信息,若用0,1码表示字符的方法,即每个字符用唯一的一个0,1串表示。
若采用定长编码表示,则需要3位表示一个字符,整个文件编码需要300,000位;若采用变长编码表示,给频率高的字符较短的编码;频率低的字符较长的编码,达到整体编码减少的目的,则整个文件编码需要(45×1+13×3+12×3+16×3+9×4+5×4)×1000=224,000位,由此可见,变长码比定长码方案好,总码长减小约25%。
前缀码:
对每一个字符规定一个0,1串作为其代码,并要求任一字符的代码都不是其他字符代码的前缀。
这种编码称为前缀码。
编码的前缀性质可以使译码方法非常简单;例如001011101可以唯一的分解为0,0,101,1101,因而其译码为aabe。
译码过程需要方便的取出编码的前缀,因此需要表示前缀码的合适的数据结构。
为此,可以用二叉树作为前缀码的数据结构:
树叶表示给定字符;从树根到树叶的路径当作该字符的前缀码;代码中每一位的0或1分别作为指示某节点到左儿子或右儿子的“路标”。
从上图可以看出,表示最优前缀码的二叉树总是一棵完全二叉树,即树中任意节点都有2个儿子。
图a表示定长编码方案不是最优的,其编码的二叉树不是一棵完全二叉树。
在一般情况下,若C是编码字符集,表示其最优前缀码的二叉树中恰有|C|个叶子。
每个叶子对应于字符集中的一个字符,该二叉树有|C|-1个内部节点。
给定编码字符集C及频率分布f,即C中任一字符c以频率f(c)在数据文件中出现。
C的一个前缀码编码方案对应于一棵二叉树T。
字符c在树T中的深度记为dT(c)。
dT(c)也是字符c的前缀码长。
则平均码长定义为:
使平均码长达到最小的前缀码编码方案称为C的最优前缀码。
"
2、构造哈弗曼编码
哈夫曼提出构造最优前缀码的贪心算法,由此产生的编码方案称为哈夫曼编码。
其构造步骤如下:
(1)哈夫曼算法以自底向上的方式构造表示最优前缀码的二叉树T。
(2)算法以|C|个叶结点开始,执行|C|-1次的“合并”运算后产生最终所要求的树T。
(3)假设编码字符集中每一字符c的频率是f(c)。
以f为键值的优先队列Q用在贪心选择时有效地确定算法当前要合并的2棵具有最小频率的树。
一旦2棵具有最小频率的树合并后,产生一棵新的树,其频率为合并的2棵树的频率之和,并将新树插入优先队列Q。
经过n-1次的合并后,优先队列中只剩下一棵树,即所要求的树T。
构造过程如图所示:
具体代码实现如下:
(1),程序主文件
1.>
2.eight = f[i];
3. w[i].tree = z;
4. }
5.
6. //建优先队列
7. MinHeap
8. for(int i=1; i<=n; i++) (w[i]);
9.
10. //反复合并最小频率树
11. Huffman
12.*
13. for(int i=1; i 14. { 15. x = (); 16. y = (); 17. (0,,; 18. += ; 19. = z; 20. (x); 21. } 22. 23.| 24. x = (); 25. 26. delete[] w; 27. 28. return ; 29.} (2)二叉树实现 1.#include 2.using namespace std; 3.~ 4. 5.template 6.struct BTNode 7.{ 8. T data; 9. BTNode 10. 11. BTNode() 12. { 13. lChild=rChild=NULL; 14.' 15. } 16. 17. BTNode(const T &val,BTNode 18. { 19. data=val; 20. lChild=Childl; 21. rChild=Childr; 22. } 23. 24. BTNode 25.· 26. { 27. BTNode 28. 29. if(&data==NULL) 30. return NULL; 31. 32. nl=lChild->CopyTree(); 33. nr=rChild->CopyTree(); 34. 35. nn=new BTNode 36.《 37. return nn; 38. } 39.}; 40. 41. 42.template 43.class BinaryTree 44.{ 45. public: 46. BTNode 47.· 48. BinaryTree(); 49. ~BinaryTree(); 50. 51. void Pre_Order(); 52. void In_Order(); 53. void Post_Order(); 54. 55. int TreeHeight()const; 56. int TreeNodeCount()const; 57. 58.; 59. void DestroyTree(); 60. void MakeTree(T pData,BinaryTree 61. void Change(BTNode 62. 63. private: 64. void Destroy(BTNode 65. void PreOrder(BTNode 66. void InOrder(BTNode 67. void PostOrder(BTNode 68. 69., 70. int Height(const BTNode 71. int NodeCount(const BTNode 72.}; 73. 74.template 75.BinaryTree : BinaryTree() 76.{ 77. root=NULL; 78.} 79. 80.& 81.template 82.BinaryTree : ~BinaryTree() 83.{ 84. 85.} 86. 87.template 88.void BinaryTree : Pre_Order() 89.{ 90. PreOrder(root); 91., 92.} 93. 94.template 95.void BinaryTree : In_Order() 96.{ 97. InOrder(root); 98.} 99. 100.template 101.void BinaryTree : Post_Order() 102.— 103.{ 104. PostOrder(root); 105.} 106. 107.template 108.int BinaryTree : TreeHeight()const 109.{ 110. return Height(root); 111.} 112. 113.、 114.template 115.int BinaryTree : TreeNodeCount()const 116.{ 117. return NodeCount(root); 118.} 119. 120.template 121.void BinaryTree : DestroyTree() 122.{ 123. Destroy(root); 124., 125.} 126. 127.template 128.void BinaryTree : PreOrder(BTNode 129.{ 130. if(r! =NULL) 131. { 132. cout< 133. PreOrder(r->lChild); 134. PreOrder(r->rChild); 135.~ 136. } 137.} 138. 139.template 140.void BinaryTree : InOrder(BTNode 141.{ 142. if(r! =NULL) 143. { 144. InOrder(r->lChild); 145. cout< 146.— 147. InOrder(r->rChild); 148. } 149.} 150. 151.template 152.void BinaryTree : PostOrder(BTNode 153.{ 154. if(r! =NULL) 155. { 156. PostOrder(r->lChild); 157." 158. PostOrder(r->rChild); 159. cout< 160. } 161.} 162. 163.template 164.int BinaryTree : NodeCount(const BTNode 165.{ 166. if(r==NULL) 167. return 0; 168.¥ 169. else 170. return 1+NodeCount(r->lChild)+NodeCount(r->rChild); 171.} 172. 173.template 174.int BinaryTree : Height(const BTNode 175.{ 176. if(r==NULL) 177. return 0; 178. else 179.? 180. { 181. int lh,rh; 182. lh=Height(r->lChild); 183. rh=Height(r->rChild); 184. return 1+(lh>rhlh: rh); 185. } 186.} 187. 188.template 189.void BinaryTree : Destroy(BTNode 190.- 191.{ 192. if(r! =NULL) 193. { 194. Destroy(r->lChild); 195. Destroy(r->rChild); 196. delete r; 197. r=NULL; 198. } 199.} 200. 201.# 202.template 203.void BinaryTree : Change(BTNode 204.{ 205. BTNode 206. if(r){ 207. p=r->lChild; 208. r->lChild=r->rChild; 209. r->rChild=p; //左右子女交换 210. Change(r->lChild); //交换左子树上所有结点的左右子树 211. Change(r->rChild); //交换右子树上所有结点的左右子树 212.~ 213. } 214.} 215. 216.template 217.void BinaryTree : MakeTree(T pData,BinaryTree 218.{ 219. root = new BTNode 220. root->data = pData; 221. root->lChild = ; 222. root->rChild = ; 223.] 224.} (3)最小堆实现 1.#include 2.using namespace std; 3.template 4.class MinHeap 5.{ 6. private: 7. T *heap; //元素数组,0号位置也储存元素 8.! 9. int CurrentSize; //目前元素个数 10. int MaxSize; //可容纳的最多元素个数 11. 12. void FilterDown(const int start,const int end); //自上往下调整,使关键字小的节点在上 13. void FilterUp(int start); //自下往上调整 14. 15. public: 16. MinHeap(int n=1000); 17. ~MinHeap(); 18. bool Insert(const T &x); //插入元素 19.| 20. 21. T RemoveMin(); //删除最小元素 22. T GetMin(); //取最小元素 23. 24. bool IsEmpty() const; 25. bool IsFull() const; 26. void Clear(); 27.}; 28. 29.template 30., 31.MinHeap : MinHeap(int n) 32.{ 33. MaxSize=n; 34. heap=new T[MaxSize]; 35. CurrentSize=0; 36.} 37. 38.template 39.MinHeap : ~MinHeap() 40.{ 41.! 42. delete []heap; 43.} 44. 45.template 46.void MinHeap : FilterUp(int start) //自下往上调整 47.{ 48. int j=start,i=(j-1)/2; //i指向j的双亲节点 49. T temp=heap[j]; 50. 51. while(j>0) 52.] 53. { 54. if(heap[i]<=temp) 55. break; 56. else 57. { 58. heap[j]=heap[i]; 59. j=i; 60. i=(i-1)/2; 61. } 62. } 63.' 64. heap[j]=temp; 65.} 66. 67.template 68.void MinHeap : FilterDown(const int start,const int end) //自上往下调整,使关键字小的节点在上 69.{ 70. int i=start,j=2*i+1; 71. T temp=heap[i]; 72. while(j<=end) 73. { 74.] 75. if( (j 76. j++; 77. if(temp<=heap[j]) 78. break; 79. else 80. { 81. heap[i]=heap[j]; 82. i=j; 83. j=2*j+1; 84. } 85.* 86. } 87. heap[i]=temp; 88.} 89. 90.template 91.bool MinHeap : Insert(const T &x) 92.{ 93. if(CurrentSize==MaxSize) 94. return false; 95. 96.$ 97. heap[CurrentSize]=x; 98. FilterUp(CurrentSize); 99. 100. CurrentSize++; 101. return true; 102.} 103. 104.template 105.T MinHeap : RemoveMin( ) 106.{ 107.… 108. T x=heap[0]; 109. heap[0]=heap[CurrentSize-1]; 110. 111. CurrentSize--; 112. FilterDown(0,CurrentSize-1); //调整新的根节点 113. 114. return x; 115.} 116. 117.template 118.! 119.T MinHeap : GetMin() 120.{ 121. return heap[0]; 122.} 123. 124.template 125.bool MinHeap : IsEmpty() const 126.{ 127. return CurrentSize==0; 128.} 129. 130.template 131.bool MinHeap : IsFull() const 132.{ 133. return CurrentSize==MaxSize; 134.} 135. 136.template 137.void MinHeap : Clear() 138.{ 139. CurrentSize=0; 140.} 3、贪心选择性质 二叉树T表示字符集C的一个最优前缀码,证明可以对T作适当修改后得到一棵新的二叉树T”,在T”中x和y是最深叶子且为兄弟,同时T”表示的前缀码也是C的最优前缀码。 设b和c是二叉树T的最深叶子,且为兄弟。 设f(b)<=f(c),f(x)<=f(y)。 由于x和y是C中具有最小频率的两个字符,有f(x)<=f(b),f(y)<=f(c)。 首先,在树T中交换叶子b和x的位置得到T',然后再树T
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