五年级下册数学试题培优专题讲练第30讲巧解长方体和正方体二人教版.docx
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五年级下册数学试题培优专题讲练第30讲巧解长方体和正方体二人教版
第30讲巧解长方体和正方体
(二)
表面积与体积
巧点晴——方法和技巧
长方体和正方体是我们较为熟悉的立体图形。
长方体有6个面,8个顶点,12条棱。
在它的6个面中,两个对面是全等的,即三组对面两两全等。
长方体的表面积和体积的计算公式如下:
长方体的表在积S长方体=2(αb+bc+ac)
长方体的体积V长方体=abc
正方体是各棱相等的长方体,它是长方体的特例,它的6个面都是正方形。
如果正方体的棱长为α,那么S正方体=6α2,V正方体=α3。
巧指导——例题精讲
A级冲刺名校·基础点晴
【例1】右图的几何体是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的,求它的表面各。
分析与解如果一面一面地数,那么虽然可以得到
答案,但过程太麻烦,且容易出错。
仔细观察可以发现,
这个几何体的上面与下面、左面与右面、前面与后面的
面积分别相等。
如上图所示,可求得表面积为(9+7+8)×2=48(厘米2)
答:
它的表面积为48平方厘米。
做一做1有30个边长为1米的正方体,在地面上摆成下图所示的形式,然后把露出的表面涂在红色。
问:
被涂成红色的面积是多少?
【例2】如果是由22个小正方体组成的几何体,问:
其中共有多少个大大小小的正方体?
由两个小正方体组成的长方体有多少个?
分析与解正方体只可能有两种:
由1个小正
方体构成的正方体,有22个;由8个小正方体构
成的2×2×2的正方体,有4个。
所以,共有正方体22+4=26(个)。
由两个小正方体组成的长方体,根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种,其中上下位有13个,左右位有13个,前后位有14个,共有13+13+14=40(个)
答:
共有26个正方体,有40个长方体。
做一做2下图是一个由24个小正方体组成的立体图形,其中由2个小正方体组成的小长方体有多少个?
【例3】如右图,一个长方体的宽和高相等,并且都等于长的一半。
将这个长方体切成12个小长方体,这些小长方体的表面积之和是600平方人米,求这个长方体的面积。
分析与解设大长方体的左(右)面面积为χ(分米2),则它的表面积为χ+χ+4×2χ=10χ。
切成12个小长方体后,新增加的表面积为
(3χ+2×2χ)3=14χ
12个小长方体的表面积之和为
10χ+14χ=24χ
24χ=600
χ=25
大长方体体积是5×5×10=250(公米3)。
答:
这个大长方体的体积是250立方分米。
做一做3一个正方体被切成24个小长方体(见下图),这些小长方体的表面积总和为162平方厘米,求这个正方体的体积。
B级培优竞赛·更上层楼
【例4】图1是一个棱长为5厘米的正方体木块,它的每个表面都有一个穿透的完全相同的孔,求这个立体图形的表面积。
分析与解正方体中间被穿了孔,表面积不好计算。
我们可以将这个立体图形看成由8个棱长为2厘米的正方体和12个棱长为1厘米的正方体黏合而成。
如图2,8个棱长为2厘米的正方体分别在8个顶角,12个棱长为1厘米的正方体分别在12条棱的中间。
由于每个小正方体都有2个面分别粘接两个较大的正方体,相对于不粘接,减少了表面积4平方厘米,所以总的表面积为(2×2×6)×8+(1×1×6)×12-4×12=216(厘米2)。
答:
这个立体图形的表面积为216平方厘米。
做一做4在棱长为3厘米的正方体木块的每个面中心上打一个直穿木块的洞,洞口呈边长为1厘米的正方形(见下图)。
求挖洞后木块的体积和表面积。
【例5】把一个正方体染红后,在公共顶点的三个面上横竖各切三刀,这样共切成(3+1)3=4×4×4=64(块)小立方体。
因为已经先在外面染上红色,所以切开的这些小立方体中必定有的一面是红色,有的两面或三面是红色,还有的没有被染上红色。
请你计算出每种颜色的小立方体各有多少块。
如果切n刀(n为自然数),又各有多少块?
分析与解显然各项点处必定是三面红色,那么这个大立方体共有8个顶点,所以顶点的8个小立方体三面都是红色。
在各棱中间的小立方体是两面红色的。
如切n刀,那么每一棱必切为n+1(块),除去两端三面红色的两块外,中间有两面红色的是(n+1)―2=n―1(块),大立方体共有12条棱,所以有12(n―1)(块)是两面红色。
一面红色的是每面的中心部分,即每面切成的正方体把四周小正方体去掉,那么共有(n―1)×(n-1)个正方体,每个正方体都是一面红色。
大正方体共有6个面,所以一面红色的有(n―1)×(n―1)×6=6(n―1)2(块)。
没有染色的小正方体有两种求法,一种是总的小正方体个数,分别减去一面、两面、三面染有红色的小正方体的个数即是,或者把大正方体外层的小正方体去掉,可得没有染色的小正方体的个数,也就是(n-1)3(个)。
解切三刀及切n刀,各小正方体的个数如下表:
正方体切法
三面红色
两面红色
一面红色
没有染上红色
切三刀
8个
12×2=24(个)
6×22=24(个)
64-8-24-24=8(个)或
(3-1)3=23=8(个)
切n刀
8个
12×(n-1)(个)
6(n-1)2(个)
(n+1)2-8-12(n-1)2
-6(n-1)2(个)
或(n-1)3(个)
做一做5由125块小立方体组成一个大立方体,把这个大立方体表面涂成红色。
在这些小立方体中,涂有三面红色的小立方体有几个?
涂有两面红色和涂有一面红色的各有几个?
没有涂红色的小立方体有几个?
【例6】某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱,并且用尼龙带包扎,如图所示,所用三条尼龙带长分别为235厘米、445厘米、515厘米。
若每个尼龙带加固时接头重叠都是5厘米,问:
这个长方体包装箱的体积是多少立方米?
分析与解利用尼龙带的长度分别求出长方体邮件的长、宽、高。
长方体中:
宽+高=(235-5)÷2=115………………………①
长+高=(445-5)÷2=220………………………②
长+宽=(515-5)÷2=225……………………………………③
由式②-式①,得
长-宽=220-115=105……………………………………………④
由(式④+式③)÷2,得
长=180,宽=75,高=40
所以长方体的体积为
180×75×40=540000(厘米3)
=0.54(米3)
答:
这个长方体包装箱的体积是0.54米3。
做一做6将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个铁质正方体熔铸造成一个大正方体(不计损耗),求这个大正方体的体积。
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【例7】有大、中、小三个正方体形的水池,它们的内边长分别为4米、3米、2米。
把两堆碎石分别沉入中、小水池的水中,两个水池的水面分别升高4厘米和11厘米。
问:
如果将这两堆碎石都沉入大水池中,那么大水池的水面将升高多少厘米?
解水池中水面升高部分的体积即投入水中的碎石体积。
沉入中、小水池中的碎石的体积分别是
3×3×0.04=0.36(米3)
2×2×0.11=0.44(米3)
它们的和是
0.36+0.44=0.8(立方米)
把它们都沉入大水池里,大水池水面升高部分水的体积也应是0.8立方米,而大水池的底面面积是4×4=16(米2),所以大水池的水面升高
0.8÷16=0.05(米)=5(厘米)
做一做7在长为15厘米、宽为16厘米的长方体水箱中有10厘米深的水。
现在往水箱里放一个石块,这时水平面的高度是14厘米。
问:
石块的体积至少是多少?
巧练习——温故知新(三十)
A级冲刺名校·基础点睛
1、如下图,在棱长为5厘米的正方体的上下、前后、左右的正中位置都挖去一个棱长为1厘米的正方体。
问:
此图形的表面积是多少?
2、如1题图,一个边长为3a(厘米)的正方体,分别在它的前后、左右、上下各面的中心挖去一个截面边长为a厘米的正方形的长方体(都和对面打通)。
如果这个物体的表面积为2592平方厘米,试求正方形截面的边长。
3、一个长主体,如果长减少2厘米,宽、高都不变,那么它的体积减少48立方厘米;如果宽增加3厘米,长、高都不变,那么它的体积增加99立方厘米;如果高增加4厘米,长、宽都不变,那么它的体积增加352立方厘米。
问:
原长方体的表面积是多少平方厘米?
4、有一个棱长为2厘米的正方体,在正方体上面的正中向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞,接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为
厘米的正方体小洞,第三个小洞的挖法与前两个相同,棱长为
厘米。
问:
最后得到的几何体的表面是多少平方厘米?
B级培优竞赛·更上层楼
5、如下图,一张长方形铁皮四角都剪去一个边长为2厘米的正方形,做成一个容积是192立方厘米的铁盒子。
问:
原来这张铁皮的长是多少厘米?
做这铁盒子至少需要铁皮多少平方厘米?
6、将一根长为3.6米的长方体的木料锯成三段,这样,三段长方体的表面积总各比原来长方体的表面积增加了36平方分米。
问:
这根木料原来的体积是多少?
7、一个正方体,表面全部涂上红色,切成27个棱长是1厘米的小正方体。
问:
一面带红色的小正方体有多少个?
两面带红色的小正方体有多少个?
三面带红色的小正方体有多少个?
8、在10个表面涂了红色的正方体,它们的棱长分别是1,3,5,7,…,19。
问:
若把它们全部锯成棱长为1的小正方体,那么所有这些小正方体中,共有多少个至少一面是红色的正方体?
9、1000个体积为1立方厘米的小立方体合在一起成为一个边长为10厘米的大立方体,表面涂油漆后再分开为原来的小立方体,这些小立方体中至少有一面被油漆涂过的数目是多少?
10、一个正方体的每个顶点都有3条棱以其为端点,沿这3条棱的3个中点,把这个正方体切下一个角,这样一共切下8个角,则余下部分的体积和正方体体积之比是多少?
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11、把正方体用一个与它的一面平行的平面切开,分成A,B两个长方体,当A,B的表面积之比是1:
2时,请用最简整数比表示出A和B的体积比。
12、某种长方体集装箱,它的长、宽、高之比4:
3:
2。
如果用甲等油漆喷涂它的表面,每平方米的费用是0.9元;如果改用乙等9油漆,每平方米的费用降低为0.4元,一个集装箱可以节省0.6元。
问:
这种集装箱的表面积是多少平方米?
体积是多少立方米?
13、如右图,用苦干个体积相同的小正方体堆积成一个长方体,要使大正方体的对角线(正方体八个顶点中距离最远的两个顶点的边线)穿过的小正方体都是黑色,其余小正方体都是白色,并保证大正方体每条边上有偶数个小正方体。
当堆积完成后,白色正方体的体积占总体积的93.75%,那么一共用了多少个黑色的小正方体?
巧总结
本节我的收获是:
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