利用导数求函数单调性题型全归纳.docx
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利用导数求函数单调性题型全归纳
利用导数求函数单调性题型全归纳
一.求单调区间
二.函数单调性的判定与逆用
三.利用单调性求字母取值围
四.比较大小
五.证明不等式
六.求极值
七.求最值
八.解不等式
九.函数零点个数(方程根的个数)
十.探究函数图像
一.求单调区间
例1.已知函数f(x)ax
x2
xlna(a0,a1)
,求函数f(x)的单调区间
解:
f(x)axlna+2xlna2x+(ax
1)lna.
则令g(x)f(x),因为当a
0,a
1,所以g(x)
2
axln2a0
所以f(x)在R上是增函数,又f(0)0,所以不等式f(x)0的解集为(0,+),
故函数f(x)的单调增区间为(0,+)减区间为:
(,0)
变式:
已知f(x)exax,求f(x)的单调区间
解:
f'(x)exa,当a0时,f'(x)0,f(x)单调递增
当a0时,由f'(x)exa0得:
xlna,f(x)在(lna,)单调递增
由f'(x)exa0得:
xlna,f(x)在(,lna)单调递增
综上所述:
当a0时,f(x)的单调递增区间为:
(,),无单调递减区间
当a0时,f(x)的单调递增区间为:
(lna,),递减区间为:
(,lna)
二.函数单调性的判定与逆用
例2.已知函数
f(x)x
3
ax
2
2x5
(
1
1
也不是单调递减
,)上既不是单调递增函数,
在
3
2
a的取值集合
函数,求正整数
解:
f(x)3x2
2ax
2
因为函数
f(x)x
3
ax
2
2x5
(
1
1
,)上既不是单调递增函数,也不是单调递减函数
在
3
2
所以
f(x)
3x
2
2ax
2=0
(
1
1
,)上有解
在
3
2
所以f'
(1)f'
(1)
0
又a
N*
,解得:
5
a
5
所以正整数a的取值集合{2}
3
2
,
4
2,
三.利用单调性求字母取值围
例3.
已知函数
()
x
,若函数y
f(x)在(1,
)上是减函数,数a的最小
fx
ax
lnx
值.
解:
因为
f(x)
x
ax在(1,
)上是减函数
lnx
所以
'
lnx1
在
上恒成立,即
lnx
1在
上恒成立
f
(x)
a0(1,
)
a
(1,
)
(lnx)2
(lnx)
2
令t
lnx,(x1),则t
0,h(t)
t1
(t
0)则ah(t)max
t2
,
因为h(t)
t1
=
(1)2
1
(1
1)2
1
所以h(t)max=h
(2)
1
所以a
1
t2
t
t
t
2
4,
4,
4
变式:
若函数f(x)
1x3
1ax2
(a
1)x
1在区间(1,4)上为减函数,在区间(6,
)
3
2
上为增函数,试数
a的取值围.
解:
f'(x)=x2
ax
a
1
因为函数y
f(x)在区间
(1,4)
(6,
)上为增函数
上为减函数,在区间
f'
(x)
0,x
(1,4)
x2
ax
a
1
0,x
(1,4)
所以
恒成立,即
f'
(x)
0,x
(6,)
x2
ax
a
1
0,x
(6,)
a
x2
1
x
1,
x
(1,4)
a
4
1
x
1
所以
x2
所以
所以5a7
a
1
x
1,
x
(6,)
a
6
1,
x
1
,
四.比较大小
例4.设a为实数,当aln21且x0时,比较ex与x22ax1的大小关系.
解:
令f(x)exx22ax1(x0),则f'(x)=ex2x2a
令g(x)f'(x)
则g'(x)ex2,令g'(x)0得:
xln2
当xln2时,g'(x)0;当xln2时,g'(x)0
所
以
g(x)ming(x)极小值=g(ln2)eln2
2ln22a
2a2ln22
因
为
,
a
ln2
1,所以g(x)
f'(x)0,所以f(x)在(0,
)上单调递增
所以f(x)f(0)0,即exx22ax10,所以exx22ax1
变式:
对于R上的可导函数yf(x),若满足(x3)f'(x)0,比较f
(1)f(11)与
2f(3)的大小关系.
解:
因为(x3)f'(x)0
所以当x3时,f'(x)0,f(x)单调递增,故f(11)f(3)
当x
3时,f'(x)
0,f(x)单调递减,故
f
(1)
f(3)
所以f
(1)
f(11)
2f(3)
五.证明不等式
例5.已知函数f(x)
|lnx|,g(x)
k(x
1)(k
R).
证明:
当k
1
时,存在x0
1,使得对任意的
x
(1,x0),恒有f(x)g(x).
证明:
令G(x)
|lnx|
k(x
1)=ln
xk(x
1),x
(1,)
则有G'(x)
1
k
1
kx,x
(1,
)
x
x
当k
0或k
1时,G'(x)
0
,故G(x)
在(1,
)上单调递增,G(x)G
(1)
0.故任
意实数
x
(1,
)均满足题意.
当0
k
1
时,令G'(x)=0,得x
1
1.
k
当x
(1,
1
)时,G'
(x)
0,故G(x)在(1,
1
)上单调递增
k
k
当x
(
1
,
)时,G'(x)
0,故G(x)
在(
1
,
)上单调递减
k
k
取x
1
,对任意x
(1,x0),有G'(x)
0,故G(x)在(1,x0)上单调递增
0
k
所以G(x)
G
(1)
0
即f(x)
g(x)综上所述:
当k
1时,存在x0
1,使得对任意的x
(1,x0),恒有f(x)g(x).
,
变式:
已知关于x的方程(1x)exax2a有两个不同的实数根x1、x2.求证:
x1+x20
证明:
因为(1x)ex
ax2
a,所以a
(1
2
x)ex
令f(x)
(1
2
x)ex
x
1,
x
1
则f(x)
x(x2
2x3)ex
x[(x
1)2
2]ex
2
2
(x
2
2
(x
1)
1)
当x0时f(x)0,f(x)单调递减,当x0时f(x)0,f(x)单调递增
因为关于x的方程(1x)exax2a有两个不同的实数根x1、x2
所以不妨设x(
0),x(0,
)
,
要证:
x+x
2
0
,
只需证:
x
x
1
2
1
2
1
因为x2x1(0,),且函数f(x)在(0,)上单调递减
所以只需证:
f(x2)f(x1),又因为
f(x2)=f(x1),
所以只需证:
f(x1)f(x1)
即证:
(1
x1)ex1
(1
x1)ex1
x
2
1
x
2
1
1
1
即证:
(1x)ex(1x)ex0对x(,0)恒成立
令g(
)(1
)
e
x
(1
)
x
,0)
则g(
x
)
(
x
e
x)
x
x
xe
,x(
xe
,
因为x(
,0)
所以
e
x
e
x
0
,
所以g(x)x(exex)0恒成立
所以g(x)(1x)ex(1x)ex在(,0)上单调递减,所以g(x)g(0)0
综上所述:
x1+x20
六.求极值
例6.已知函数
2
x
f(x)(x
axa)e,是否存在实数a,使得函数
f(x)
的极大值为
3
?
若
存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.
解:
f'(x)(2xa)ex(x2axa)ex[x2(2a)x2a]ex=(xa)(x2)ex
令f'(x)=0得:
xa或x2
当a2时,f'(x)0恒成立,无极值,舍去
当a
2时,a2
x(,-2)2(2,a)a(a,)
f'(x)
0
0
f(x)递增极大值递减极小值递增
由表可知:
f(x)极大值=f
(2)(42aa)e23解得:
a43e22当a2时,a2
x(,-a)a(a,2)2(2,)
f'(x)
0
0
f(x)递增极大值递减极小值递增
由表可知:
f(x)极大值=f(
a)
(a2
a2
a)ea
3,即aea
3,所以:
a=3ea
令
(
a
)3a
(
a
2)
则
'
(a)3e
a
13e
2
10
g
e
a
,
g
所以yg(a)在(2,)上单调递增,又g
(2)3e220
所以函数y
(2,
)
a
=3
e无解
g(a)在
上无零点,即方程
a
综上所述:
存在实数a,使得函数f(x)的极大值为3,此时a43e2
七.求最值
例7.
已知函数f(x)ax
x2
xlna(a
0,a1),若存在x1,x2
[1,1],使得
f(x1)
f(x2)e1(其中e是自然对数的底数
),数a的取值围.
解:
因为存在x1,x2[1,1],使得f(x1)f(x2)≥e1成立,
而当x[1,1]时,f(x1)f(x2)≤f(x)maxf(x)min,
所以只要f(x)maxf(x)min≥e1即可
又因为x,f(x),f(x)的变化情况如下表所示:
x
(
0)
0
(0,+)
f(x)
0
+
f(x)
减函数
极小值
增函数
所以f(x)在[
1,0]
上是减函数
在
[0,1]
上是增函数
所以当x
[1,1]时,f
x的最小值
fxmin
f0
1,fx
的最大值fx
max为f
1
和f
1中的最大值.
因为f
(1)
f(
1)
(a+1
lna)
(1+1+lna)
a
1
2lna,
a
a
令g(a)a
1
2lna(a
0),因为g(a)
1+
12
2
(1
1)2
0,
a
a
a
a
所以g(a)
a
1
2lna在a
0,
上是增函数.
a
而g
(1)0,故当a1时,ga0,即f
(1)f
(1);
当0a1时,ga0,即f
(1)f
(1)
所以,当a1时,f
(1)f(0)≥e1,即alna≥e1,函数yalna在a(1,)上是增
函数,解得a≥e;
当0a1时,f(
1)
f(0)≥e
1,即1
lna≥e1,函数y
1
lna在a
(0,1)
上是减
a
a
函数,解得0a≤1
.
e
综上可知,所求a的取值围为a
(0,1]
[e,+)
e
变式:
已知函数
f
(
x
)
e
xa
ln(
xa
)(
a
0)在区间
上的最小值为
,数
a的值
.
(0,)
1
解:
f(x)=exa1
令g(x)
f(x)
,
则g(x)=exa
1
0
x
a,
2
(xa)
所以y
g(x)在区间(0,)单调递增,所以存在唯一的x0(0,),使得
g(x0)ex0a
1
0即ex0a=
x0
1
x0
a
,
a
所以当x(0,x0)时,g(x)f(x)0,yf(x)单调递减
当x(x0,)时,g(x)f(x)0,yf(x)单调递增
所以f(x)min
f(x0)ex0a
ln(x0a)
,
由ex0a
=
1
得:
x0a=ln(x0a)
x0
a
所以f(x)min
f(x0)ex0a
ln(x0a)=
1
x0a
x0
a
=
1
a)
2a
(x0
x0
a
2
1
a)
2a
(x0
x0a
2
2a
1
a即x0
a=1,f(x)minf(x0)
22a
当且仅当
=x0
x0
a
由2
1
,此时x0
1
1
2a=1得a
=,满足条件,所以a
2
2
2
八.
解不等式
例
8.
函数
f(x)(x
R),f(0)
2
,对任意
x
R,f(x)
f'(
x)
1,解不等式:
e
x
f(x)
ex
1
解:
令
(
x
)
x
(
x
)
e
x
,
则
g
()
x
f
(
x
)
x
f
(
x
)
e
x
e
x(
f
(
x
)
f
(
x
)1)
g
ef
x
e
e
因为对任意x
R,f(x)
f'(x)1
,
所以g(x)
0,
所以yg(x)为R上的单调递增函数,又g(0)f(0)11
所以当exf(x)ex
1即exf(x)
ex
1,
所以g(x)
g(0),所以x0
即不等式:
ex
f(x)
ex
1的解集为(0,
)
变式:
已知定义在R上的可导函数y
f(x)满足f'(x)
1,若
f(12m)
f(m)
1
3m,求m的取值围.
解:
令g(x)
f(x)
x,
则g(x)
f
(x)
1,因为f'(x)
1
所以g(x)
f(x)10
,
所以g(x)
f(x)x为R上递减函数
由f(1
2m)
f(m)
13m
,
得:
f(12m)
(1-2m)>f(m)m
即g(1
2m)
g(m)
所以12mm
1
,
,
即m
3
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