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旋转的教学设计和分析
“图形的旋转”教学过程概要
环节一课题的引入。
先让学生观察转动的陀螺,再让学生欣赏动画,再让学生举日常生活中旋转的例子(学生举出时钟上的指针的转动,飞速转动的电风扇叶片,马路上的汽车轮子的转动,自行车行进中轮子的转动……)。
然后问:
它们有哪些共同特点?
学生回答:
“转”。
由此引出课题:
图形的旋转。
本环节的设计意图是:
利用直观教具丰富学生的感性认识,使学生感受到除平移、轴对称等图形变换外,还广泛存在着旋转现象,从而产生探究这种变换的欲望。
环节二定义的教学。
教师先利用计算机展示基本几何图形点、线段、三角形绕一个点旋转的动态过程,要求学生在观察后回答问题:
你对旋转是如何理解的?
在学生回答“物体绕一点旋转”后,老师自己给出结论:
像这样,把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,叫做图形的旋转。
点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。
如果图形上的点P经过旋转变为点P′,那么点P和点P′叫做这个旋转的对应点。
接着,给出例题1:
如图1,△ABC是等边三角形,D是BC边上一点,△ABD经过旋转后到达△ACE的位置。
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度?
(3)如果M
图1
是AB的中点,那么经过上述旋转后,点M转到了什么位置?
老师采取问答式,让学生找对应点、对应角,然后讲解如何找对应点、对应角,步骤清楚,指令明确。
接着进行概念的实际应用:
图2
题1如图2,杠杆绕支点转动撬起重物,杠杆的旋转中心在哪里?
旋转角是哪个角?
题2钟表的分针匀速旋转一周的时间为60分.
(1)指出分针的旋转中心;
(2)经过20分,分针旋转了多少度?
这两个问题的目的是引导学生用旋转概念解决问题,巩固概念。
其中,学生对问题1的“旋转角”解释不清,教师帮学生说出了答案(没有引导学生“回到定义去”)。
图3
环节三探索性质。
教师事先准备了如图3的学具(含有挖空的旋转中心、点、线段、三角形),让全体学生通过旋转作图来探究旋转的性质,并提出了如下问题:
(1)如图4(a),点A绕点O旋转到点B,线段OA与OB什么关系?
(2)如图4(b),除∠AOC与∠BOD外,还有哪个角等于旋转角?
这样的角有多少个?
(3)如图4(c),△ABC和△DEF的形状和大小有什么关系?
OO·O
·A·A
DBAB
··
ABBCCC
(a)(b)(c)
图4
学生操作、说理后,教师自己归纳出性质:
(1)对应点到旋转中心的距离相等——保距。
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角——保角。
(3)旋转前、后的图形全等——保形。
在“设计意图”中教师写道:
通过实验,让学生经历“画图→观察→猜想→验证”的过程,为引导学生的思维由具体到抽象、由粗略到精细提供载体;培养学生的动手能力、观察能力和探究问题的能力,以及与人合作交流的能力;以问题为导引,逐步对旋转的性质进行探究,这样既突出了重点,又突破了难点。
接着,给出例题2:
如图5,E是正方形ABCD中CD边上任意一点,以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°,画出旋转后的图形。
AD
在“设计意图”中教师写道:
本题一方面巩固正方形和全等三角形的知识,另一方面进一步增强学生对旋转的性质的理解。
观察学生的解题
过程,笔者发现有的学生先延长CB到F,使BF=DE,再连接AF得到旋转后的图形△ABF。
环节四拓展研究,承上启下。
教师通过改变旋转的“三要素”(即旋转中心、旋转角和旋转方向),让学生体会,当“三要素”中的任意一个发生变化时,旋转所得的图形都会发生改变,从而既加深学生对本节课内容的理解,也拓展了学生的探究范围,为下节课利用旋转设计图案作好铺垫。
对教学过程的分析
(一)以一般的教学理论观点为视角
如果从教学论的一般理论看,本课的教学过程完整。
具体而言是:
1.课堂教学结构完整,包括课题的引入、旋转的概念和简单应用、旋转的性质和简单应用、对旋转的拓展研究等环节。
2.教学方法主要采用问答法,注意学生自主活动和教师讲授的结合,安排了多样化的学生活动。
3.对于旋转概念和性质,都先以小组(六人一组)为单位组织学生探究,并在小组活动基础上进行全班交流,最后再由老师总结得出结论。
4.旋转概念的教学安排了如下过程:
(1)以日常生活情景为载体引入课题,激发学生好奇心和学习兴趣;
(2)借助计算机动态演示点、线段和三角形绕一点旋转,让学生观察后回答“你是怎么理解旋转的?
”然后教师给出旋转的概念;
(3)教师通过“有哪些关键词值得注意?
”引导学生辨析旋转概念,并强调旋转的“三要素”;
(4)安排“等边三角形绕一个顶点旋转”的例题,应用“三要素”解决问题,并强调“找对应点、对应角”的操作步骤;
(5)安排有实际背景的应用题,进一步加深对旋转概念的理解。
上述过程概括起来就是:
概念的引入——概念内涵的归纳——概念的明确(给定义)——概念的辨析——概念的应用(用概念解决问题的基本操作步骤)。
因此,概念教学环节很完整。
旋转的性质的教学过程也是完整的,这里不再赘述。
5.从教学设计中看到,教师注意到了数学与生活的联系,想让学生经历“画图→观察→猜想→验证”这一完整的思维过程,并要“培养学生的动手能力、观察能力和探究能力,以及合作交流能力”等,结合教师的课堂教学实践,我们可以发现教师具有贯彻“新课程”理念的强烈愿望,而且也在努力实践。
因此,以一般的教学理论为视角,虽然在教学活动的组织实施、教师的教学行为和教学艺术等方面也有一些需要改进的,但整体上看这堂课没有大的瑕疵。
然而,如果从数学的角度,从发挥数学的内在力量开展育人活动的角度,从使学生学会认识问题、解决问题的方法的要求审视本节课的教学,那么需要改进的工作是大量的,而且许多都是带有根本性的。
(二)以数学课程的育人功能为视角
实现数学课程的育人目标,根本上还是要发挥数学的内在力量。
这就要求教师在日常教学中,以数学概念的发生发展过程为载体,使学生经历完整的数学思考过程,包括:
明确研究的问题,获得研究的对象,确定研究的内容,选取研究的方法,安排研究的进程,获得研究结论。
只有这样,才能让学生逐步树立从数学的角度看问题的观点,逐步掌握数学思考的过程与方法,进而学会数学地认识问题和解决问题。
从这样的要求来审视本节课的教学,需要改进的问题有:
1.关于研究问题的明确,教师在引入过程中给出的“转动的陀螺”情景,学生举出日常生活中旋转的例子,与本课要研究的课题有很大的差距,其中有的是“空间转动”(如转动的电风扇叶片),有的是转动与平移的合成(如转动的陀螺、汽车轮子的转动),有的可以看成是“图形的旋转”(如时钟上指针的转动)。
因此,在没有对这些图形的运动类型作适当区分的情况下,只由“它们的共同特征是‘转’”是不能引出课题“图形的旋转”的。
这里需要有教师的引导性语言的过渡。
2.关于研究对象的获得,即定义的教学,教师在演示点、线段和三角形绕一点旋转的多媒体课件后,问“你对旋转是如何理解的?
”在学生回答“物体绕一点旋转”后就直接给出旋转的定义,这并不能使学生获得研究对象。
其中存在问题有三个:
一是抽象的过程很不充分,没有对几个典型具体事例的共同特征的归纳过程,因此概括出旋转概念缺乏基础,这将给后续的所有相关学习埋下隐患;二是“你对旋转是如何理解的?
”的数学指向不明,改为“要确定一个图形的旋转,需要哪些要素?
”这样可以把学生的思维引导到“数学地刻画研究对象”上;第三,没有重视“对应点”这一附属概念的教学,这也会给后续研究埋下思想方法方面的隐患(旋转的性质往往归结为对应点的关系)。
3.关于旋转的性质的研究,教师在学生动手操作之前,没有对什么叫“旋转的性质”、如何研究“旋转的性质”等作出必要的说明,这样就使学生的操作活动带有很大的盲目性。
尽管老师提出的三个问题对旋转作图的目的有一定的引领,但其实际效果也只是学生“按照老师的指令做”。
实际上,图形的旋转是一种图形的运动,教学中必须是学生明确,所谓研究“旋转的性质”,就是要研究旋转前后图形的关系。
由“点动成线,线动成面”,首先应当研究清楚“对应点”之间的关系;由于几何关系中最基本的是“形状、大小、位置”,所以还应研究旋转前后图形的形状、大小和位置关系。
在研究的思想方法上,一定要强调利用好确定这个旋转的“三要素”,这样才能使学生想到把对应点与旋转中心连接起来,进而水到渠成地发现性质(这也是具有普适意义的思想方法,例如研究圆的性质要利用好圆心和半径)。
4.在概念、性质的应用教学中,没有强调“如何应用概念、性质解决问题”,在学生遇到困难或出现错误时,没有引导学生“回到定义去”。
实际上,“概念是思维的细胞”。
在解答数学问题时,学生找不到思维的切入点,很大的原因是他们还没有养成“回到基本概念去,从概念的联系中寻找解决问题的思路”的习惯。
像例题2的教学,要引导学生思考如下问题:
(1)决定这个旋转的“三要素”是什么?
(2)旋转后的图形与△ADE有什么关系?
(3)要画出旋转后的图形,关键就是要确定哪些点?
当然,具体教学时,可以在学生做完后让他们回答“你是怎么做的?
为什么?
”也可以让学生先思考上述问题后再完成作图。
5.如何为后续学习埋下伏笔?
教师通过改变“三要素”让学生观察“旋转效果的变化”,这里并没有留下什么悬念,在数学内容上没有发展的空间。
实际上,学习本节内容,除了研究“图形的旋转”本身的一些性质外,最主要的目的是利用这些性质去解决一些其它几何问题。
其中最重要的是利用图形的旋转不改变图形的形状和大小,去探索一些几何图形的性质。
所以,这里可以安排一些找两个全等图形(线段、三角形、平行四边形、正多边形、圆)的旋转中心、对应点、对应边、对应角等作业。
体现平面几何“基本套路”的教学设计
几何研究的“基本套路”:
明确问题——定义对象——研究性质(判定)——应用。
其中,“明确问题——定义对象”体现了数学研究对象的抽象过程和数学概念发生发展的完整过程,体现了“数学教学要讲背景”的要求;“定义对象——研究性质(判定)”体现了从概念及概念间的相互关系认识数学对象,通过数学命题刻画图形运动或变化中表现出的规律性。
显然,这是数学的内核,也是数学育人的内在力量之所在。
环节一情景引入,明确问题
引言:
在现实世界中存在着各种各样与旋转相关的现象。
例如,游乐园里旋转的摩天轮,地球绕着太阳转,汽车行驶过程中车轮的旋转,神州飞船绕着地球转等。
因此,认识旋转运动的规律,对于人类的科技发展、生产活动乃至我们的日常生活都是很重要的。
问题1你能再举出一些旋转的例子吗?
追问:
你能将上述旋转大致分分类吗?
引导学生分析、讨论的基础上明确:
旋转现象多种多样,例如,如果把太阳和地球都看成一个点,就是一个点绕着另一个固定点的旋转;摩天轮是绕着一根固定的轴旋转;车轮绕着车轴旋转,而车轴向前平移;等。
设计意图:
明确研究旋转运动的必要性,为抽象出图形的旋转概念做准备。
先行组织者:
我们看到,旋转运动各种各样,而且复杂程度也各不相同。
对于复杂的事物,数学中往往采取从简单到复杂的方法开展研究。
小学里学过图形的平移、旋转和轴对称,进入初中后,前面我们进一步研究了图形的平移和轴对称。
类似的,今天我们将进一步研究图形的旋转这一最简单的旋转运动,也就是:
在一个平面内,一个图形绕一个点的旋转运动。
出示课题:
图形的旋转
环节二、归纳共同特征,获得旋转的概念
问题2请同学们自己作一个△ABC,再让它绕着顶点A旋转30°,画出旋转后得到的图形。
你能得到几个符合要求的图形?
追问:
(1)如果绕着顶点A旋转45°,你又能得到几个图形?
(2)如果让△ABC绕平面内任意一点O旋转角α,你能画出旋转后得到的图形吗?
(3)比较一下大家画出的图形,你能得到什么结论?
设计意图:
让学生通过动手实验,通过比较,感受旋转中心、旋转角和旋转方向等“三要素”对确定一个旋转运动的作用。
三角形是最典型的平面图形,先绕着它的顶点旋转,再绕着任意一点旋转,这是一个从特殊到一般的过程,有利于学生从中归纳出旋转的本质特征。
问题3结合自己的作图过程,你能说说,给定哪些条件才能使旋转后得到的图形是唯一确定的?
可以视学生回答的情况提示,任意一个要素不确定时,图形都不能唯一确定。
设计意图:
引导学生归纳旋转的“三要素”。
板书“图形的旋转”的定义(略)。
概念的辨析:
你认为应如何理解“把一个平面图形绕着平面内某一点O按某一方向转动一个角度”这句话?
设计意图:
辨析概念的关键词,加深理解概念。
通过讨论、引导,明确以下几点:
(1)对于一个给定的旋转,点O是固定的一点;
(2)转动的角度大小也是固定的;(3)平面图形绕点O转动一个角,实际上就是这个图形上的每一个点绕点O转动了一个角(追问:
如何刻画一个平面内的一点A绕点O转动一个角?
)。
例1如图1,△ABC是等边三角形,D是BC边上一点,△ABD经过旋转后到达△ACE的位置。
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度?
(3)如果M是AB的中点,那么经过上述旋转后,点M转到了什么位置?
图1
设计意图:
及时巩固概念。
让学生独立完成后,请一个学生回答。
在学生回答的过程中,以“你是怎么想到的?
”为引导,让学生用概念作判断。
补充定义:
在一个图形的旋转中,如果图形上的点P经过旋转变为点P′,那么点P和点P′叫做这个旋转的对应点。
例如,点M和点M′就是上述旋转的对应点。
你能说出上述旋转中点E,A,C的对应点吗?
例2已知线段AB的长度是6cm,点O在线段AB的垂直平分线上,且到线段AB的距离为4cm。
线段AB绕点O旋转90°,先画出点A,B的对应点,再画出旋转后的图形。
设计意图:
先画对应点,需要作辅助线,这是作对应图形的一个难点,例1的解答有利于突破这个难点。
同时,本例也为旋转的性质的探究作了铺垫。
环节三、探究旋转的性质
先行组织者:
根据已有的学习经验,得到一种几何对象后,一般要研究两个问题:
性质和判定。
同样的,对于图形的旋转,我们也要研究有关性质。
问题4你认为我们应该从什么角度研究“图形的旋转”的性质?
可以研究哪些性质?
应该如何研究这些性质?
设计意图:
让学生先明确研究的方向,再进行具体研究。
师生活动:
通过讨论,明确这里的性质,就是指旋转前后图形的关系。
最基本的,应当研究清楚“对应点”之间的关系;由于平面几何是研究几何图形的“形状、大小、位置”,所以还应研究旋转前后图形的形状、大小和位置关系。
因为一个旋转由“三要素”唯一确定,所以研究中要利用好“三要素”。
学生自主探究:
在明确了研究的内容和方法后,让学生独立探究,也可以合作探究。
课堂互动交流:
让学生发言,交流研究成果。
在学生发言的基础上,师生一起总结出旋转的性质。
说明:
上述设计注重了从概念到性质的研究过程,其用意是让学生学会用概念来思考;还注意了用几何研究的“基本套路”统领研究过程,贯穿着平面几何的基本思想方法。
在教学活动中,始终强调“学生先做”,然后交流、互动、总结。
这样做的目的就是为了落实数学基本思想和基本活动经验的教学,在这个过程中,学生的分析和解决问题的能力也会得到锻炼。
例3如图2,E是正方形ABCD中CD边上任意一点,以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°。
你能用几种方法画出旋转后的图形?
设计意图:
本题的目的是用旋转的性质解决简单问题。
让学生用不同的方法作图,意在拓展学生用性质AD
图5
解决问题的思路。
例如,只用性质1找到D、E的对应点而作出图形;由性质3,所作图形与△ADE全等,点D的对应点是B,因此延长CB到BC
F,使BF=DE,再连接AF就得到旋转后的图形△ABF。
在学生作出图形后,要追问学生是怎么做出的,用了什么性质等。
环节四、课堂小结
1.请你总结一下本课研究问题的过程。
要点:
先从各种旋转现象中,区分出最简单的旋转,即一个平面图形绕平面内一点的旋转;再研究唯一确定一个旋转所需要的条件,进而给出“图形的旋转”的定义;然后研究图形的旋转的性质。
2.研究“图形的旋转”的定义的基本步骤是什么?
要点:
先研究几个具体的旋转事例,通过分析、比较,归纳出它们的共同特征,然后再给出概念。
接着还对概念的关键词进行了辨析,明确了旋转中心、旋转角和旋转方向都是唯一确定的,一个图形的旋转就是它上面的每一个点的旋转,点的旋转可以用它与旋转中心连线段绕旋转中心的旋转来刻画。
3.“旋转的性质”指什么?
我们是如何研究的?
要点:
“旋转的性质”是指旋转前后两个图形的形状、大小关系。
由于图形的旋转可以归结为点的旋转,因此对应点的关系也是旋转的性质。
研究性质时,我们总是与确定这个旋转的“三要素”相联系。
4.我们得到了“旋转的性质”,你认为可以用这些性质解决哪些几何问题?
例如,可以用性质研究图形的全等关系。
5.你觉得还可以研究哪些旋转的性质?
例如,通过旋转,线段的长度、角度的大小、面积的大小等都保持不变,位置关系(如平行、垂直)也不会改变等。
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