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空间向量1教师
第三章 空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
3.1.1空间向量及其加减法
【考点同步解读】
1.理解空间向量概念及其运算性质,掌握空间向量的几何表示法和字母表示法.
2.能够结合图形说明空间向量加减法及其运算律.
考点1:
空间向量基本概念及理解
例1:
给出下列命题:
①若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;
②若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;
③零向量没有方向;
④若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同.
其中假命题的个数是( ).
A.1B.2C.3D.4
正解:
模相等的两个向量不一定相等,①错;|m|=|n|,|n|=|p|,所以|m|=|p|,又m与n同向,n与p同向,从而m与p同向,所以m=p,②对;零向量方向任意,但并不是没有方向,③错;④错.
C
正解依据:
(1)空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样.
(2)两个向量的模相等,只是它们的长度相等,但它们的方向不一定相同.
考点2:
空间向量加减法及运算律
例2
.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为AB、B1C的中点.用、、表示向量,则=________.
正解:
解析 =++
=++(+)
=++(-+)
=++.
正解依据:
(1)掌握好向量加、减法的三角形法则是解决这类问题的关键,灵活应用相反向量及两向量的和、差,可使这类题迅速获解,另外需注意零向量的书写要规范.
(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.
考点3:
对数函数的性质
例4.已知点G是△ABC的重心,O是空间任意一点,若++=λ,求λ的值.
正解:
解 连结CG并延长交AB于D,
则D为AB中点,且CG=2GD,
∴++
=+++++
=3+++
=3+2+
=3-+=3.
∴λ=3.
正解依据:
(1)根据向量加减运算的法则进行化简,注意向量的起点、终点;
(2)几何与向量结合及数形结合是常见的数学方法.
【易错题纠正案】(不少于3道例题)
例1下列说法正确的是( A ).
A.向量
与
的长度相等
B.将空间中所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个圆
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
例2在空间四边形ABCD中,2
+
+
-
+
=__________.
答案:
0
例3已知空间四边形
,连结
,设
分别是
的中点,化简下列各表达式,并标出化简结果向量:
(1)
;
(2)
;(3)
.
正解:
解:
如图,
(1)
;
(2)
;
(3)
.
【高考试题链接】
例1(2011·上海高考理科·T17)设
是平面上给定的5个不同点,则使
成立的点
的个数为()
(A)0.
(B)1.(C)5.
(D)10
.
正解:
在平面中我们知道“三角形ABC的重心
G满足:
”则此题就能很快的答出,点M即为这5个点的重心,即点M只有一个点。
【双基夯实训练】
一、选择题(答案直接附在题后)
1.下列说法中正确的是( B ).
A.若|a|=|b|,则a、b的长度相同,方向相同或相反
B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b|
C.空间向量的减法满足结合律
D.在四边形ABCD中,一定有+=
2.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′的棱所在向量中,与向量模相等的向量有( C ).
A.0个B.3个C.7个D.9个
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算结果为向量的共有( D )
(1)(+)+
(2)(+)+
(3)(+)+
(4)(+)+.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
4.已知G是正方形ABCD的中心,点P为正方形ABCD所在平面外一点,则+++=( A )
A.4B.3
C.2D.
5.如图所示,空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且=2,N为BC中点,则等于(B )
A.a-b+c
B.-a+b+c
C.a+b-c
D.a+b-c
6.已知正方体ABCD-A′B′C′D′,点E是A′C′的中点,点F是AE的三等分点,且AF=EF,则等于( D )
A.++B.++
C.++D.++
二、填空题(答案直接附在题后)
7.对于空间中的非零向量、、,有下列各式:
①+=;②-=;③||+||=||;④||-||=||.其中一定不成立的是_ ②_______.
8.设A,B,C,D为空间任意四点,则-+=________.
[答案]
9.已知点M是△ABC的重心,则++=________.
答案 0
10.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,向量表达式-+-的化简结果为________.
[答案] 2
三、解答题(答案直接附在题后)
11
.如图,在长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA1=1的长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中,
(1)单位向量共有多少个?
(2)试写出模为的所有向量;
(3)试写出与相等的所有向量;
(4)试写出的相反向量.
解
(1)由于长方体的高为1,所以长方体4条高所对应的向量、、、、、、、共8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共8个.
(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为,故模为的向量有、、、、、、、,共8个.
(3)与向量相等的所有向量(除它自身之外)共有、及,共3个.
(4)向量的相反向量为、、、,共4个.
12.在四面体ABCD中,E、F分别为棱AC、BD的中点,求证:
+++=4.
[证明] 左=(+)+(+)
=2+2=2(+)=4=右.得证.
13.A是△BCD所在平面外一点,M,N分别是△ABC和△ACD的重心,若BD=4试求MN的长.
[解析] 连AM并延长与BC相交于E,又连AN并延长与CD相交于F,则E、F分别是BC和CD之中点,
由=-
=-
=(-)=
=(-)=(-)
=(-)=
∴||=||=.
14.如图所示,在四面体O—ABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,试用a,b,c表示向量.
[解析] ∵E为AD的中点,根据向量的平行四边形法则.得=(+),
同理,可得=(+),
=++
=a+b+c.
15.如图所示,已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M、N分别为PC、PD上的点,且PMMC=21,N为PD中点,求满足=x+y+z的实数x、y、z的值.
[解析] 在PD上取一点F,使PF∶FD=2∶1,连结MF,则=+
而=-=-
==(-),===-.
∴=--+,
∴x=- y=- z=.
第三章 空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
3.1.2空间向量的数乘运算
【考点同步解读】
1.理解空间向量数乘运算的含义及运算律,并能进行向量数乘运算.
2.掌握向量的共线与共面定理,能够运用定理证明线线,线面,面面之间的平行关系.
考点1:
考点2:
空间向量共线,共面定理
例1有下列命题:
①若p=xa+yb,则p与a,b共面;
②若p与a,b共面,则p=xa+yb.
③若=x+y,则P,M,A、B共面;
④若P,M,A,B共面,则=x+y.
其中真命题的个数是( ).
A.1B.2C.3D.4
正解:
解析 其中①③为正确命题.
答案 B
正解依据:
(1)空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样.
(2)两个向量的模相等,只是它们的长度相等,但它们的方向不一定相同.
考点2:
空间向量的数乘向量的含义及运算
例2已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边CB、CD上的点,且=,=.求证:
四边形EFGH是梯形.
正解:
∵E、H分别是AB、AD的中点,
∴=,=,
=-
=-
=(-)==(-)
=(-)
=(-)
=,∴∥且||=||≠||.
又F不在上,∴四边形EFGH是梯形.
正解依据:
(1)掌握好向量加、减法的三角形法则是解决这类问题的关键,灵活应用相反向量及两向量的和、差,可使这类题迅速获解,另外需注意零向量的书写要规范.
(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.
考点3:
综合应用
例3.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)证明E,F,G,H四点共面;
(2)证明BD∥平面EFGH.
正解:
如图,连结EG,BG.
(1)∵=+
=+(+)
=++=+,
由向量共面的充要条件知:
E,F,G,H四点共面.
(2)法一 ∵=-=-=,
∴EH∥BD.
又EH⊂面EFGH,BD⊄面EFGH,
∴BD∥面EFGH.
法二 ∵=+=2+2
=2=2(+)=2+2,
又,不共线,∴与,共面.
又BD⊄面EFGH,∴BD∥面EFGH.
正解依据:
(1)根据向量加减运算的法则进行化简,注意向量的起点、终点;
(2)几何与向量结合及数形结合是常见的数学方法.
【易错题纠正案】
例1设空间四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则( ).
A.点P一定在直线AB上
B.点P一定不在直线AB上
C.点P可能在直线AB上,也可能不在直线AB上
D.与的方向一定相同
正解:
解析 已知m+n=1,则m=1-n,=(1-n)+n=-n+n⇒-=
n(-)⇒=n.因为≠0,所以和共线,即点A,P,B共线,故选A.
答案 A
例2以下命题:
①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量;②共线的两个向量互相平行;③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量;④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量.其中正确命题的序号是________.
正解:
解析 根据共面与共线向量的定义判定,易知②④正确.
答案 ②④
例3已知O是空间任一点,A,B,C,D四点满足任三点均不共线,但四点共面,且=2x+3y+4z,则2x+3y+4z=________.
正解:
=-2x-3y-4z,
由A,B,C,D四点共面,则有-2x-3y-4z=1,
∴2x+3y+4z=-1.
【高考试题链接】
例1对于任意空间四边形,试证明它的一组对边中点的连线段与另一组对边可平行于同一平面.
正解:
如图所示,空间四边形ABCD,E、F分别为AB、CD的中点,利用多边形加法法则可得,
=++,=++.①
又E、F分别是AB、CD的中点,故有
=-,=-.②
将②代入①后,两式相加得,2=+,
∴=+.
即与、共面,
∴EF与AD、BC可平行于同一平面.
【双基夯实训练】(6道选择题+4道填空题+5道解答题)
一、选择题(答案直接附在题后)
1.给出的下列几个命题:
①向量a,b,c共面,则它们所在的直线共面;
②零向量的方向是任意的;
③若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.其中真命题的个数为( B ).
A.0B.1C.2D.3
2.设空间四点O,A,B,P满足=+t,其中0 A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的延长线上 C.点P在线段BA的延长线上 D.点P不一定在直线AB上 5.A [解析]∵0 1.设a,b是不共线的两个向量,λ,μ∈R且λa+μb=0,则( B ) A.a=b=0 B.λ=μ=0 C.λ=0,b=0D.μ=0,a=0 3.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=2a,则(D ) A.m、n、p共线B.m与p共线 C.n与p共线D.m、n、p共面 4.对空间任一点O和不共线三点A,B,C,能得到P,A,B,C四点共面的是( B ) A.=++ B.=++ C.=-++ D.以上皆错 5.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有=x++,则x的值为( D ). A.1B.0C.3D. 6.已知O、A、B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2+=0,则等于( ). A.2-B.-+2 C.-D.-+ 解析 由已知得2(-)+(-)=0,∴=2-.答案 A 二、填空题 7.给出下列几个命题: ①a=“从上海往正北平移9km”,b=“从北京往正北平移3km”,那么a=3b; ②(a+b)+λc+λ(a+d)=b+(1+λ)a+λ(c+d); ③有直线l,且l∥a,在l上有点B,若+=2a,则C∈l. 其中正确的命题是________.[答案] ①②③ 8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若=x·+2y·+3z·,则x+y+z等于________.[答案] 9.如图所示,在四面体O—ABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=______(用a,b,c表示).答案 a+b+c 10.已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不为0的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n的值为________.答案 0 三、解答题(答案直接附在题后) 11.已知 , ,若 ,求实数 的值. 解: ∵ ∴ ∴ ∴ . 12.已知非零向量e1,e2不共线,如果 =e1+e2, =2e1+8e2, =3e1-3e2,求证: A、B、C、D共面. 证明令λ(e1+e2)+μ(2e1+8e2)+v(3e1-3e2)=0. 则(λ+2μ+3v)e1+(λ+8μ-3v)e2=0. ∵e1,e2不共线,∴易知是其中一组解, 则-5 + + =0.∴A、B、C、D共面. 13.已知A、B、C三点不共线,对平面ABC外的任一点,若点M满足=++. (1)判断、、三个向量是否共面. (2)判断点M是否在平面ABC内. [解析] 如图所示, (1)由已知得++=3, ∴-=(-)+(-). ∴=+=--,∴向量、、共面. (2)由 (1)知向量、、共面,三个向量的基线又过同一点M, ∴四点M、A、B、C共面.∴点M在平面ABC内. 14.在四面体ABCD中,P在面ABC内,Q在面BCD内,且满足=x+y,=s+t+u,若=,试判断线段AQ与DP的位置关系. [解析] 由=,则=.不妨假设==λ,则=λ+u, 所以A、P、D、Q四点共面.又AQ与DP不平行, 所以线段AQ与线段DP相交. 15.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1和A1D1的中点. 证明: 向量、、是共面向量. 证明 法一 =++=-+ =(+)-=-. 由向量共面的充要条件知,、、是共面向量. 法二 连结A1D、BD,取A1D中点G,连结FG、BG, 则有FG綉DD1,BE綉DD1, ∴FG綉BE. ∴四边形BEFG为平行四边形. ∴EF∥BG. ∴EF∥平面A1BD. 同理,B1C∥A1D,∴B1C∥平面A1BD, ∴、、都与平面A1BD平行. ∴、、共面. 第三章 空间向量与立体几何 3.1空间向量及其运算 3.1.3空间向量的数量积运算 【考点同步解读】 1.理解空间向量数量积运算的含义及运算律,掌握空间向量数量积运算的性质及几何意义. 2.能够进行空间向量数量积运算,. 3.掌握空间向量的夹角的概念并能证明垂直和求角. 考点1: 空间向量数量积运算的含义及运算律 例1: 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题: ①(++)2=32; ②·(-)=0; ③与的夹角为60°; ④正方体的体积为|··|. 其中正确命题的个数是( ) A.1B.2 C.3D.4 正解: 解析: 选B. 如图所示, (++)2=(++)2=2=32;·(-)=·=0;与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,故与的夹角为120°;正方体的体积为 ||||||.综上可知,①②正确,故选B. 考点2: 空间向量数量积运算, 例2已知正四面体OABC的棱长为1.求: (1)·; (2)(+)·(+); (3)|++|. 正解: (1)·=||·||·cos∠AOB =1×1×cos60°=. (2)(+)·(+) =(+)·(-+-) =(+)·(+-2) =12+1×1×cos60°-2×1×cos60°+1×1×cos60°+12-2×1×1×cos60°=1. (3)|++|= ==. 考点3: 利用数量积证明垂直 例3如图所示,已知空间四边形ABCD,连AC、BD,若AB=CD,AC=BD,E、F分别是AD、BC的中点,试用向量方法证明EF是AD与BC的公垂线. 正解: ∵点F是BC的中点,∴=(+). ∴=-=(+)-. 又||=||=|-|, ∴=2-2·+2① 同理=2=2-2·+2.② 由①代入②可得 2=2-2·+2-2·+2, ∴22-2·(+)=0 ∴·(+-)=0.∴·(+-)=0.∴·=0.∴⊥. 同理可得⊥.∴EF是AD与BC的公垂线. 考点3: 利用数量积求角 例3如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB、AD、CD的中点,计算: (1)·; (2)·; (3)EG的长; (4)异面直线AG与CE所成角的余弦值. 正解: 设=a,=b,=c.则|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, (1)==c-a,=-a,=b-c, (2)·=·(-a)=a2-a·c=, ·=(c-a)·(b-c)=(b·c-a·b-c2+a·c)=-; (3)=++=a+b-a+c-b=-a+b+c,||2=a2+b2+c2-a·b+b·c-c·a=,则||=. (4)=b+c, =+=-b+a,cos〈,〉==-, 由于异面直线所成角的范围是(0°,90°], 所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为. 【易错题纠正案】 例1设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD是( ) A.钝角三角形B.锐角三角形 C.直角三角形D.不确定 正解: 解析: 选B.如图所示, 设=a,=b,=c, ∴·=(a-b)·(c-b) =a·c-b·c-a·b+b2 =b2>0. 同理·>0,·>0. ∴△BCD的各内角均为锐角,即△BCD为锐角三角形. 例2设a,b,c是任意的非零向量,且它们互相不共线,则下列命题: ①(a·b)·c-(c·a)·b=0; ②|a|-|b|<|a-b|; ③(a·b)·c-(c·a)·b不与c垂直; ④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. 其中正确的有( ) A.①② B.②③ C.③④D.②④ 正解解析: 选D.①③不正确,②④正确. 例3在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD-A′B′C′D′中,AB=1,AD=2,AA′=3,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°,则AC′的长为________. 正解: 解析如图,=++=++, 所以|AC′|=||=|++| = ==. 答案 【高考试题链接】 例1设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC是( ) A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等边三角形 正解: 解析: 选B.∵+-2=(-)+(-)=+, ∴(+)·(-)=||2-||2=0,∴||=||. 例2已知|a|=2,|b|=,a·b=-,则〈a,b〉=________. 正解: cos〈a,b〉==-,∴〈a,b〉=. 例2[2013·南京二模]直三棱柱ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB′的中点. (1)求证: CE⊥A′D; (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值. 正解: 解: (1)证明: 设=a,=b,=c, 根据题意,|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0. ∴=b+c,=-c+b-a.∴·=-c2+b2=0, ∴⊥,即CE⊥A′D. (2)=-a+c,∴||=|a|,||=|a|. ·=(-a+c)·=c2=|a|2, ∴cos〈,〉==.即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为. 【双基夯实训练】 一、选择题(答案直接附在题后) 1.在空间四边形ABCD中,AB、AC、AD两两垂直,则下列结论不成立的是( C ) A.|++|=|+-| B.|++|2=||2+||2+||2 C.(++)·=0 D.·=·=· 2.在如图所示的正方体中,下列各对向量的夹角为135°的是( B ) A.与B.与C.与D.与 3.在空间四边形ABCD中,·+·+·=( B ) A.-1 B.0 C.1 D.不确定 4.已知a、b是异面直线,A、B∈a,C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是( C ) A.30°B.45° C.60°D.90° 5.空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则cos〈,〉等于( D ) A.B.C.-D.0 6.设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD是( B ) A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定 二、填空题(答案直接附在题后) 11.已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,①( + + )2=3 2;② ·( - )=0;③向量 与向量 的夹角是60°;④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为| · · |.其中正确命题的序号是________. 解析由 ⊥ , ⊥ , ⊥ ⊥ ,得( + + )2=3( )2,故①正确;②中 - = ,由于AB1⊥A1C,故②正确;③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°,但 与 的夹角为120°,故③不正确;④中| · · |=0.故④也不正确.答案①② 7.如图,空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,则OA与BC所成角的余弦值等于________. X 答案 8.已知a,b,c两两夹角都是60°,其模都是1,则|a-b+2c|=________.答案: . 9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则·=__________答案: a2. 10. 如图,四面体ABCD的每条棱长都等于2,点E,F分别为棱AB,AD的中点,则|+|=________,|-|=________,与所成角为________.答案: 2,,90° 三、解答题(答案直接附在题后
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