论九年一贯课程数学领域之暂行纲要.docx

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论九年一贯课程数学领域之暂行纲要

《本文於92.10.25發表在課程綱要實施檢討與展望研討會，國立台灣師範大學主辦》

論九年一貫課程數學領域之暫行綱要

鍾靜

國立台北師範學院數學教育學系

九年一貫課程自民國八十九年公佈總綱後，以課程綱要取代課程標準，培養十大基本能力、一貫國小國中課程、實施統整協同教學等，成為此次課程改革的主要特色。

數學領域雖然是單科成份，在總綱架構下進行發展；但是在其他領域都於民國九十二年初經修訂由暫行綱要轉成綱要之際，數學領域延遲半年多，在九十二年底才會公佈綱要，這顯示了數學領域有二派人馬較力，暫行綱要是由數學教育家主導，綱要是由數學家主導。

因此，本文仍以暫行綱要為主軸，進行相關議題的探討。

壹、暫行綱要的限制與特色

民國八十六年四月至八十七年九月成立「國民中小學課程發展專案小組」：

1.研訂國民中小學課程發展及修訂的共同原則，2.探討國民中小學課程共同性的基本架構，3.研討國民中小學課程應有的學習領域、授課時數比例等課程結構（教育部，民89a）。

數學領域就在總綱的規範下，突顯其因應的特色。

一、受限九年一貫課程的大架構

筆者認為，數學領域暫行綱要在發展時，在考量學科本質及學生學習的情況下，主要回應總綱的部份有下列數點：

1.國民教育

教育改革總諮議報告書的建議，將「健全國民教育──革新課程與教學」列為教育部教改方案的首要項目（教育部，民89b）。

在民主社會中，教育的主題是全體受教者，每位學習者都應獲得其適性發展的機會；課程應提供給每位學生充分發展的機會，及適應社會所需的基本能力，而不是少數精英獲利的特權（陳伯璋，民90）。

因此，數學領域暫行綱要考量國民應學習的數學內容，不以菁英教育為主；不是暫行綱要去銜接高中課程，而是高中課程來銜接此綱要。

2.統整課程

總綱也指出，未來學校在進行教學時，應以統整及合科教學為原則。

如此，各個教育階段課程的連貫和銜接、以及各個領域間的統整，才有實現的可能，並且因而能夠逐漸將前述的各項基本能力，落實到學生的生活層面，以培養出「可以帶走的基本能力」（教育部，民89b）。

課程規劃層面，應重視各學習領域之間的統整，使新課程彰顯其整體性、連續性、階段性及銜接性的特質！

避免課程教材內容零亂或重複；本次九年一貫課程改革在政策上特別強調「學習領域與統整教學」原則，俾建立統整知識概念與生活經驗的結合（林殿傑，民90）。

數學雖為單科自成一領域，為配合學科特性，所以以連結主題呼應統整課程，強調內部連結和外部連結。

3.時數領域

本次課程修訂的重點之一為，降低全年授課日數及各年級每週教學時數，以減輕學生的負擔。

為了下一代的身心發展與快樂學習，新課程將貫徹「減少學校上課時數、保留教學彈性」之原則，盡量提供學校發展課程特色、安排各類活動的自主空間，提供孩子快樂的學習課程（林殿傑，民90）。

數學佔領域學習節數之10%-15%；因此，筆者看到各校在學習領域節數的排課情形大都如下表1：

表1：

新舊課程數學教學節數比較表

年級

一年

二年

三年

四年

五年

六年

七年

八年

九年

現在節數

3

3

3

3

4

4

4

4

4

2

2

3.5

3.5

4

4

過去節數

3

3

4

4

6

6

4

4~5

6

3~4

4

4~5

國中有基本學力測驗的壓力，大多數學校會利用彈性教學節數增加1節。

但是，在國小部份相較以往節數大大縮減，考量學生的學習效果，並延續教育部之前的政策：

國民教育階段課程要淺化、簡化，因此有部份不適合國小學童學習的材料會往後延至國中。

4.階段指標

以往中小學課程規劃，偏向學科取向之知識本位，在各自獨立發展情況下，常發生課程架構不協調、內容未銜接或不連貫情形，難以達成知識統整及應用，以致學生有課業負擔沉重之感，因此，未來新課程應特別強調「一到九年級課程的一貫性與統整性」，以學生生活經驗為中心，兼顧國際化、本土化趨勢（林殿傑，民90）。

各學習領域學習階段係參照該學習領域之知識結構及學習心理之連續發展原則而劃分，每一階段均有其能力指標（教育部，民89b）。

各領域學習階段之劃分不予統一；惟同一學階段內，如相關能力指標涉及進階性，應註明並排列其先後順序（教育部，民91a）。

因此，數學領域暫行綱要考慮學生的學習方式和思考型態來劃分階段，並訂出每一階段的能力指標；若以階段來訂能力指標，對數學本質的系統和範圍的考慮很難周全。

5.能力導向

為了培養學生學以致用、解決問題與自我探索的能力，未來課程規劃將以生活基本能力為主要設計理念，期望改變傳統以知識為導向的課程設計，邁向學生生活經驗的應用與統整，並解決過去「升學主義、偏頗智育」所帶來的教學不正常現象（林殿傑，民90）。

配合總綱強調生活基本能力的培養，及學生生活經驗的應用與統整，本數學課程自然強調與生活的關連。

總之，因應總綱的大架構，數學領域暫行綱要也配合學科特性及學童認知發展，產生了以下的特色與內涵。

二、數學領域暫行綱要的特色與內涵

九年一貫數學領域暫行綱要（教育部，民89a、民91b）中，筆者將其數點特色及內涵呈現如下：

1.強調學生認知階段

數學領域是以學生的學習特徵，包括：

學習方式和思考型態來劃分小一到國三的學習階段，而不同於其他領域是以學制來分階段的方式。

數學的學習特別強調由「具體操作」入手，而具體操作是指學童藉由具體物、半具體物（圖像）、和符號…等表徵，來掌握當下操弄數學物件或活動時的概念；再經由逐步抽象化到「符號表徵」。

因此分成四個階段，階段之說明如下表2，其中第三階段的銜接，是此課程面臨最大挑戰之處。

表2：

數學領域的四個階段

階段

（年級）

學習特微

說明

學習方式

思考型態

一（1~3）

具體操作

視覺（知覺性）

量算術思維

二（4~5）

具體表徵

察覺樣式（pattern）

三（6~7）

類化具體表徵

辨識樣式間的關係

四（8~9）

符號表徵

樣式間的非形式化演繹

數代數思維

從學生的認知發展來看，第三階段之小六和國一學生的認知發展依據皮亞傑的理論，是正逐漸從具體運思到形式運思的過渡期。

此階段學生的數學思維特徵，正處於算術運算逐漸過渡到學習使用符號表徵、代數運算等代數想法來解題。

不但要做單元間的橫向連結，更要做觀念上由具體「量」到抽象「數」，由「算術思維」發展到「代數思維」的縱向連結。

各階段的學習活動在前一階段宜有跡可循；其所選擇的學習材料及設計的學習活動，以能充分因應下一階段學習時學生所應具備的需求為原則。

後階段包含了前階段的學習方式與思考型態，並非是全有或全無的截然劃分，而是有依賴程度之別，具體操作與符號表徵在各階段均有需要，只是程度不同，可詳如下圖1：

具體操作

第一階段

第二階段

第三階段

第四階段

符號表徵

圖1：

數學領域的具體操作和符號表徵

2.突顯國中小銜接

數學領域學習階段的劃分打破國小、國中的學制框架，將六、七年級劃歸成階段三，規劃小組的看法如下：

從學生的認知發展看，六、七年級的學生實歳十一、十二。

根據皮亞傑的理論這時學生的認知發展正逐漸從具體運思到形式運思的過渡期。

根據比例推理的實徵性調查，此階段的學生可以處理簡單整數倍的問題，具備發展分數倍概念的能力；此階段學生的數學思維特徵，也處於算術思維與代數思維的過渡期；對於解決數學問題，由原先純依賴算術運算，逐漸過渡到學習利用符號表徵，代數運算等代數想法來解題。

從學生的認知階段，推理能力與思維特徵分析十一、十二歲的學生絕大部分都是處於發展的過渡期。

過渡期間的發展，差異性很大。

九年一貫課程的精神是人本，重視每個學生的學習發展。

數學領域自訂了每一學習活動都要讓80%學生能夠進行有意義的學習，故特地安排此過渡期為一階段，讓學生有機會來來回回，成功地過渡。

3.以「連結」主題為核心

數學領域除數學內容有關的能力指標外，還有連結（connection）這一主題。

其包括：

內部連結和外部連結，數學內部的連結可貫穿數與量、圖形與空間、代數、統計與機率等四個主題，強調的是解題能力的培養；數學外部的連結則強調生活及其他領域中數學問題的察覺（recognition）、轉化（transformation）、解題（problemsolving）、溝通（communication）、評析（evaluation）諸能力的培養。

具備這些能力，一方面增進學生在日常生活方面的數學素養，能廣泛地應用數學，提高生活品質，另一方面也能加強其數學式的思維，有助於個人在生涯中求進一步的發展。

連結的能力指標不再分段，各階段四個主題的能力要與連結的能力相配合培養，而連結的能力經過各階段後會愈來愈強。

筆者認為：

學生的數學學習要藉由內部的連結來掌握數學的方法，增進數學的素養；並藉由外部的連結來廣泛的應用數學，加強數學式的思維。

此外在教學歷程中對某議題只有幾句話的言談或活動，都不能稱作連結或統整。

唯有重視數學整體脈絡，而不是一堆複雜且沒有關連的話語或活動的連結，這樣才能幫助學生達成數學概念學習的發展與應用。

若根據統整課程要素的六類分法（黃嘉雄，民89）：

1.前後經驗，2.內容之間，3.內容與生活，4.內容與社會，5.目標之間，6.師生之間。

再配合連結主題來看，可以整理如圖2。

前後經驗

內容之間

內容與生活

內容與社會

目標之間

師生之間

圖2：

統整課程要素與連結主題

其中，關於認知、技能、情意，三者目標之間，以及師生之間的二個統整要素，可以說成是教學的五部曲（朱建正，民91）。

所以，筆者認為從連結的五個主要能力來看教學，強調的就是教師佈置情境鷹架，協助學生在其近側發展區（ zoneofproximaldevelopment,ZPD）（Vygotsky,1978）向上攀升，認同社會互動對知識學習者的重要性。

4.重視「樣式」的數學意義

我們周遭的自然與社會環境中，到處可見數與形，而各種數與形都有規律，數學探討的就是這些規律。

而「樣式」這個詞，是英文pattern這個字的譯意。

通常我們說的規律（rule）、模型（model）、形式（form）、結構（structure）等，都是數學要尋找的、要探討的，它們之間並不完全可以區分，也不見得有其中的哪一個可以統攝全體。

pattern這個字不但可以統攝這些意義，更可包含不那麼一眼就可認識的規律、模型、形式、結構等，譬如各種棋戲的戰略、圖表所顯示的趨勢、解題的策略等。

Pattern這個字可以譯為「式樣」，也可以譯為「樣式」；「樣式」似乎更能傳神。

學童的數學知識形成，是透過察覺樣式，再辨識樣式間的關係，進行樣式間的非形式化演譯，到形式化演譯階段。

5.期望80%學生能夠學習

根據過去課程綱要標準，實際的教學與評量反映，小學一、二年級的學生九成以上都能進行有意義的數學學習活動。

往後，則逐年遞減，到義務教育最後階段，可能降至五、六成而已。

全國性的調查顯示：

像比例推理、平面幾何證明到了國三大約只有四成學生能掌握。

本課程所訂的分段能力指標，做為學習之內容選取與活動設計參照準則時，要能夠讓八成以上的學生進行有意義的學習。

然而，回顧過去課程規劃，並沒有以「80%學生能夠學習」的訴求設計，而本國學生的實徵研究資料中，亦缺乏與「80%學生能夠學習」訴求相關的研究，因此只能以更開放的角度來看，根據教師的經驗、專家的見解及相關的理論，研討齣各學習階段的學生，其思考型態及學習方式的主要特徵，並參照該特徵訂定岀各階段的能力指標。

因此，提供80%以上的學生，對課程綱要內每個階段的學習內容，都具有學習能力；對課程綱要內每個階段的學習活動，都具有學習機會，也就是讓每一階段的學生都能進行有意義的學習。

對有專業教學經驗的老師而言，一個班級的學生中一定有較差、普通、較優程度的學生，老師可從學生上課的反應中知道是否有80%的學生在參與教學活動。

相關的配合措施有：

（1）對於未能達到全部能力指標的部份學生，各校可利用彈性教學時數進行補教教學，使得這些學生都能達到該階段全部的能力指標，以利於下一階段的學習。

（2）本課程以「80%學生能夠學習」為訴求，對於能力較好的學生，其需求並無法滿足，各校可利用彈性教學時數補充額外的教材，例如函數名稱、方根運算、部份乘法公式、等差等比、多項式的四則運算、一次不等式的解和銳角三角函數等。

另外，高中課程進行時，需以上述題材為基礎的部分，應於教學前檢驗學生是否具備。

總之，數學單科自成一個領域，其主要內涵包含：

數、形、量基本概念之認知、具運算能力、組織能力，並能應用於日常生活中，了解推理、解題思考過程，以及與他人溝通數學內涵的能力，並能做與其他學習領域適當題材相關之連結。

貳、符合數學課程發展的趨勢

數學領域暫行綱要是否符合國際趨勢？

近20年來國小和國中的數學教育目標已被擴大要考慮數學本質（theessentialaspectsofnumeracy）以及社會中的數學讀寫能力（mathematicalliteracy）；從這些較大的改變，可以看出世界上大部份的國家所希望達成的目標是（Niss,1996）：

1.要為每位兒童提供內容充實的數學教育，不能只考慮未來的社會菁英分子；

2.要提供不同教與學的機會給個別的學習者，注意學生的個別差異；

3.要強調學習者的態度能夠參與及合作；

4.要評估兒童的數學潛能，以達成實行較高層數學的教與學目標；

5.要聚焦在個別學習者的需求和興趣上，是為在個人和社會生活方面的活動參與做準備；

6.要發展兒童的自重和自信，能夠獨立和自動的思考，培養探索和研究的態度，產生經驗和愉悅…等等；

7.要強調兒童的數學活動，而非被動的接受知識；

8.要強調數學的過程，如：

探究、推測、解題、發表、證明…等，不能僅重結果，如：

概念、結論、方法、技能…等；

9.要培養數學的思考和創造力，強調數學是人類活動累積五千年的生活成果；

10.要付予兒童去定義、提出、形成和解決數學問題，不論在純數或應用數學方面；

11.要付予兒童去瞭解和鑑賞數學本質；

12.要付予兒童使用數學，對數學外（extra-mathematical）情境產生模式和模式化意義；

13.要付予兒童去分析和判斷數學外脈絡的數學使用；

14.要提供學生對社會和文化中數學角色產生印象和洞察；

15.要塑造兒童精通於有關數學的資料處理。

其中第1~4點是屬於外在目標，而第5~15點均屬於內在目標。

檢視這些目標幾乎每點都以兒童或學生為重，從這些目標也可看出數學教育的趨勢在重視學習者個體、數學知識形成的過程，與社會文化活動的關連；除了數學知識外，數學課程還有很多的情意、文化、社會目標。

美國數學教師協會（NationalCouncilofTeachersofMathematics,NCTM）出版的「學校數學課程與評鑑標準（CurriculumandEvaluationStandardsforSchoolMathematics）」指出，數學真實教導的想法是將數學看做是解題、溝通、推理，認為學習數學正如一個積極的建構過程，教學應教導與生活連結的真實問題；文中亦提出五項學生目標，其內容包括：

認識數學的價值、增進對自己數學學習能力的信心、要學習數學性的溝通、要成為數學問題的解決者、要從事數學推理，這些目標都指向學生數學能力的發展（NCTM,1989）。

另外，NCTM（2000）所發表的「學校數學的原則與標準」（PrincipleandStandardsforSchoolMathematics），在學習方面指出：

學生應該用理解的方式來學習數學，積極的在過去經驗與先前知識上建立新知；在教學原則方面指出：

有效的數學教學必須瞭解學生知道了什麼和需要學習什麼，才能加以刺激和鼓勵他們學習得更好。

因此，數學的教與學更重視的是有意義、講道理的過程，培養學童真正的能力，而非強記的知識。

真實數學（RealisticMathematicsEducation,RME）是荷蘭近30年來為回應機械式的數學教育所做的改革，其根本想法認為數學是人類的活動，它從來沒有被考慮成一種固定的或終了的數學教育理論，其中的重要特徵是聚焦在學生知識和數學瞭解的過程；〝真實〞的意涵，不僅是要求數學和真實世界做連結，而更應重視提供學生可以想像的問題情境，在真實數學裡，脈絡問題和真實生活情境都被利用來組織數學概念和應用數學概念，學生可以發展自己的數學工具和對數學的瞭解（Marja,1998）。

這觀點所強調的就是以學生為本位的學習，教師則是學習的協調者；另外，真實數學的關鍵教學方式是提供分享個人經驗給他人的機會，強調社群的互動討論對習得數學知識是很有幫助的。

綜觀這些國家的發展趨勢，可以看出現今數學教育重視以學生為中心、與他人互動的學習方式，並且將數學與生活作連結。

數學的學習若由教師直接傳授是不可行的，教學應強調利用學生先前知識為基礎建立新知，理解的學習才是習得知識的方法；在學習過程中，與教師、同儕間互動，促使學生構思、發表、討論與評論，將有助於數學觀念的學習與釐清；此外，學習數學的目的是將數學運用於生活中，學習內容的安排應涵蓋學生整體生活，讓學生面對真正的生活情境，而非特定的學科知識。

九年一貫課程數學領域暫行綱要方面（教育部，民89a），更明訂期望學生能形成數學問題與解決的能力，以數學作為明確表達、理解溝通工具的能力，培養批判分析和欣賞數學的能力。

為達到這些目標，數學學習活動應讓學生都能積極參與討論，激盪各種想法，激發創造力，明確表達想法，強化合理判斷的思維與理性溝通的能力，期在社會互動中建立數學知識；在教學方面，注意學生的直觀經驗、適當的引導與啟發、利用溝通與討論的方式等，均是其重要的教學理念。

由此可知，九年一貫之教學理念是符合世界教育潮流的，強調以學生學習為本位的教學，社會互動的學習方式，以及數學和生活情境…等的關連。

參、數學課程改革的探討

而本次數學領域暫行綱要，除了突顯教育哲學觀中「教書」轉為「教人」、配合學童的認知發展階段外，更加重視數學與生活等的外部連結。

改革是有足跡可循的。

一、從六十四年版到八十二年版

在以往的小學數學課程裡，這樣教材「罐子裡有57顆糖果，再放進幾顆，罐子裡就有85顆糖果？

」的處理，就是直接告訴學生，這問題的解法雖然有許多種，但最有效的方法，就是列式成85-57=（），然後用直式求答。

為了加強這種教學的效果，老師會出許多類似題給學生反覆練習，使熟練到自動化（立即反射）的程度。

沒有理解的記憶，通常只能停留很短暫的時間。

因此，六十四年版的數學教學的缺點，除了上述的不重視知識形成的過程，只要求學生記住最後的結果外，還缺乏對知識作檢驗和批判的講究；事實上，這樣的學生在小學四、五年級開始討厭數學，升國中後害怕數學，到了高中拒絕數學而選讀文組，大學聯考時放棄數學（黃敏晃，民83）。

只重視結果，而不重視過程的數學教學，往往學生只會模仿專家解法、不會問問題、不會解非例行問題，並且喪失學習的興趣和自信，不能產生有意義的學習。

雖然，民國八十二年版和民國六十四年版國小數學課程相較，若就總目標分析是相同的（教育部，民64；教育部，民82）：

國民小學數學教育目標，在於輔導兒童從日常生活經驗中，獲得有關數學的知識，進而培養有效運用數學方法，以解決實際問題的態度及能力。

但是分述其要點時卻產了許多差異：

新課程強調學習者主動地從自己的經驗中，建構與理解數學概念，了解、評鑑及尊重別人解題的方式與觀點，培養溝通、討論、講道理和批判事物的精神以及善用各類工具；而舊課程是針對數、量、形三個領域的學習，使學生獲得這三個領域的基本知識、原理、技能與相互關係（楊瑞智，民85）。

因此，數學新課程標準在教育目標方面凸顯「兒童本位」及「民主素養」，特別對數學知識的獲得強調經驗和過程。

所以，在教材編組方面要求應安排適當的活動，讓兒童獲得足夠的具體經驗，透過兒童熟悉的生活情境來發展概念，進而抽象到形式化的數學。

二、從八十二年版到九年一貫暫行綱要

前次國小課程標準是民國82年公布的（教育部，民82）、國中課程標準是民國83年公布的（教育部，民83），距離本次九年一貫課程的改革為時並不遠。

但為創造學校教育的新境界，進而整合國民教育階段的課程，強調課程之規劃與實施，來突顯學校教育的核心是課程與教材，以促使教師發揮專業於教學，乃是此次課程改革的重點和新意。

跨世紀的九年一貫課程的基本內涵包括（教育部，民89a）：

1.人本情懷方面：

包括瞭解自我、尊重與欣賞他人及不同文化等。

2.統整能力方面：

包括理性和感性之調和、知與行之合一，人文與科技之整合等。

3.民主素養方面：

包括自我表達、獨立思考、與人溝通、包容異己、團隊合作、社會服務、負責守法等。

4.鄉土與國際意識方面：

包括鄉土情、愛國心、世界觀等（涵蓋文化與生態）。

5.終身學習方面：

包括主動探究、解決問題、資訊與語言之運用等。

數學領域早在前次之八十二年國小課程中針對第一、三、五點著墨甚多，其教育目標強調「兒童本位」、「民主素養」，學科目標著重「解題為本」、「活動取向」。

所以，從數學課程來看，改革的分水嶺是民國六十四年版和民國八十二年版，而九年一貫課程是民國八十二年版的延續和擴充；課程理念由「學科中心」轉向「學生中心」，教材組織由「學科組織邏輯」轉向「學科發生邏輯」，教學方法由「講述式教學」轉向「討論式教學」（鍾靜，民88、民90a）外，九年一貫版本再擴展的是數學的外部連結。

總之，綜合不同年代數學課程的特性，可詳下表3：

表3：

數學課程不同年代版本的特性

版本

特性

備註

國小數學64年版

論理結構、知識導向、教具操作

國小數學82年版

心理結構、知識建構、認知發展

九年一貫數學暫行綱要

心理結構、學習方式、能力培養

接近國小82年版、國中83年版

九年一貫數學綱要

知識導向、演算能力、銜接高中

接近國小64年版、國中67年版

其中，數學家主導的九年一貫數學綱要（綱要修訂小組，民92）強調的理念是：

除了數學知識外，演算能力、抽象能力及推論能力的培養是整個數學教育的主軸。

所謂的數學能力，是指對數學掌握的綜合性能力以及對數學有整體性的感覺。

在學習數學時，一般重視的是觀念和演算，但學生的數學經驗（或數學感覺）的培養卻是同等重要。

要確保學生能學好新數學題材的要素之一，旨在如何引導並利用學生的先置經驗（或感覺），這種數學的經驗或感覺就是數學的直覺或直觀。

學生數學能力的深化，奠基在揉合舊有的直觀和新的觀念或題材，進而擴展成一種新的直觀。

在認知能力上，直觀是思維流暢的具體展現；在能力培養上，直觀讓學生能從根本上，擺脫數學形式規則的束縛，豐富學童在抽象層次上的想像力與觀察能力，這二者是兒童數學智能發展中的重要指標。

具體而言，九年一貫數學學習領域的教學總體目標為：

1.培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。

2.學習應用問題的解題方法。

3.奠定下一階段的數學基礎。

4.培養欣賞數學的態度及能力。

肆、實施的狀況與困境

九年一貫課程各領域暫行綱要之試辦工作自八十八年九月至九十年八月共二年。

第一年以行政組織運作規劃、課程設計與發展為主，第二年則實際模擬新課程情境進行教學或編輯教材，並使第一階段所建立之行政、教學機制順利進行（教育部，民89b）。

試辦學校數第一年為二百多所，第二年增至三百多所。

接著，九十學年度一年級全面實施，九十一學年度一、二、四、七年級全面實施，至今九十二年度一、二、三、四、五、七、八年級全面實施。

就數學領域而言，下列數點是值得深思的。

一、試辦時少見數學領域的教學

試辦初期以行政之課程發展委員會運作、發展校本課程設計為主，甚少涉及數學領域的教學。

而且，此次試辦並無試用版本教材，如何能藉試辦瞭解實施時之真況。

從九十學年至今，教科用書都是打帶跑，教師看不見教材完整的全貌，對重視兒童認知發展