九年级数学《二次函数》教案.docx
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九年级数学《二次函数》教案
26.1 二次函数
(1)
教学目标:
(1)能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。
(2)注重学生参与,联系实际,丰富学生的感性认识,培养学生的良好的学习习惯
重点难点:
能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。
教学过程:
一、试一试
1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm,先取x的一些值,算出矩形的另一边BC的长,进而得出矩形的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中,
AB长x(m)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
BC长(m)
12
面积y(m2)
48
2.x的值是否可以任意取?
有限定范围吗?
3.我们发现,当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也随之确定,y是x的函数,试写出这个函数的关系式,
对于1.,可让学生根据表中给出的AB的长,填出相应的BC的长和面积,然后引导学生观察表格中数据的变化情况,提出问题:
(1)从所填表格中,你能发现什么?
(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?
让学生思考、交流、发表意见,达成共识:
当AB的长为5cm,BC的长为10m时,围成的矩形面积最大;最大面积为50m2。
对于2,可让学生分组讨论、交流,然后各组派代表发表意见。
形成共识,x的值不可以任意取,有限定范围,其范围是0<x<10。
对于3,教师可提出问题,
(1)当AB=xm时,BC长等于多少m?
(2)面积y等于多少?
并指出y=x(20-2x)(0<x<10)就是所求的函数关系式.
二、提出问题
某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件。
将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?
三、观察;概括
1.教师引导学生观察函数关系式
(1)和
(2),提出以下问题让学生思考回答;
(1)函数关系式
(1)和
(2)的自变量各有几个?
(各有1个)
(2)多项式-2x2+20和-100x2+100x+200分别是几次多项式?
(分别是二次多项式)
(3)函数关系式
(1)和
(2)有什么共同特点?
(都是用自变量的二次多项式来表示的)
(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点?
让学生讨论、交流,发表意见,归结为:
自变量x为何值时,函数y取得最大值。
2.二次函数定义:
形如y=ax2+bx+c(a、b、、c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数,a叫做二次函数的系数,b叫做一次项的系数,c叫作常数项.
四、课堂练习
1.(口答)下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=5x+1
(2)y=4x2-1(3)y=2x3-3x2(4)y=5x4-3x+1
2.P3练习第1,2题。
五、小结
1.请叙述二次函数的定义.
2,许多实际问题可以转化为二次函数来解决,请你联系生活实际,编一道二次函数应用题,并写出函数关系式。
六、作业:
26.1 二次函数
(2)
教学目标:
1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象,理解抛物线的有关概念。
2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯
重点难点:
重点:
使学生理解抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象是教学的重点。
难点:
用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。
教学过程:
一、提出问题
1,同学们可以回想一下,一次函数的性质是如何研究的?
(先画出一次函数的图象,然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)
2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?
如果可以,应先研究什么?
(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质,应先研究二次函数的图象)
3.一次函数的图象是什么?
二次函数的图象是什么?
二、范例
例1、画二次函数y=ax2的图象。
解:
(1)列表:
在x的取值范围内列出函数对应值表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(2)在直角坐标系中描点:
用表里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点
(3)连线:
用光滑的曲线顺次连结各点,得到函数y=x2的图象,如图所示。
提问:
观察这个函数的图象,它有什么特点?
让学生观察,思考、讨论、交流,归结为:
它有一条对称轴,且对称轴和图象有一点交点。
抛物线概念:
像这样的曲线通常叫做抛物线。
顶点概念:
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
三、做一做
1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2与y=-x2的图象,观察并比较两个图象,你发现有什么共同点?
又有什么区别?
2.在同一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=-2x2的图象,观察并比较这两个函数的图象,你能发现什么?
3.将所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么?
,教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论:
四个函数的图象都是抛物线,都关于y轴对称,它的顶点坐标都是(0,0).
四、归纳、概括
函数y=x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例,由函数y=x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2的图象的共同特点,可猜想:
函数y=ax2的图象是一条________,它关于______对称,它的顶点坐标是______。
如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质,应如何分类?
为什么?
让学生观察y=x2、y=2x2的图象,填空;
当a>0时,抛物线y=ax2开口______,在对称轴的左边,曲线自左向右______;在对称轴的右边,曲线自左向右______,______是抛物线上位置最低的点。
图象的这些特点反映了函数的什么性质?
先让学生观察下图,回答以下问题;
(1)XA、XB大小关系如何?
是否都小于0?
(2)yA、yB大小关系如何?
(3)XC、XD大小关系如何?
是否都大于0?
(4)yC、yD大小关系如何?
(XA 其次,让学生填空。 当X<0时,函数值y随着x的增大而______,当X>O时,函数值y随X的增大而______;当X=______时,函数值y=ax2(a>0)取得最小值,最小值y=______ 以上结论就是当a>0时,函数y=ax2的性质。 思考以下问题: 观察函数y=-x2、y=-2x2的图象,试作出类似的概括,当a 它反映了当a 五、课堂练习: P6练习1、2、3、4。 六、作业: 1.如何画出函数y=ax2的图象? 2.函数y=ax2具有哪些性质? 3.谈谈你对本节课学习的体会。 26.1二次函数(3) 教学目标: 1、使学生能利用描点法正确作出函数y=ax2+b的图象。 2、让学生经历二次函数y=ax2+bx+c性质探究的过程,理解二次函数y=ax2+b的性质及它与函数y=ax2的关系。 重点难点: 会用描点法画出二次函数y=ax2+b的图象,理解二次函数y=ax2+b的性质,理解函数y=ax2+b与函数y=ax2的相互关系是教学重点。 正确理解二次函数y=ax2+b的性质,理解抛物线y=ax2+b与抛物线y=ax2的关系是教学的难点。 教学过程: 一、提出问题 1.二次函数y=2x2的图象是____,它的开口向_____,顶点坐标是_____;对称轴是______,在对称轴的左侧,y随x的增大而______,在对称轴的右侧,y随x的增大而______,函数y=ax2与x=______时,取最______值,其最______值是______。 2.二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同? 二、分析问题,解决问题 问题1: 对于前面提出的第2个问题,你将采取什么方法加以研究? (画出函数y=2x2和函数y=2x2的图象,并加以比较) 问题2,你能在同一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象吗? 教学要点 1.先让学生回顾二次函数画图的三个步骤,按照画图步骤画出函数y=2x2的图象。 2.教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值,为什么不必单独列出函数y=2x2+1的对应值表,并让学生画出函数y=2x2+1的图象. 3.教师写出解题过程,同学生所画图象进行比较。 解: (1)列表: x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 18 8 2 0 2 8 18 … y=x2+1 … 19 9 3 l 3 9 19 … (2)描点: 用表里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点。 (3)连线: 用光滑曲线顺次连接各点,得到函数y=2x2和y=2x2+1的图象。 (图象略) 问题3: 当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系? 反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系? 教师引导学生观察上表,当x依次取-3,-2,-1,0,1,2,3时,两个函数的函数值 之间有什么关系,由此让学生归纳得到,当自变量x取同一数值时,函数y=2x2+1的函数值都比函数y=2x2的函数值大1。 教师引导学生观察函数y=2x2+1和y=2x2的图象,先研究点(-1,2)和点(-1,3)、点(0,0)和点(0,1)、点(1,2)和点(1,3)位置关系,让学生归纳得到: 反映在图象上,函数y=2x2+1的图象上的点都是由函数y=2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。 问题4: 函数y=2x2+1和y=2x2的图象有什么联系? 由问题3的探索,可以得到结论: 函数y=2x2+1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的。 问题5: 现在你能回答前面提出的第2个问题了吗? 让学生观察两个函数图象,说出函数y=2x2+1与y=2x2的图象开口方向、对称轴相同,但顶点坐标不同,函数y=2x2的图象的顶点坐标是(0,0),而函数y=2x2+1的图象的顶点坐标是(0,1)。 问题6: 你能由函数y=2x2的性质,得到函数y=2x2+1的一些性质吗? 完成填空: 当x______时,函数值y随x的增大而减小;当x______时,函数值y随x的增大而增大,当x______时,函数取得最______值,最______值y=______. 以上就是函数y=2x2+1的性质。 三、做一做 问题7: 先在同一直角坐标系中画出函数y=2x2-2与函数y=2x2的图象,再作比较,说说它们有什么联系和区别? 教学要点 1.在学生画函数图象的同时,教师巡视指导; 2.让学生发表意见,归纳为: 函数y=2x2-2与函数y=2x2的图象的开口方向、对称轴相同,但顶点坐标不同。 函数y=2x2-2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向下平移两个单位得到的。 问题8: 你能说出函数y=2x2-2的图象的开口方向,对称轴和顶点坐标,以及这个函数的性质吗? 教学要点 1.让学生口答,函数y=2x2-2的图象的开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标是(0,-2); 2.分组讨论这个函数的性质,各组选派一名代表发言,达成共识: 当x<0时,函数 值y随x的增大而减小;当x>0时,函数值y随x的增大而增大,当x=0时,函数取得 最小值,最小值y=-2。 问题9: 在同一直角坐标系中。 函数y=- x2+2图象与函数y=- x2的图象有什么关系? 要求学生能够画出函数y=- x2与函数y=- x2+2的草图,由草图观察得出结论: 函数y=- 1/3x2+2的图象与函数y=- x2的图象的开口方向、对称轴相同,但顶点坐标不同,函数y=- x2+2的图象可以看成将函数y=- x2的图象向上平移两个单位得到的。 问题10: 你能说出函数y=- x2+2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? [函数y=- x2+2的图象的开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标是(0,2)] 问题11: 这个函数图象有哪些性质? 让学生观察函数y=- x2+2的图象得出性质: 当x<0时,函数值y随x的增大而增大;当x>0时,函数值y随x的增大而减小;当x=0时,函数取得最大值,最大值y=2。 四、练习: P9练习1、2、3。 五、小结 1.在同一直角坐标系中,函数y=ax2+k的图象与函数y=ax2的图象具有什么关系? 2.你能说出函数y=ax2+k具有哪些性质? 六、作业: 1.P19习题26.21. (1)2.选用课时作业优化设计. 第一课时作业优化设计 1.分别在同一直角坐标系中,画出下列各组两个二次函数的图象。 (1)y=-2x2与y=-2x2-2; (2)y=3x2+1与y=3x2-1。 2.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象, y= x2,y= x2+2,y= x2-2 观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。 你能说出抛物线y= x2+k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗? 3.根据上题的结果,试说明: 分别通过怎样的平移,可以由抛物线y= x2得到抛 物线y= x2+2和y= x2-2? 4.试说出函数y= x2,y= x2+2,y= x2-2的图象所具有的共同性质。 26.1 二次函数(4) 教学目标: 1.使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x—h)2的图象。 2.让学生经历二次函数y=a(x-h)2性质探究的过程,理解函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系。 重点难点: 重点: 会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图象,理解二次函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系是教学的重点。 难点: 理解二次函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系是教学的难点。 教学过程: 一、提出问题 1.在同一直角坐标系内,画出二次函数y=- x2,y=- x2-1的图象,并回答: (1)两条抛物线的位置关系。 (2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。 (3)说出它们所具有的公共性质。 2.二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗? 这两个函数的图象之间有什么关系? 二、分析问题,解决问题 问题1: 你将用什么方法来研究上面提出的问题? (画出二次函数y=2(x-1)2和二次函数y=2x2的图象,并加以观察) 问题2: 你能在同一直角坐标系中,画出二次函数y=2x2与y=2(x-1)2的图象吗? 教学要点 1.让学生完成下表填空。 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x2 y=2(x-1)2 2.让学生在直角坐标系中画出图来: 3.教师巡视、指导。 问题3: 现在你能回答前面提出的问题吗? 教学要点 1.教师引导学生观察画出的两个函数图象.根据所画出的图象,完成以下填空: 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2x2 y=2(x-1)2 2.让学生分组讨论,交流合作,各组选派代表发表意见,达成共识: 函数y=2(x-1)2与y=2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同;函数y=2(x一1)2的图象可以看作是函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的,它的对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,0)。 问题4: 你可以由函数y=2x2的性质,得到函数y=2(x-1)2的性质吗? 教学要点 1.教师引导学生回顾二次函数y=2x2的性质,并观察二次函数y=2(x-1)2的图象; 2.让学生完成以下填空: 当x______时,函数值y随x的增大而减小;当x______时,函数值y随x的增大而增大;当x=______时,函数取得最______值y=______。 三、做一做 问题5: 你能在同一直角坐标系中画出函数y=2(x+1)2与函数y=2x2的图象,并比较它们的联系和区别吗? 教学要点 1.在学生画函数图象的同时,教师巡视、指导;2.请两位同学上台板演,教师讲评; 3.让学生发表不同的意见,归结为: 函数y=2(x+1)2与函数y=2x2的图象开口方向相同,但顶点坐标和对称轴不同;函数y=2(x+1)2的图象可以看作是将函数y=2x2的图象向左平移1个单位得到的。 它的对称轴是直线x=-1,顶点坐标是(-1,0)。 问题6;你能由函数y=2x2的性质,得到函数y=2(x+1)2的性质吗? 教学要点 让学生讨论、交流,举手发言,达成共识: 当x<-1时,函数值y随x的增大而减小;当x>-1时,函数值y随x的增大而增大;当x=一1时,函数取得最小值,最小值y=0。 问题7: 在同一直角坐标系中,函数y=- (x+2)2图象与函数y=- x2的图象有何关系? (函数y=- (x+2)2的图象可以看作是将函数y=- x2的图象向左平移2个单位得到的。 ) 问题8: 你能说出函数y=- (x+2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? (函数y=- (x十2)2的图象开口向下,对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2,0))。 问题9: 你能得到函数y= (x+2)2的性质吗? 教学要点 让学生讨论、交流,发表意见,归结为: 当x<-2时,函数值y随x的增大而增大; 当x>-2时,函数值y随工的增大而减小;当x=-2时,函数取得最大值,最大值y=0。 四、课堂练习: P11练习1、2、3。 五、小结: 1.在同一直角坐标系中,函数y=a(x-h)2的图象与函数y=ax2的图象有什么联系和区别? 2.你能说出函数y=a(x-h)2图象的性质吗? 3.谈谈本节课的收获和体会。 六、作业 1.P19习题26.21 (2)。 2.选用课时作业优化设计。 第二课时作业优化设计 1.在同一直角坐标系中,画出下列各组两个二次函数的图象。 (1)y=4x2与y=4(x-3)2 (2)y= (x+1)2与y= (x-1)2 2.已知函数y=- x2,y=- (x+2)2和y=- (x-2)2。 (1)在同一直角坐标中画出它们的函数图象; (2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (3)试说明,分别通过怎样的平移,可以由函数y=-1/4x2的图象得到函数y=- (x+2)2和函数y=- (x-2)2的图象? (4)分别说出各个函数的性质。 3.已知函数y=4x2,y=4(x+1)2和y=4(x-1)2。 (1)在同一直角坐标系中画出它们的图象; (2)分别说出各个函数图象的开口方向,对称轴、顶点坐标; (3)试说明: 分别通过怎样的平移,可以由函数y=4x2的图象得到函数y=4(x+1)2和函数y=4(x-1)2的图象, (4)分别说出各个函数的性质. 4.二次函数y=a(x-h)2的最大值或最小值与二次函数图象的顶点有什么关系? 26.1 二次函数(5) 教学目标: 1.使学生理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。 2.会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3.让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程,理解函数y=a(x-h)2+k的性质。 重点难点: 重点: 确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系,理解函数y=a(x-h)2+k的性质是教学的重点。 难点: 正确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2+k的性质是教学的难点。 教学过程: 一、提出问题 1.函数y=2x2+1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系? (函数y=2x2+1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的) 2.函数y=2(x-1)2的图象与函数y=2x2的.图象有什么关系? (函数y=2(x-1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的,见P10图26.2.3) 3.函数y=2(x-1)2+1图象与函数y=2(x-1)2图象有什么关系? 函数y=2(x-1)2+1有哪些性质? 二、试一试 你能填写下表吗? y=2x2 向右平移 的图象 1个单位 y=2(x-1)2 向上平移 1个单位 y=2(x-1)2+1的图象 开口方向 向上 对称轴 y轴 顶点 (0,0) 问题2: 从上表中,你能分别找到函数y=2(x-1)2+1与函数y=2(x-1)2、y=2x2图象的关系吗? 问题3: 你能发现函数y=2(x-1)2+1有哪些性质? 函数y=2(x-1)2+1的图象可以看成是将函数y=2(x-1)2的图象向上平称1个单位得到的,也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。 当x<1时,函数值y随x的增大而减小,当x>1时,函数值y随x的增大而增大;当x=1时,函数取得最小值,最小值y=1。 三、做一做 问题4: 在图26.2.3中,你能再画出函数y=2(x-1)2-2的图象,并将它与函数y=2(x-1)2的图象作比较吗? 问题5: 你能说出函数y=- (x-1)2+2的图象与函数y=- x2的图象的关系,由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? (函数y=- (x-1)2+2的图象可以看成是将函数y=- x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的,其开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,2) 四、课堂练习: P13练习1、2、3、4。 对于练习第4题,教师必须提示: 将-3x2-6x+8配方,化为练习第3题中的形式,即 y=-3x2-6x+8=-3(x2+2x)+8=-3(x2+2x+1-1)+8=-3(x+1)2+11 五、小结 1.通过本节课的学习,你学到了哪些知识? 还存在什么困惑? 2.谈谈你的学习体会。 六、作业: 1.巳知函数y=- x2、y=- x2-1和y=- (x+1)2-1 (1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象; (2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (3)试说明: 分别通过怎样的平移,可以由抛物线y=- x2得到抛物线y=- x2-1和抛物线y= (x+1)2-1; (4)试讨论函数y=- (x
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