第四讲 图像的几何变换.docx

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第四讲图像的几何变换

南昌大学科学技术学院教案

课程

名称

数字图像处理

授课

时间

周，星期，节（年月日）

课次

授课

方式

■理论课□实验课□其他

学时

2

授课

题目

图像的几何变换

目的与要求：

1.掌握图像的几何变换基础

2.掌握图像的位置变换

3.掌握图像的形状变换

4.了解图像的复合变换

重点与难点：

一、重点内容

1.图像几何变换基础

2.图像位置变换

3.图像形状变换

二、难点内容

1.齐次坐标

2.线性插值图像放大

教具（多媒体、模型、图表等）：

多媒体、板书

南昌大学科学技术学院教案

教学内容

教学方法

时间分配

1.图像的几何变换基础

2.图像的位置变换

3.图像的形状变换

4.图像的复合变换

阐述+板书

两个知识点各一个课时

课堂设问：

教学内容小结：

本讲介绍了图像的几何变换基础，要求掌握图像的位置变换和图像的形状变换

简单讲解了图像的复合变换。

复习思考题或作业题：

P59-6021，25，28，30

教学后记（此项内容在课程结束后填写）：

学生对图像旋转和插值法不大容易理解。

南昌大学科学技术学院讲稿

3.1Z变换

（1）Z变换的定义

一个离散序列x（n）的Z变换定义为

式中，z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平面。

我们常用Z［x（n）］表示对序列x（n）进行Z变换，也即

这种变换也称为双边Z变换，与此相应的单边Z变换的定义如下：

这种单边Z变换的求和限是从零到无穷，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。

单边Z变换只有在少数几种情况下与双边Z变换有所区别。

比如，需要考虑序列的起始条件，其他特性则都和双边Z变换相同。

本书中如不另外说明，均用双边Ｚ变换对信号进行分析和变换。

（2）Z变换与傅立叶变换的关系:

单位圆上的Z变换是和模拟信号的频谱相联系的，因而常称单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换，也称为数字序列的频谱。

数字频谱是其被采样的连续信号频谱周期延拓后再对采样频率的归一化。

单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换，根据式（1-54）Z变换的定义，用ejω代替z，从而就可以得到序列傅里叶变换的定义为

可得其反变换:

（3）Z变换存在的条件:

正变换

与反变换:

存在的一个充分条件是:

即:

绝对可加性是傅里叶变换表示存在的一个充分条件。

也就是说，若序列x（n）绝对可和，则它的傅里叶变换一定存在且连续。

（4）收敛域:

I.定义:

显然，只有当

的幂级数收敛时，Z变换才有意义。

对任意给定序列x（n），使其Z变换收敛的所有z值的集合称为X（z）的收敛域。

按照级数理论，此级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和的条件，即要求

要满足此不等式，|z|值必须在一定范围之内才行，这个范围就是收敛域。

一般收敛域用环状域表示，即

Rx-<|z|

收敛域是分别以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环状域（图3-1中的斜线部分）。

Rx-和Rx+称为收敛半径。

当然Rx-可以小到零，Rx+可以大到无穷大。

3-1Z变换的收敛域示意图

常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：

分子多项式P（z）的根是X（z）的零点，分母多项式Q（z）的根是X（z）的极点。

在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。

Z平面上收敛域的位置，或者说Rx-及Rx+的大小和序列有着密切的关系，分别讨论如下。

（1）有限长序列:

序列x（n）只在有限区间n1≤n≤n2之内才具有非零的有限值，在此区间外，序列值皆为零。

也即

其Z变换为

设x（n）为有界序列，由于X（z）是有限项级数之和，除0与∞两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个Z平面均收敛。

如果n1<0，则收敛域不包括∞点；如果n2>0，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括∞点。

具体有限长序列的收敛域表示如下：

有时将开域（0,∞）称为“有限Z平面”。

例3-1x（n）=δ（n），求此序列的Z变换及收敛域。

解这是n1=n2=0时有限长序列的特例，由于

所以收敛域应是整个z的闭平面（0≤|z|≤∞），如图3-2所示。

图3-2δ（n）的收敛域（全部Z平面）

例3-2求矩形序列x（n）=RN（n）的Z变换及其收敛域。

解

这是一个有限项几何级数之和。

因此

（2）右边序列：

右边序列是指x（n）只在n≥n1时有值，在n

其Z变换为

此式右端第一项为有限长序列的Z变换，按上面讨论可知,它的收敛域为有限Z平面；而第二项是z的负幂级数，按照级数收敛的阿贝尔（N.Abel）定理可推知，存在一个收敛半径Rx-，级数在以原点为中心，以Rx-为半径的圆外任何点都绝对收敛。

因此，综合此二项，只有二项都收敛时级数才收敛。

所以，如果Rx-是收敛域的最小半径，则右边序列Z变换的收敛域为

Rx-<|z|<∞

右边序列及其收敛域如图3-3所示。

图3-3右边序列及其收敛域

（n1<0，|z|=∞除外）

因果序列是最重要的一种右边序列，即n1=0的右边序列。

也就是说，在n≥0时x（n）有值，n<0时x（n）=0，其Z变换级数中无z的正幂项，因此级数收敛域可以包括|z|=∞。

Z变换收敛域包括|z|=∞是因果序列的特征。

例3-3x（n）=anu（n）,求其Z变换及收敛域。

解这是一个因果序列，其Z变换为

这是一个无穷项的等比级数求和，只有在|az-1|<1即|z|>|a|处收敛如图3-4所示。

故得到以上闭合形式的表达式，由于|z|>|a|，故在z=a处有一极点（用“×”表示），在z=0处有一个零点（用“○”表示），收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。

收敛域上函数必须是解析的，因此收敛域内不允许有极点存在。

所以，右边序列的Z变换如果有N个有限极点｛z1,z2,…,zN｝存在，那么收敛域一定在模值为最大的这一个极点所在圆以外，也即

对于因果序列，∞处也不能有极点。

图3-4例3-3的收敛域

（3）左边序列:

左边序列是指在n≤n2时x（n）有值，而在n>n2时x（n）=0，其Z变换为

等式第二项是有限长序列的Z变换，收敛域为有限Z平面；第一项是正幂级数，按阿贝尔定理，必存在收敛半径Rx+，级数在以原点为中心，以Rx+为半径的圆内任何点都绝对收敛。

如果Rx+为收敛域的最大半径，则综合以上两项，左边序列Z变换的收敛域为

如果n2≤0，则

右端不存在第二项，故收敛域应包括z=0，即|z|

例3-4x（n）=-anu（-n-1）,求其Z变换及收敛域。

解这是一个左边序列。

其Z变换为

此等比级数在|a-1z|<1，即|z|<|a|处收敛。

因此

序列Z变换的收敛域如图1-25所示。

函数

在z=a处有一极点，整个收敛域在极点所在圆以内的解析区域。

图3-5左边序列收敛域

对于左边序列，如果序列Z变换有N个有限极点｛z1,z2,…,zN｝存在，那么收敛域一定在模值为最小的这一个极点所在圆以内，这样X（z）才能在整个圆内解析，也即

Rx+=min［|z1|,|z2|,…,|zN|］

由以上两例可以看出，一个左边序列与一个右边序列的Ｚ变换表达式是完全一样的。

所以，只给出Z变换的闭合表达式是不够的，是不能正确得到原序列的。

必须同时给出收敛域，才能惟一地确定一个序列。

这就说明了研究收敛域的重要性。

（4）双边序列：

一个双边序列可以看作一个右边序列和一个左边序列之和，即

因而其收敛域应该是右边序列与左边序列收敛域的重叠部分。

等式右边第一项为右边序列，其收敛域为|z|>Rx-;第二项为左边序列，其收敛域为|z|

如果Rx-

Rx-<|z|

这是一个环状区域。

如果Rx->Rx+，则无公共收敛区域，X（z）无收敛域，也即在Z平面的任何地方都没有有界的Ｘ（z）值，因此就不存在Z变换的解析式，这种Ｚ变换就没有什么意义。

例3-5x（n）=a|n|,a为实数，求其Z变换及收敛域。

解这是一个双边序列，其Z变换为

设

若|a|<1，则存在公共收敛域

其序列及收敛域如图3-6所示。

若|a|≥1，则无公共收敛域，因此也就不存在Z变换的封闭函数，这种序列如图3-7。

序列两端都发散，显然这种序列是不现实的序列。

图3-6双边序列及收敛域图3-7Z变换无收敛域的序列

表3-1几种序列的Z变换

3.2Z变换收敛域的性质:

性质1ROC在Z平面是中心在原点的一个圆环或圆盘,即：

;

性质2当且仅当x[n]的Z变换的ROC包括单位圆时,x[n]的傅立叶变换才绝对收敛.

性质3.ROC内不能包括任何极点.

性质4.若x[n]是一个有限长的序列，那么其收敛域就是整个Z平面，可能在Z=0与Z=

除外。

性质5若x[n]是一个右边序列，那么其收敛域就是从X（z）中的最外面的有限极点向外延伸至（可能包括）Z=

。

性质6若x[n]是一个左边序列，那么其收敛域是从X（z）中的最里面的非0极点向内延伸至（可能包括）Z=0。

性质7若x[n]是一个双边序列，那么可以看成是一个左边序列与一个右边序列的和，其收敛域一定是一个Z平面的环状。

性质8ROC必须是一具连通的区域。

由于序列的Z变换不仅取决于表达式，而且取决于ROC，同X（z）表达式如ROC不同则对应完全不同的序列，见下节。

3．3Z反变换

已知函数X（z）及其收敛域，反过来求序列的变换称为Z反变换，表示为

x（n）=Z-1［X（z）］

Z反变换的一般公式为

若

则

直接计算围线积分是比较麻烦的，实际上,求Z反变换时，往往可以不必直接计算围线积分。

一般求Z反变换的常用方法有三种：

围线积分法（留数法）、部分分式展开法和幂级数展开法。

（1）围线积分法（留数法）

这是求Z反变换的一种有用的分析方法。

根据留数定理，若函数F（z）=X（z）zn-1在围线c以内有K个极点zk，而在c以外有M个极点zm（M、K为有限值），则有

（3-1式）

或

（3-2式）

Res［X（z）zn-1,zk］表示函数F（z）=X（z）zn-1在极点z=zk上的留数。

式（3-1）表示函数F（z）沿围线c反时针方向的积分等于F（z）在围线c内部各极点的留数之和。

式（3-2）说明，函数F（z）沿围线c顺时针方向的积分等于F（z）在围线c外部各极点的留数之和。

由式（3-1）及式（3-2），可得

代入

有：

（3-3式）

（3-4式）

根据具体情况，既可以采用式（3-3），也可以采用式（3-4）。

例如，如果当n大于某一值时，函数X（z）zn-1在围线的外部可能有多重极点，这时选c的外部极点计算留数就比较麻烦，而通常选c的内部极点求留数则较简单。

如果当n小于某一值时，函数X（z）zn-1在围线的内部可能有多重极点，这时选用c外部的极点求留数就方便得多。

现在来讨论如何求X（z）zn-1在任一极点zr处的留数。

设zr是X（z）zn-1的单一（一阶）极点，则有

如果zr是X（z）zn-1的多重极点，如l阶极点，则有

例3-6已知

求Z反变换。

解：

围线c以内包含极点a，如图3-8粗线所示。

当n<0时，在z=0处有一个-n阶极点。

因此

图3-8收敛域|z|>|a|

式中，a是单阶极点

在z=0处有一个-n阶极点（n<0），

因此

即

这个指数因果序列是单阶极点的反变换，这个反变换是很典型的，在以下的部分分式中还要用到这个结果。

实际上，由于收敛域在函数极点以外，并且包括∞点，因此可以知道该序列一定是因果序列。

用留数法计算的结果也证实了这一点。

所以，在具体应用留数法时，若能从收敛域判定序列是因果的，就可以不必考虑n<0时出现的极点了，因为它们的留数和一定总是零。

在应用留数法时，收敛域是很重要的。

同一个函数X（z），若收敛域不同，则对应的序列就完全不同。

例如，仍然以上面的函数为例，改变其收敛域，可以看到结果完全不同。

例3-7已知

求Z反变换。

解

这时由于极点a处在围线c以外（见图3-9），所以当n>0时围线c内无极点；而n<0时只在z=0处有一个-n阶极点。

因此

即

例中，在n<0时，也可用围线外极点a的留数来求，

从收敛域在函数极点所在圆以内，就能判断序列是左边序列，计算出来结果也证实了这个结论

图3-9收敛域|z|<|a|

（2）部分分式展开法

在实际应用中，一般X（z）是z的有理分式，可表示成X（z）=P（z）/Q（z），P（z）及Q（z）都是实系数多项式，且没有公因式。

可将X（z）展开成部分分式的形式，然后利用基本Z变换对求各简单分式的Z反变换（注意收敛域），再将各个反变换相加起来，就得到所求的x（n）。

为了看出如何求得部分分式展开，假设X（z）可以表示成z-1的多项式之比，即

为了得到X（z）的部分分式，将上式进一步展开成以下形式:

式中，ck是X（z）的非零零点，dk是X（z）的非零极点。

如果M

式中，Ak是常数，k=1,2,…,N。

若X（z）的收敛域为|z|>max［|dk|］，因此上式部分分式展开式中每一项都是一个因果序列的z函数，得

式中，系数Ak可利用留数定理求得

如果M≥N，且除一阶极点外，在z=di处还有s阶极点，则X（z）可展开成

式中，Bn可用长除法求得。

Ak可由式（1-76）求出。

系数Cm由下式得到

或

展开式各项被确定后，再分别求右边各项的Z反变换，则原序列就是各项的反变换序列之和。

例3-8设

试利用部分分式法求Z反变换。

解X（z）有两个极点，d1=2和d2=0.5，收敛域为|z|>2，则X（z）的零极点如图3-10所示。

由收敛域可知x（n）是一个右边序列。

因为极点全部是一阶的，因此X（z）能表示为:

求得系数为:

图3-10例3-8的ROC

因此X（z）为

得:

即:

例3-9在这个例子中要考虑例1-12中给出的X（z）所对应的全部可能序列。

解根据图3-10的零极点图和收敛域性质，X（z）有三种不同的收敛域：

（1）|z|>2,如例3-8,情况1已经证明是一个右边序列。

（2）,情况2对应于一个左边序列。

（3）,情况3则对应于一个双边序列。

因为X（z）的部分分式展开仅决定于X（z）的代数式，所以对所有三种情况都是一样的。

针对X（z）的三种不同的收敛域，

情况1：

情况2：

情况3：