第七章解三角形高中数学竞赛标准教材.docx
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第七章解三角形高中数学竞赛标准教材
第七章解三角形(高中数学竞赛标准教材)
第七章解三角形
一、基础知识
在本章中约定用A,B,C分别表示△ABC的三个内角,a,b,c分别表示它们所对的各边长,为半周长。
1.正弦定理:
=2R(R为△ABC外接圆半径)。
推论1:
△ABC的面积为S△AB推论2:
在△ABC中,有bcosC+ccosB=a.
推论3:
在△ABC中,A+B=,解a满足,则a=A.
正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证推论。
先证推论1,由正弦函数定义,BC边上的高为bsinC,所以S△ABC=;再证推论2,因为B+C=-A,所以sin(B+C)=sinA,即sinBcosC+cosBA,两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a;再证推论3,由正弦定理,所以,即sinasin(-A)=sin(-a)sinA,等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]=[cos(-a+A)-cos(-a-A)],等价于cos(-A+a)=cos(-a+A),因为0-A+a,-a+A.所以只有-A+a=-a+A,所以a=A,得证。
2.余弦定理:
a2=b2+c2-2bccosA,下面用余弦定理证明几个常用的结论。
(1)斯特瓦特定理:
在△ABC中,D是BC边上任意一点,BD=p,DC=q,则AD2=
(1)
【证明】因为c2=AB2=AD2+BD2-2ADBDcos,
所以c2=AD2+p2-2ADpcos①
同理b2=AD2+q2-2ADqcos,②
因为ADB+ADC=,
所以cosADB+cosADC=0,
所以q×①+p×②得
qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q),即AD2=
注:
在
(1)式中,若p=q,则为中线长公式
(2)海伦公式:
因为b2c2sin2A=b2c2(1-cos2A)=b2c2[(b+c)-a2][a2-(b-c)2]=p(p-a)(p-b)(p-c).
这里
所以S△AB二、方法与例题
1.面积法。
例1(共线关系的张角公式)如图所示,从O点发出的三条射线满足,另外OP,OQ,OR的长分别为u,w,v,这里α,β,α+β∈(0,),则P,Q,R的共线的充要条件是
【证明】P,Q,R共线
(α+β)=uwsinα+vwsinβ
,得证。
2.正弦定理的应用。
例2如图所示,△ABC内有一点P,使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。
求证:
APBC=BPCA=CPAB。
【证明】过点P作PDBC,PEAC,PFAB,垂足分别为D,E,F,则P,D,C,E;P,E,A,F;P,D,B,F三组四点共圆,所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。
由题设及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。
所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。
所以EDF=600,同理DEF=600,所以△DEF是正三角形。
所以DE=EF=DF,由正弦定理,CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC,两边同时乘以△ABC的外接圆直径2R,得CPBA=APBC=BPAC,得证:
例3如图所示,△ABC的各边分别与两圆⊙O1,⊙O2相切,直线GF与DE交于P,求证:
PABC。
【证明】延长PA交GD于M,
因为O1GBC,O2DBC,所以只需证
由正弦定理,
所以
另一方面,,
所以,
所以,所以PA//O1G,
即PABC,得证。
3.一个常用的代换:
在△ABC中,记点A,B,C到内切圆的切线长分别为x,y,z,则a=y+z,b=z+x,c=x+y.
例4在△ABC中,求证:
a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.
【证明】令a=y+z,b=z+x,c=x+y,则
abc=(x+y)(y+z)(z+x)
=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.
所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3ab.三角换元。
例5设a,b,c∈R+,且abc+a+c=b,试求的最大值。
【解】由题设,令a=tanα,c=tanγ,b=tanβ,
则tanβ=tan(α+γ),P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤,
当且仅当α+β=,sinγ=,即a=时,Pmax=
例6在△ABC中,若a+b+c=1,求证:
a2+b2+c2+4abc
【证明】设a=sin2αcos2β,b=cos2αcos2β,c=sin2β,β.
因为a,b,c为三边长,所以c,c|a-b|,
从而,所以sin2β|cos2αcos2β|.
因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),
所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).
又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)2βcos2β+sin2αcos2αcos4βcos2β
=[1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β]
=+cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β)
+cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)所以a2+b2+c2+4abc
三、基础训练题
1.在△ABC中,边AB为最长边,且sinAsinB=,则cosAcosB的最大值为__________.
2.在△ABC中,若AB=1,BC=2,则的取值范围是__________.
3.在△ABC中,a=4,b+c=5,tanC+tanB+tanCtanB,则△ABC的面积为__________.
4.在△ABC中,3sinA+4cosBA+4sinB=1,则=__________.
5.在△ABC中,“ab”是“sinAsinB”的__________条.在△ABC中,sinA+cosA0,tanA-sinA0,则角A的取值范围是__________.
7.在△ABC中,sinA=,cosB=,则cosC=__________.
8.在△ABC中,“三边a,b,c成等差数列”是“tan”的__________条.在△ABC中,若sinC=2cosAsinB,则三角形形状是__________.
10.在△ABC中,tanAtanB1,则△ABC为__________角三角形.三角形有一个角是600,夹这个角的两边之比是8:
5,内切圆的面积是12,求这个三角形的面积。
12.已知锐角△ABC的外心为D,过A,B,D三点作圆,分别与AC,BC相交于M,N两点。
求证:
△MNC的外接圆半径等于△ABD的外接圆半径。
13.已知△ABC中,sinC=,试判断其形状。
四、高考水平训练题
1.在△ABC中,若tanA=,tanB=,且最长边长为1,则最短边长为__________.
2.已知n∈N+,则以3,5,n为三边长的钝角三角形有________个.
3.已知p,q∈R+,p+q=1,比较大小:
psin2A+qsin2B__________pqsin2.在△ABC中,若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC,则△ABC为__________角三角形.
5.若A为△ABC的内角,比较大小:
__________.若△ABC满足acosA=bcosB,则△ABC的形状为__________.
7.满足A=600,a=,b=4的三角形有__________个.
8.设为三角形最小内角,且acos2+sin2-cos2-asin2=a+1,则a的取值范围是__________.
9.A,B,C是一段笔直公路上的三点,分别在塔D的西南方向,正西方向,西偏北300方向,且AB=BC=1km,求塔与公路AC段的最近距离。
10.求方程的实数解。
11.求证:
五、联赛一试水平训练题
1.在△ABC中,b2=ac,则sinB+cosB的取值范围是____________.
2.在△ABC中,若,则△ABC的形状为____________.
3.对任意的△ABC,-(cotA+cotB+cotC),则T的最大值为____________.
4.在△ABC中,的最大值为____________.
5.平面上有四个点A,B,C,D,其中A,B为定点,|AB|=,C,D为动点,且|AD|=|DC|=|BC|=1。
记S△ABD=S,S△BCD=T,则S2+T2的取值范围是____________.
6.在△ABC中,AC=BC,,O为△ABC的一点,,ABO=300,则ACO=____________.
7.在△ABC中,A≥B≥C≥,则乘积的最大值为____________,最小值为__________.
8.在△ABC中,若c-a等于AC边上的高h,则=____________.
9.如图所示,M,N分别是△ABC外接圆的弧,AC中点,P为BC上的动点,PM交AB于Q,PN交AC于R,△ABC的内心为I,求证:
Q,I,R三点共线。
10.如图所示,P,Q,R分别是△ABC的边BC,CA,AB上一点,且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。
求证:
AB+BC+CA≤2(PQ+QR+RP)。
11.在△ABC外作三个等腰三角形△BFC,△ADC,△AEB,使BF=FC,CD=DA,AE=EB,ADC=2BAC,AEB=2ABC,BFC=2ACB,并且AF,BD,CE交于一点,试判断△ABC的形状。
六、联赛二试水平训练题
1.已知等腰△ABC,AB=AC,一半圆以BC的中点为圆心,且与两腰AB和AC分别相切于点D和G,EF与半圆相切,交AB于点E,交AC于点F,过E作AB的垂线,过F作AC的垂线,两垂线相交于P,作PQBC,Q为垂足。
求证:
,此处=B。
2.设四边形ABCD的对角线交于点O,点M和N分别是AD和BC的中点,点H1,H2(不重合)分别是△AOB与△COD的垂心,求证:
H1H2MN。
3.已知△ABC,其中BC上有一点M,且△ABM与△ACM的内切圆大小相等,求证:
,此处(a+b+c),a,b,c分别为△ABC对应三边之长。
4.已知凸五边形ABCDE,其中ABC=AED=900,BAC=EAD,BD与CE交于点O,求证:
AOBE。
5.已知等腰梯形ABCD,G是对角线BD与AC的交点,过点G作EF与上、下底平行,点E和F分别在AB和CD上,求证:
AFB=900的充要条件是AD+BC=CD。
6.AP,AQ,AR,AS是同一个圆中的四条弦,已知PAQ=QAR=RAS,求证:
AR(AP+AR)=AQ(AQ+AS)。
7.已知一凸四边形的边长依次为a,b,c,d,外接圆半径为R,如果a2+b2+c2+d2=8R2,试问对此四边形有何要求?
8.设四边形ABCD内接于圆,BA和CD延长后交于点R,AD和BC延长后交于点P,A,B,C指的都是△ABC的内角,求证:
若AC与BD交于点Q,则
9.设P是△ABC内一点,点P至BC,CA,AB的垂线分别为PD,PE,PF(D,E,F是垂足),求证:
PAPBPC≥(PD+PE)(PE+PF)(PF+PD),并讨论等号成立之条件。
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