Ch22插值余项与误差估计精.docx
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Ch22插值余项与误差估计精
2.2.3插值多项式中的误差
一、插值余项
从上节可知y=f(x)^JLagrang^值
)=0
满足厶”3)=/(兀)心0,1,・・・,〃
但^xe[a,b]LnM=f(x)不会完全成立
因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估计这个截断误差呢?
1OI2M
切上/Xr)的插值多项式為(x)
令&(x)=/(x)-化(x)
显然在插值节点为;(心0丄・・/)上
&(齐)=/(兀)-出(兀)=o,t=O,l,--,n
因此人(力右巾切上至少有乃+1个零点
设R”(x)=K(x)%(x)
其中叫+](x)=(x-xt))(Ai-召)…仗一占)K(x)为待定函数
R3=f(x)-pn(x)=K(xQ,|(x)
I0I2MI
=0
若W入辅助换数7")=/(/)-化(/)-K(x)^・|(/)
则有讽x)=/(朗-化(x)-K(x)%](x)=0
=心兀)-K(x>w讪(兀)=0/=0丄…』
因此若令"兀,X)在区间a勿上至少伽+2个零点即
(P(x)=0,倾兀)=0•i=O.I2・・・M
由于巴(X)和为多项式因此若f(x)町微则凶)也可微
K12H
再由Rolle定理,矿⑴在区卩%b)1:
/f至州个零点
依此类推
在区MR")内至少仃个点^使得卩⑴的舁+1阶导数为零
0E它)=0倚)=几KO-K(x)
由于0"⑴可曲⑴-於⑷⑴-K(对砒:
;”⑴
因此严始)=严©)_叩《)_2加@)
KI2M
二f”°(G_K(x).(“+])!
=0
—L—(rrrW-
所以Rn(x)=K(x)a)n9l(x)=_%©)
S+l)!
称/?
”(x)为插值多项工巴(X舶余项截断误痢
E艸I即(x)在区阿d,b]tn+1阶nJ微^(x)为r(x)在⑷切上的“次插值多项式插值竹点为昂爲u0/儿则\/xe[afh]f^f(m(匕)
ES)=_叽(X)Tngc唯余项
宾中%O=H(x_巧),且依赖于r.
/=o
心0
IKWI
<-M
5+1)!
试估计丿1血£如々餓性和二次插值般(17®近似值的截断谋差
解:
设&(x)为Ltrgmxgg戈性插值的余项
尺2(*)为二次么&〃"捕值的余项
/v)=277厂心存
ru)=|x^
max|/(y)|=|广(16勺|“141(尸
“迁忑髄IOI=1广(144)| |=1(175-“卵175-22彳|=300 N、斗s(")|=)(175-14出(175-169)(175-22^1=9300 |&(x)|S丄M2MS1x1.14x10-4x300^1.71xl(F2 11 \R2(x)\S莎M3N3<±xl.51xl06x93«)<235xl(T3从以上分析可知在求ViT引寸 用Lagrsg二次插值比线性插值峨差更小 例2已知sin0.32=0.314567.sin0.34=0333487. sin0.36-0.352274,用线性插值及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差. 解由題意.取 =y+21Z2o(()3367-x0) =0330365. 于是 (0.3367)|=|sin0.3367一厶(0.3367)| <-x03335X0.0167x0.0033 ■ S0.92x10? U ―血|丿i'讥公 o —(x-x(大一*0)(*一“、) 加0.3367uy01+V, (・$一舟)(心一2(州一心)(州一兀) 二0314567-()? 689|()_+0.333487 0.0008 y3.89x10=0352274广竺: 0.00040.0008 =0.330374. 6位有效数字的正弦函数表完全一样. 这说明查表时用二次插值精度已相当高了• 由(2.18),截断误罡限 o /? ? (O.3367)|=sin0.3367£.(0.3367)1 4x0.828x0.0167x0.033x0.0233 <0.178x106. X 10 11 12 13 Inx 2.302585 2.3978952.484907 2.56494 9 用二次描计畀Ini1・曲的近似tfl,异佔计谋差. 解取节点x0=10,x1=11,x2=12,作: 次插值有 Inll.25屯(11.25)=嶋三需詐彳%2.3()2585 +业25二酬0二辺%2.397895+业25二舸H)x2.484907 (11-10X11-12)(12-10X12-11) IS =2.420426 m2” 得误差估计式 M /? 2(11.25)<;1(11.25-10)(11.25-11)(11.25-12)1<0.00007 、 实际上,lnll.252.42036&|孔(11・25)|二0・000058.
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