人教版八年级数学上册第十三章 轴对称 章末复习教案.docx

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人教版八年级数学上册第十三章轴对称章末复习教案

第十三章轴对称章末复习

一、思维导图

二、典型例题

例1把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（　　）

【知识点】轴对称图形的知识

【思路点拨】本题主要考查了学生的立体思维能力即操作能力，实际动手操作（折纸或者将图③按轴对称补全），可得到正确结论.故选C.

【解题过程】按图实际动手操作，可得到正确结论.

【答案】C

例2如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC－BC=2cm，求AB，BC的长.

【知识点】线段垂直平分线的性质

【数学思想】方程思想

【思路点拨】由题意知，DE是线段AB的垂直平分线，由其性质知BE=AE，从而得AC+BC=8，又AC-BC=2，即得到关于AC、BC的方程组，则易解出.

【解题过程】∵DE⊥AB，D为AB中点，∴DE垂直平分AB，∴BE=AE，

∵BC+BE+EC=8，∴BC+AE+EC=8，即BC+AC=8，又∵AC－BC=2，

∴

解得

∵AB=AC，∴AB=5（cm），BC=3（cm）.

【答案】AB=5（cm），BC=3（cm）.

例3已知，点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC.

⑴如图1，若点O在BC上，过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，求证：

AB=AC；

⑵如图2，若点O在△ABC的内部，求证：

AB=AC；

⑶若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？

请画图表示.

【知识点】等腰（等边）三角形的性质与判定

【思路点拨】证明两条线段相等或者两个角相等，都可联想到证明两个三角形全等或等腰三角形.⑴因为AB、AC在同一个三角形中，所以考虑证明等腰三角形，从而去找角等，即∠B=∠C，通过HL得到三角形全等解决；⑵可类比⑴问求证；⑶由题意知OE=OF，OB=OC，所以作图时应使∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合；还要分别考虑点O在△ABC的内部和外部.

【解题过程】⑴如图1，∵OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，∴∠OEB=

∠OFC=90°，又由题意知OE=OF，OB=OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠B=∠C，∴AB=AC

⑵如图3，过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，由题意知OE=OF，OB=OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠OBE=∠OCF，又由OB=OC知∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC

⑶不一定成立.（注:

由题意OE=OF，OB=OC，只有当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时：

如图①②，有AB=AC成立;否则，AB≠AC，如图③④⑤⑥）

三、章末检测题

《轴对称》章末检测题

（时间:

120分钟　满分:

150分）

一、选择题（每小题4分，共48分）

1.下列图形一定是轴对称图形的是（　）

A.平行四边形B.正方形C..三角形D.梯形

【知识点】轴对称图形定义

【思路点拨】所学的平面几何图形中，常见的轴对称图形有：

线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、菱形、等腰梯形、圆等.

【解题过程】选项A平行四边形不一定是轴对称图形;选项B正方形一定是轴对称图形，并且是四条对称轴;选项C三角形不一定是轴对称图形;选项D梯形不一定是轴对称图形.

【答案】B　

2.已知A、B两点的坐标分别是（-2，3）和（2，3），则下面四个结论：

①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④A、B之间的距离为4，其中正确的有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【知识点】用坐标表示轴对称

【数学思想】数形结合

【思路点拨】由平面直角坐标系中点坐标的对称规律或直接在平面直角坐标系标出点观察即可.

【解题过程】由平面直角坐标系中点坐标的对称规律可得，点A关于x轴对称坐标的是（-2，-3）;点A关于y轴对称的坐标是（2，3）;点A关于原点对称的坐标是（2，-3）；因为A、B有相同的纵坐标，所以AB∥x轴，A、B之间的距离为

｜xA-xB｜=4.

【答案】B

3.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【知识点】等腰三角形的性质

【思路点拨】因为等腰三角形的中，顶角+2倍底角=180°，所以只要知道顶角或者底角一个值，可以求出其余两个值.

【解题过程】∵等腰三角形的顶角为40°，∴它的底角=（180°－顶角）÷2=（180°－40°）÷2=70°

【答案】D

4.如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（）

A.68°B.32°C.22°D.16°

【知识点】平行线的性质、等腰三角形的性质

【思路点拨】在等腰三角形中“知一角可求其余两角”，可求出∠C得度数；再用“两直线平行，内错角相等”得出∠B=∠C.

【解题过程】∵CD=CE，∴∠D=∠CED=74°，∴∠C=180°-74°×2=180°-148°=32°，

又∵AB∥CD，∴∠B=∠C=32°

【答案】B

5.等腰三角形ABC在直角坐标系中，底边的两端点坐标是（-2，0），（6，0），则其顶角顶点的坐标，能确定的是（　　）

A.横坐标B.横坐标及纵坐标C.纵坐标D.横坐标或纵坐标

【知识点】用坐标表示轴对称、等腰三角形的性质

【数学思想】数形结合

【思路点拨】因为等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边的垂直平分线，所以其顶角顶点在底边的垂直平分线上，此垂直平分线上所有点的横坐标都是2.所以等腰三角形ABC的顶角顶点的横坐标为x=2，纵坐标取y≠0的任意值.

【解题过程】由题意得等腰三角形ABC的顶角顶点的横坐标为x=

=2，纵坐标取y≠0的任意值.

【答案】A

6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）

A.30°B.150°C.30°或150°D.60°

【知识点】等腰三角形的性质

【数学思想】分类讨论

【思路点拨】由“腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°”可想到此等腰三角形为锐角等腰三角形或者为钝角等腰三角形，画出图形即可求解.

【解题过程】①当等腰三角形为锐角等腰三角形，如图1，由题可知在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠ACD=60°，∴Rt△ADC中∠A=30°.②当等腰三角形为钝角等腰三角形，如图2，由题可知在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠ACE=60°，

∴Rt△AEC中∠EAC=30°，∴∠BAC=180°-30°=150°.

【答案】C

7.等腰三角形底边长6cm，一腰上的中线把它的周长分成两部分的差为2cm，则腰长为（　　）

A.4cmB.8cmC.4cm或8cmD.以上都不对

【知识点】等腰三角形的性质、中线的性质

【数学思想】分类讨论，数形结合，方程思想

【思路点拨】要考虑“腰比底长”和“腰比底短”两种情况；由题意结合图形可知周长被分成了“

腰+腰”和“

腰+底”两部分，所以“一腰上的中线把它的周长分成两部分的差为2cm”实质为“腰－底=2”或者“底－腰=2”.

【解题过程】设腰长为xcm，根据题意得：

x-6=2或6-x=2，解得：

x=8或x=4，∴腰长为：

4cm或8cm．

【答案】C

8.下列说法中正确的是（　　）

A.关于某直线对称的两个三角形是全等的

B.全等三角形是关于某直线对称的

C.两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧

D.若点A、B关于直线MN对称，则线段AB垂直平分MN

【知识点】轴对称的知识

【思路点拨】根据轴对称的性质可以判断

【解题过程】因为关于某直线对称的两个图形既要满足特殊的位置关系还要满足大小关系，所以关于某直线对称的两个三角形是全等的，但两个全等的三角形不一定关于某直线对称，故A对B错；两个图形关于某直线对称，它们可以与对称轴有交点，所以这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，C错；D应为若点A、B关于直线MN对称，则MN垂直平分线段AB.

【答案】A

9.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D.若ED=4，则CE的长为（　　）

A.10B.8C.5D.2.5

【知识点】含30°角的直角三角形的性质

【思路点拨】由垂直平分线易证△EBC为等腰三角形，再由“含30°角的直角三角形的性质”即可求.

【解题过程】由题意知，DE是线段BC的垂直平分线，由其性质知EB=EC，∴∠ECD=∠B=30°，∴在Rt△EDC中，DE=

EC，即EC=2DE=8.

【答案】B

10.如图是一个风筝的图案，它是以直线AF为对称轴的轴对称图形，下列结论不一定成立的是（　　）

A.△ABD≌△ACDB.AF垂直平分EG

C.直线BG，CE的交点在AF上D.△DEG是等边三角形

【知识点】轴对称的知识

【思路点拨】根据轴对称的性质可以判断

【解题过程】由轴对称的性质可得选项A、B、C正确，△DEG是等腰三角形，不一定是等边三角形.

【答案】D

11.如图所示，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（　　）

A.60°B.40°C.80°D.100°

【知识点】轴对称的知识、三角形内角和定理

【思路点拨】利用轴对称的知识将两个已知的角度转化到一个三角形中.

【解题过程】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴△ABC≌△A′B′C′，

∴∠A′=∠A=60°，∠C′=∠C=40°，∠B′=180°-∠A′-∠C′=80°，∴∠B=∠B′=80°

【答案】C

12.已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，点P1和点P关于OA对称，点P2和点P关于OB对称，则P1、O、P2三点构成的三角形是（　　）

A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

【知识点】轴对称的知识，等边三角形的判定

【思路点拨】如图，根据轴对称的性质可求得∠P1OP2=2∠AOB=60°，OP1=OP=OP2，所以△P1OP2为等边三角形.

【解题过程】如图，∵点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2，连接P1P2交OA于点M，交OB于点N，∠AOB=∠2+∠3.又根据轴对称的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，OP1=OP=OP2，∴∠P1OP2=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠AOB=2×30°=60°.

∴△P1OP2为等边三角形

【答案】D

二、填空题（每小题4分，共24分）

13.已知点P（3，-1）关于y轴的对称点Q的坐标为（a+b，1-b），则ab的值为　　. 

【知识点】用坐标表示轴对称

【数学思想】方程思想

【思路点拨】关于y轴对称的两点：

横坐标互为相反数，纵坐标不变.

【解题过程】由题意得

∴

∴ab=（-5）2=25.

【答案】25

14.如图所示，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B=　　. 

【知识点】轴对称的知识、三角形内角和定理（或四边形内角和360°）

【思路点拨】将已知角度和未知角度转化到一个三角形中（或一个四边形中）.

【解题过程】∵MF∥AD，∴∠BMF=∠A=100°，∵FN∥DC，∴∠BNF=∠C=70°，

由翻折可得，△BMN≌△FMN，∠BMN=

×100°=50°，∠BNM=

×70°=35°，

∴∠B=180°-50°-35°=95°（在四边形BNFM中，∠BMF=100°，∠BNF=70°，∠F=∠B）

【答案】∠B=95°　

15.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC

交AB于M，交AC于N，如果MB+CN=6，那么线段MN的长为.

【知识点】等腰三角形的判定、角平分线的定义

【思路点拨】∠ABC和∠ACB的由角平分线和MN∥BC可得出∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，即△BME和△CNE为等腰三角形，MN=ME+EN=BM+CN.

【解题过程】∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB.∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴BM=ME，EN=CN.又∵MN=ME+EN，∴MN=BM+CN．∵BM+CN=6∴MN=6，

【答案】6

16.如图，在Rt△ABC中，D、E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE=　　. 

【知识点】等腰三角形的性质、三角形内角和定理

【数学思想】方程思想

【思路点拨】△CDE中∠CDE+∠CED+∠DCE=180°，而利用等腰三角形的“等边对等角”将其转化为∠ACB+2∠DCE=180°是本题解决的关键.

【解题过程】∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD，∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC.

又∵∠CDE+∠CED=∠BCD+∠ACE=∠ACB+∠DCE.∴在△CDE中，∠CDE+

∠CED+∠DCE=90°+2∠DCE=180°，∴∠DCE=45°.

【答案】45°

17.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，△BCE的周长为13，BC=6，则AB的长为　　.

 【知识点】线段垂直平分线的性质

【数学思想】方程思想

【思路点拨】由题意知，DE是线段AB的垂直平分线，由其性质知AE=BE，从而得AC+BC=13，又BC=6，即得到关于AC的方程，则易解出.

【解题过程】∵DE⊥AB，D为AB中点，∴DE垂直平分AB，∴BE=AE，

∵BC+BE+EC=13，∴BC+AE+EC=13，即BC+AC=13.又∵BC=6，∴6+AC=13，∴AC=7

【答案】7

18.如图，A（2，-1）为平面直角坐标系内一点，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P共有个.

【知识点】等腰三角形的知识

【数学思想】数形结合、分类讨论

【思路点拨】“以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形”应考虑分为三类：

①当∠O为顶角，OP=OA；②当∠A为顶角，AO=AP；③当∠P为顶角，PO=PA.

【解题过程】如图①当∠O为顶角，OA=OP时：

以O为圆心，OA长为半径作圆，交x轴于点P1，P2；②当∠A为顶角，AO=AP时：

以A为圆心，AO长为半径作圆，交x轴于点P3；③当∠P为顶角，PO=PA时：

作线段OA的垂直平分线，交x轴于点P4.

【答案】4

三、解答题（每小题7分，共14分）

19.如图，是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形（至少画出两种）．

【知识点】轴对称图形的定义

【思路点拨】题目要求在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，所以关键是观察此图中已有的“轴对称部分”就要着重画图中余下那一个（或那两个）小正方形的轴对称图形．

【解题过程】有多种画法，答案不唯一，根据轴对称图形的定义，有多种画法，题目要求在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形.

【答案】参考图如下图：

20.已知：

如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E、F分别是AB、AC的延长线上的点，且BE=CF.求证：

DE=DF.

【知识点】等腰三角形的性质、全的三角形的判定

【思路点拨】因为DE、DF在两个不同的三角形中，要证明“DE=DF”只需证明△ADE≌△ADF即可.

【解题过程】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠DAE=∠DAF.又∵BE=CF，∴AB+BE=AC+CF，∴AE=AF.∵在△ADE和△ADF中，AE=AF，∠EAD

=∠FAD，AD=AD，∴△ADE≌△ADF（SAS），∴DE=DF.

四、解答题（每小题10分，共40分）

21.如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE.求证：

BD=CE.

【知识点】等腰三角形的性质

【思路点拨】作底边上的高，是等腰三角形的常用辅助线.

【解题过程】方法一：

过点A作AF⊥BC，垂足为F

∵ AB=AC，AD=AE，∴ DF=EF ，BF=CF∴ BF-DF=CF-EF即 BD=CE

方法二：

不添加辅助线，利用等腰三角形的性质和三角形的外角定理得到角等，再证明△ABD≌△ACE（略）.

22.如图，在△ABC中，AB=AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD=AE，连接DE.求证：

DE⊥BC.

【知识点】等腰三角形的性质

【思路点拨】需求证“DE⊥BC”，但DE与BC不相交，所以易想到延长DE交BC于F，从而转化为求∠DFB=90°或∠DFC=90°.

【解题过程】延长DE交BC于F，∵AD=AE，∴∠D=∠AED，∴∠BAC=∠D

+∠AED=2∠D.∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，

∴2（∠B+∠D）=180°.∴∠B+∠D=90°，∴∠DFB=90°，∴DE⊥BC.

23.如图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形.

（1）求证：

AB∥CQ；

（2）是否存在点P，使得AQ⊥CQ？

若存在，指出点P的位置；若不存在，请说明理由.

【知识点】等边三角形的性质、平行线的判定、全等三角形的判定

【思路点拨】

（1）△ACQ可以看做由△ABP绕点A旋转得到，从而易得到三角形全，继而得到角的相等，再证得线平行；

（2）特殊三角形中的“动点问题”，常常从特殊点、特殊位置去探索.

【解题过程】

（1）∵△ABC、△APQ均为等边三角形，∴AB=AC，AP=AQ，

∠BAC=∠PAQ=60°，∴∠BAP=∠CAQ，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴∠B=∠ACQ=60°，∴∠ACQ=∠BAC，∴AB∥CQ.

（2）存在，当点P为BC的中点时，AQ⊥CQ.理由如下：

∵点P为BC的中点，∴∠CAP=30°.

又△APQ为等边三角形，∴∠CAQ=30°.由

（1）知∠ACQ=60°，∴∠AQC=90°，即AQ⊥CQ

24.如图，在△ABC中，AB=AC，D是CB延长线上的一点，∠ADB=60°，E是AD上的一点，且DE=DB.求证：

AE=BE+BC

【知识点】等腰（等边）三角形的性质和判定、三角形全等的判定

【思路点拨】证明“线段和差”的几何命题，常常采用“截长补短”的方法

【解题过程】法一:

　如图1，延长DC到F，使CF=BD，连接AF.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACF，∵BD=CF，∴△ABD≌△ACF，

∴∠F=∠D=60°，AD=AF，∴△ADF是等边三角形，∴AD=DF，∵DE=DB，∴△DBE是等边三角形，∴DE=DB=BE，∴AE=BF，∵BF=BC+CF=BC+BE，∴AE=BE+BC

.法二：

如图2，延长EB到P，使BP=BC，连接AP、CP.∵∠ADB=60°，DE=DB，∴△DBE为等边三角形，∴∠PBC=∠EBD=60°，又BP=BC，∴△BPC为等边三角形，∴PB=PC，又AB=AC，AP=AP，∴△ABP≌△ACP，∴∠BPA=∠CPA

=

∠BPC=30°，∴∠EAP=∠DEB-∠BPA=60°-30°=30°，∴∠BPA=∠EAP，

∴AE=PE=BE+BP=BE+BC.

法三：

如图3，作AH⊥BC于H，则易得∠DAH=30°，则有AD=2DH，AE+DE=2DB+2BH，易知△DBE是等边三角形，故DB=DE=BE，而AB=AC，故2BH=BC，∴AE=DB+BC=BE+BC.

五、解答题（每小题12分，共24分）

25.如图所示，∠ABC=90°，AB=BC，AE平分∠BAC交BC于E，CD⊥AE交AE的延长线于D.求证:

CD=

AE.

【知识点】等腰三角形的性质、角平分线的性质

【思路点拨】由“AE平分∠BAC交BC于E，CD⊥AE”易联想到等腰三角形的“三线合一”，故延长AB交CD的延长线于F，即可证明.

【解题过程】方法一：

如图，延长AB交CD的延长线于F.∵∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF=90°，又∵CD⊥AE，∴∠BCF+∠F=90°，∠BAE+∠F=90°，

∴∠BCF=∠BAE，又∵AB=BC，∴△ABE≌△CBF，∴AE=CF，又∵AE平分∠BAC，∴∠CAD=∠FAD，又∵AD⊥CF，∴∠ACD+∠CAD=∠AFD+∠FAD=90°，∴∠ACD=∠AFD，∴AC=AF，∴CD=DF，∴CD=

CF，∴CD=

AE.

方法二：

同方法一，先证明△ABE≌△CBF，得AE=CF.又∵AE平分∠BAC，∴∠CAD=∠FAD，又∵AD=AD，∠ADC=∠ADF=90°，∴△ADC≌△ADF，∴CD=DF，∴CD=

CF，∴CD=

AE.

26.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.

⑴求证：

△COD是等边三角形；

⑵当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

⑶探究：

当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

【知识点】等腰（等边）三角形的性质和判定、三角形内角和定理

【数学思想】分类讨论、方程思想

【思路点拨】⑴等边三角形的判定方法；⑵判断“三角形的形状”，主要类型有：

等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形；

⑶△AOD是等腰三角形应分类考虑：

①AO=AD；②OA=OD；③OD=AD.

【解题过程】⑴证明：

∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC

∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形

⑵解：

当α=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形.理由如下：

∵由题意得△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°

又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°∴∠ADO=90°，

即△AOD是直角三角形

（3）解：

∵∠AOB=110°，∠BOC=α，∴∠AOC=360°－110°－α=250°－α

又∵△COD是等边三角形，∴∠COD=∠ODC=60°，

∴∠AOD=250°－α－60°=190°-α，∠ADO=α-60°

①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO.

∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°，∴190°-α=α-60°，∴α=125°

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO.

∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=50°，

∴α-60°=50°，∴α=110°.

③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，

∴190°-α=50°，∴α=140°.

综上所述:

当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形.