2根的判别式.docx

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2根的判别式

2-例1

（2012•德州）若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是

a≥-1

a≥-1

．

考点：

根的判别式；一元一次方程的定义；一元二次方程的定义．

专题：

压轴题．

分析：

当a=0时，方程是一元一次方程，方程的根可以求出，即可作出判断；

当a≠0时，方程是一元二次方程，只要有实数根，则应满足：

△≥0，建立关于a的不等式，求得a的取值范围即可．

解答：

解：

当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，

当a≠0时，方程是一元二次方程，

若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，

则△=[2（a+2）]2-4a•a≥0，

解得：

a≥-1．

故答案为：

a≥-1．

点评：

此题考查了根的判别式，注意本题分a=0与a≠0两种情况讨论是解决本题的关键．并且利用了一元二次方程若有实数根则应有△≥0．

2-例2

2-例3

已知关于x的一元二次方程x2-（k+2）x+2k=0．

（1）试说明无论k取何值时，这个方程一定有实数根；

（2）已知等腰△ABC的一边a=1，若另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

考点：

根的判别式；根与系数的关系；等腰三角形的性质．

分析：

（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．

（2）分b=c，b=a两种情况做．

解答：

证明：

（1）∵△=（k+2）2-8k=（k-2）2≥0，

∴方程总有实根；

（2）①当b=c时，则△=0，

即（k-2）2=0，

∴k=2，

方程可化为x2-4x+4=0，

∴x1=x2=2，

而b=c=2，

∴L△ABC=5；

②当b=a=1，

∵x2-（k+2）x+2k=0．

∴（x-2）（x-k）=0，

∴x=2或x=k，

∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，

∴k=1，

∴c=2，

∵a+b=c，

∴不满足三角形三边的关系，舍去；

综上所述，△ABC的周长为5．

点评：

本题考查了根与系数的关系，一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．

已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0

（1）求证：

无论k取任何实数，方程总有实数根；

（2）若等腰△ABC的一边a=3，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

考点：

根的判别式；根与系数的关系；等腰三角形的性质．

分析：

（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号进行证明；

（2）注意：

分b=c，b=a两种情况做．

解答：

（1）证明：

△=[-（k+2）]2-4×1×2k=（k-2）2，

∵无论k取何值，（k-2）2≥0，即△≥0，

∴无论k取任何实数，方程总有实数根；

（2）解：

①当b=c时，则△=0，

即（k-2）2=0，

∴k=2，

方程可化为x2-4x+4=0，

∴x1=x2=2，

而b=c=2，

∴△ABC的周长=a+b+c=3+2+2=7；

②解：

当b=a=3时，

∵x2-（k+2）x+2k=0．

∴（x-2）（x-k）=0，

∴x=2或x=k，

∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，

∴k=b=3，

∴c=2，

∴△ABC的周长=a+b+c=3+3+2=8；

综上所述，△ABC的周长为7或8．

点评：

本题考查了根与系数的关系，一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．

2-例4

设方程|x2+ax|=4，只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根．

考点：

根的判别式；绝对值；解一元二次方程-公式法．

专题：

计算题；分类讨论；待定系数法．

分析：

首先去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零．由此即可确定a的值，同时也可以确定相应的3个根．

解答：

解：

∵|x2+ax|=4，

∴x2+ax-4=0①或x2+ax+4=0②，

方程①②不可能有相同的根，

而原方程有3个不相等的实数根，

∴方程①②中有一个有等根，

而△1=a2+16＞0，

∴△2=a2-16=0，

∴a=±4，

当a=4时，原方程为x2+4x-4=0或x2+4x+4=0，

2-例5

2-例6

（2012•临沂）已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．

（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；

（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当b＜2a时，

（2）中的结论是否仍然成立？

请说明理由．

考点：

相似三角形的判定与性质；根的判别式；矩形的性质．

专题：

代数几何综合题；压轴题．

分析：

（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；

（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：

x2-bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；

（3）由

（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2-bx+a2=0的根的情况，即可求得答案．

解答：

（1）证明：

∵b=2a，点M是AD的中点，

∴AB=AM=MD=DC=a，

又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∴∠AMB=∠DMC=45°，

∴∠BMC=90°．

（2）解：

存在，

理由：

若∠BMC=90°，

则∠AMB+∠DMC=90°，

又∵∠AMB+∠ABM=90°，

∴∠ABM=∠DMC，

又∵∠A=∠D=90°，

∴△ABM∽△DMC，

（3）解：

不成立．

理由：

若∠BMC=90°，

由

（2）可知x2-bx+a2=0，

∵b＜2a，a＞0，b＞0，

∴△=b2-4a2＜0，

∴方程没有实数根，

∴当b＜2a时，不存在∠BMC=90°，即

（2）中的结论不成立．

点评：

此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及一元二次方程的性质．此题难度较大，解此题的关键是利用相似的性质构造方程，然后利用判别式求解．

2-1

（2012•上海）如果关于x的一元二次方程x2-6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是

c＞9

c＞9

．

考点：

根的判别式．

分析：

根据关于x的一元二次方程没有实数根时△＜0，得出△=（-6）2-4c＜0，再解不等式即可．

解答：

解：

∵关于x的一元二次方程x2-6x+c=0（c是常数）没有实根，

∴△=（-6）2-4c＜0，

即36-4c＜0，

c＞9．

故答案为c＞9．

点评：

本题考查了一元二次方程的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．

2-2

2-3

（2009•荆门）关于x的方程ax2-（a+2）x+2=0只有一解（相同解算一解），则a的值为（　　）

A．a=0

B．a=2

C．a=1

D．a=0或a=2

考点：

根的判别式．

分析：

此题得需要讨论：

若此方程ax2-（a+2）x+2=0为一元二次方程时，即a≠0时，当△=0时，方程ax2-（a+2）x+2=0只有相等的两解，即[-（a+2）]2-4×a×2=0时方程ax2-（a+2）x+2=0只有一解；

若此方程ax2-（a+2）x+2=0为一元一次方程时，即a=0时，方程一定只有一解．

解答：

解：

当a≠0时，方程ax2-（a+2）x+2=0为一元二次方程，若方程有相等的两解，

则△=[-（a+2）]2-4×a×2=0，

整理得a2-4a+4=0，

即△=（a-2）2=0，

解得a=2；

当a=0时，方程ax2-（a+2）x+2=0为一元一次方程，

原方程转化为：

-2x+2=0，

此时方程只有一个解x=1．

所以当a=0或a=2关于x的方程ax2-（a+2）x+2=0只有一解．

故选D．

点评：

解此题时很多学生容易顺理成章的按一元二次方程进行解答，只解出a=2一个值，而疏忽了a=0时，此方程也有一解这一情况．

2-4

2-5

关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k-1=0的根的情况（　　）

A．有两个相等的实数根

B．有两个不相等实数根

C．有两个实数根

D．没有实数根

答案（找作业答案--->>上魔方格）

∵a=1，b=2k+1，c=k-1，

∴△=b2-4ac=（2k+1）2-4×1×（k-1）=4k2+5＞0，

所以方程有两个不相等的实数根．

故选B．

2-6

2-7

（2012•绵阳）已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0．

（1）求证：

方程恒有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．

考点：

根的判别式；一元二次方程的解；勾股定理．

分析：

（1）根据关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判别式的符号来证明结论；

（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：

①当该直角三角形的两直角边是2、3时，由

2-8

已知关于x的方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0

（1）求证：

无论k取何实数值，方程总有实数根．

（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．

考点：

根的判别式；等腰三角形的性质．

分析：

（1）根据一元二次方程根的判别式，当△≥0时，方程有两个实数根，所以只需证明△≥0即可．

（2）利用求根公式计算出方程的两根x1=3k-1，x2=2，则可设b=2k-1，c=2，然后讨论：

当a、b为腰；当b、c为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长即可．

解答：

（1）证明：

△=[-（3k+1）]2-4×1×（2k2+2k），

=k2-2k+1，

=（k-1）2，

∵无论k取什么实数值，（k-1）2≥0，

∴△≥0，

所以无论k取什么实数值，方程总有实数根；

（2）x2-（3k+1）x+2k2+2k=0，

因式分解得：

（x-2k）（x-k-1）=0，

解得：

x1=2k，x2=k+1，

∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k，c=k+1，

当a、b为腰，则a=b=6，而a+b＞c，a-b＜c，所以三角形的周长为：

6+6+4=16；

当b、c为腰，则k+1=2k，解得k=1，

∴b=c=2，因为6，2，2不构成三角形，∴所以这种情况不成立；

当a、c为腰k+1=6则k=5，

∴b=10，

∴三角形的周长为：

6+6+10=22．

综上，三角形的周长为16或22．

点评：

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．

2-9

如果多项式x2-mx+9是一个完全平方式，那么m的值为（　　）

A．-3

B．-6

C．±3

D．±6

考点：

完全平方式．

专题：

计算题．

分析：

利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．

解答：

解：

∵x2-mx+9是一个完全平方式，

∴m=±6．

故选D．

点评：

此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

2-10

2-11

点E和点F分别是正方形abcd中bc边和cd边上的点,且∠EAF=45°,则EF/AB的最小值是

书上有详解。

2-12若方程2x（kx-4）+x2+6=0,则K的最小值为多少？

网友采纳

热心网友

因为2x（kx－4）－x?

?

＋6＝0无实数根

2kx^2-8x-x^2+6=0

x^2（2k-1）-8x+6=0

△=（-8）^2-4（2k-1）*6<0

64-48k+24<0

48k>88

k>88/48

k的最小整数值是2

2-13

（2013•西青区二模）若x0是一元二次方程，ax2+bx+c=0（a≠0）的根，则判别式△=b2-4ac与平方式M=（2ax0+b）2的大小关系是（　　）

A．△＞M

B．△=M

C．△＜M

D．不能确定

考点：

根的判别式．

分析：

首先把（2ax0+b）2展开，然后把x0代入方程ax2+bx+c=0中得ax02+bx0=-c，再代入前面的展开式中即可得到△与M的关系．

解答：

解：

把x0代入方程ax2+bx+c=0中得ax02+bx0=-c，

∵（2ax0+b）2=4a2x02+4abx0+b2，

∴（2ax0+b）2=4a（ax02+bx0）+b2=-4ac+b2=△，

∴M=△．

故选B．

点评：

本题是一元二次方程的根与根的判别式的结合试题，既利用了方程的根的定义，也利用了完全平方公式，有一定的难度．

2-14

2-15

如图,已知正方形mnqr内接于锐角三角形abc中，设三角形abc的面积为S正方形面积为S1，求证：

S1小于等于二分之一S

教师来自众成中学

设与内接正方形共边的三角形边长为a,且高为h，则三角形面积是ah/2

设内接正方形边长为x，则由三角形相似易得（h-x）/h=x/a

解得x=ah/（a+b）

因而，2s1-s=2x^2-ah/2=2a^2h^2/（a+h）^2-ah/2=-ah（a-h）^2/2（a+h）^2≤0

即s≥2s1

2-16

若a>0,b>a+c,则判定关于x的方程ax^2+bx+c=0（a不等于0）的根的情况

2011-02-1419:

06提问者采纳

f（x）=ax^2+bx+c

△=b^2-4ac

若c>0,则b>a+c>0

b^2>（a+c）^2=a^2+2ac+c^2>=4ac

△>0,f（x）=0有两个不同实根

若c<0,则f（0）=c<0,f（x）=0有两个不同实数解

若c=0,b>a>0,则△=b^2>0

综上,f（x）=0一定有两个不同实数解

提问者采纳

△=b^2-4ac

>（a+c）^2-4ac=a^2+2ac+c^2-4ac=a^2-2ac+c^2=（a-c）^2

≥0

即：

△>0

方程ax^2+bx+c=0必有两个不相等的实数根

书上的答案或更好。

2-17

（2012•宜昌）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线

BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．

（1）点E可以是AD的中点吗？

为什么？

（2）求证：

△ABG∽△BFE；

（3）设AD=a，AB=b，BC=c

   ①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系；

   ②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．

考点：

相似形综合题；根的判别式；根与系数的关系；平行四边形的性质；直角梯形；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质．

专题：

代数几何综合题；压轴题．

分析：

（1）根据折叠的性质可得AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，再根据直角三角形斜边大于直角边可得DE＞EG，从而判断点E不可能是AD的中点；

（2）方法一：

根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EBF，再根据折叠的性质可以判定出∠AEB=∠BEG，然后得到∠EBF=∠BEF，从而判断出△FEB为等腰三角形，再根据等角的余角相等求出∠ABG=∠EFB，然后根据等腰三角形的两个底角相等求出∠BAG=∠FBE，然后根据两角对应相等，两三角形相似即可证明；

方法二：

与方法一相同求出∠ABG=∠EFB后，根据等腰三角形的两腰相等，然后根据两边对应成比例且夹角相等判断出两个三角形相似；

（3）①方法一：

根据勾股定理求出BD的长度，再利用两角对应相等，两三角形相似得到△ABD和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；

方法二：

过点D作DH⊥BC于点H，然后求出∠C=∠ABD，再根据直角相等，判断出△ABD和△HCD相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；

方法三：

先求出△ABD和△GFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BF的长度，再求出△EDG和△FBG相似，根据平行四边形的对边相等表示出ED，再表示出DG，然后根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证；

②方法一：

把b=2代入a、b、c的关系式，利用求根公式求出a的两个根，再根据a是唯一的，可以判定△=c2-16=0，然后求出c=4，再代入根求出a=2，然后判断出H是BC的中点，利用解直角三角形求出∠C=45°；

方法二：

把b=2代入a、b、c的关系式，利用根与系数的关系判断出关于a的方程的解是正数，再根据a是唯一的，可以判定△=c2-16=0，然后求出c=4，再代入根与系数的关系求出a=2，然后判断出H是BC的中点，利用解直角三角形求出∠C=45°．

解答：

解：

（1）不可以．…1分

据题意得：

AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，

∴Rt△EGD中，GE＜ED，

∴AE＜ED，

故，点E不可以是AD的中点；…2分

（注：

大致说出意思即可；反证法叙述也可）

（2）方法一：

证明：

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBF，

∵△EAB≌△EGB，

∴∠AEB=∠BEG，

∴∠EBF=∠BEF，

∴FE=FB，

∴△FEB为等腰三角形．

∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，

∴∠ABG=∠EFB，…4分

在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=（180°-∠ABG）÷2，

∠FBE=（180°-∠EFB）÷2，

∴∠BAG=∠FBE，…5分

∴△ABG∽△BFE，

（注：

证一对角对应等评2分，第二对角对应等评1分，该小问3分，若只证得△FEB为等腰三角形，评1分．）

由题意，△=0，即c2-16=0，

∵c＞0，

∴c=4，

∴a=2…10分

∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°；…11分

方法二：

设关于a的一元二次方程a2-ac+22=0两根为a1，a2，

a1+a2=c＞0，a1•a2=4＞0，

∴a1＞0，a2＞0，…9分

由题意，△=0，即c2-16=0，

∵c＞0，

∴c=4，

∴a=2，…10分

∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°．…11分

点评：

本题综合考查了相似三角形的性质与判定，根的判别式，根与系数的关系，平行四边形的性质，折叠的性质，综合性较强，难度较大，需仔细分析，认真研究，结合图形理清题目边长之间的关系，角度之间的关系是解题的关键，本题对同学们的能力要求较高．

2-18

求自然数n,使4n^2+5n为完全平方数

提问者采纳

设4n^2+5n=k^2，k是自然数.

4n^2+5n-k^2=0作为n的一元二次方程有整数解，所以其判别式

25+16k^2是完全平方数，即

25+16k^2=m^2（m≥5是整数）

所以（m-4k）（m+4k）=25=1*25=5*5

于是m-4k=1,m+4k=25或者m-4k=m+4k=5

m=13,k=3或者m=5,k=0相应地

n=1或0.