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圆锥曲线综合复习讲义
圆锥曲线综合复习题精选
1-已知圆x2-y2-6x-7=0与抛物线y2=2pxp.0的准线相切,则p的值为
1
A.1B.2C.D.4
2
11
2
.已知圆x2y2mx0与抛物线yx2的准线相切,则m=
44
(A)±22(B)3(C)
2(D)±3
4.若抛物线y2=2px(p0)的焦点在直线
2x
7.已知双曲线2
a
2yb2
=1(a0,b0)的两条渐近线均与
C:
x2•y2「6x•5=0相切,则该双曲线离心率
等于()
A.
3_5
5
B.—6C.3
22
|BF2||AF2I的最大值为5,则b的值是
A.1B.2C.3D.3
2
合,则该双曲线的离心率等于
22
9.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点F与双曲x_y=1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,
45
点A在抛物线上且|AK|=AF|,则A点的横坐标为
(A)22(B)3(C)23(D)4
22
—c(其中c
3
10.已知双曲线的方程为x2—y2=1a0,b2,双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为
ab
A.x_32y2
C.x-3!
亠y
22
D.(x_3)+y=3
AF_x轴,则双曲线的离心率为
A,PF=4,则直线AF的倾斜角等于
12
22
17.若抛物线y2=2PX的焦点与椭圆62=1的右焦点重合,则P的值为
A.2B.3C.2D.3
20.过点P(0,2)的双曲线C的一个焦点与抛物线x2=-16y的焦点相同,则双曲线C的标准方程是
()
22
2
2
2
2
2
2
Axy’
A.—-=1
xB.——-
£=1
C.Z-
x彳——=1
D.「
x彳——=1
124
20
4
4
12
4
20
2
21.已知双曲线x一
2
-y=1的右焦点为
(13,0),
则该双曲线的渐近线方程为
9a
22.已知抛物线x2=2py(p>0)与圆x2+y2=1有公共的切线y=x+b,则p=.
2
23.若双曲线X2-仝=1的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则m的值为
m
2222
24.已知双曲线—-^―=1的一个焦点是(0,2),椭圆—=1的焦距等于4,则n=
m3mnm
两段,则此双曲线的离心率为.[学、科、网]
4
P,Q两点,且|PQ|a.
3
(I)求该椭圆的离心率;
(n)设点M(0,-1)满足|MP|=|MQ|,求该椭圆的方程
F1(-c,0),F2(c,0).已知点M在椭圆上
2
且点M到两焦点距离之和为4.
(1)求椭圆的方程
(2)设与MO(O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于代B(代B不重合),求OAOB的取值范围
32.已知椭圆
x2
2a
2
=1a.0,b.0的左焦点
22
F为圆xy•2x=0的圆心,且椭圆上的点到点
F的距离
最小值为2-1.
(I)求椭圆方程;
5——-——
(II)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点AB,点M(一,0),证明:
MAMB为定值.
4
2
33.已知椭圆时6
2
x
亠一1,椭圆C2以O的短轴为长轴,且与O有相同的离心率
4
(I)求椭圆C2的方程;
(II)设直线I与椭圆C2相交于不同的两点
A、B,已知A点的坐标为-2,0,点Q0,y。
在线段ab的垂直平分
线上,
=4,求直线l的方程.
34.设椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,焦距为2,F为右焦点,B-i为下顶点,B2为上顶点,SBFB=1.
(I)求椭圆的方程;
-2
(n)若直线I同时满足下列三个条件:
①与直线B,F平行;②与椭圆交于两个不同的点P、Q;③SPOQ,求
3
直线I的方程.
22
c:
—乞
2.2
ab
C相交于AB两点‘ARAB的周长为43.
(I)
求椭圆C的方程;
(II)若椭圆C上存在点P,使得四边形OAPB为平行四边形,求此时直线I的方程.
F2,且证=2,点P1,3
上.
(I)求椭圆C的方程;
122
12,求直线I的方程.
交于C,D两点.
(1)求椭圆方程;
⑵当直线I的倾斜角为45°时,求线段CD的长;
⑶记厶ABD与厶ABC的面积分别为S和S,求|s1-S2I的最大值.
22
xy-4,过点M(2,4)作圆的两条切线
22
x_+y_
a2b2
=1(ab0)的右顶点和上顶点
(i)求椭圆的方程
(n)设直线x=-1与椭圆相交于AB两点,
P是椭圆上异于A、B的任意一点
直线AP、BP分别交定直线l:
x=-4于两点Q、R,
求证OQOR为定值.
22
39.已知椭圆c:
x2y2=1(a.b0)的离心率为-,短轴一个端到右焦点的距离为3.
ab3
(1)求椭圆C的方程:
(2)设直线I与椭圆C交于AB两点,坐标原点O到直线I的距离为一3,求厶AOB面积的最大值.
2
22
40.已知椭圆C:
x2y2=1(a
ab
(1)求椭圆C的方程o
岛一、
b-0)的离心率e-,短轴长为2.
2
(2)设A%,%),B(X2,y2)为椭圆
C上的不同两点,已知向量口=(在,/),n=(-^上),且m「=0.已知Obaba
为坐标原点,试问△AOB的面积是否为定值?
如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由
41•如图,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴正半轴相交于两点M,N(点M必在点N的右侧),且|MN=3
已知椭圆
22
xy
D:
a2b2
-1(ab0)的焦距等于2ON,且过点G2,
(I)求圆C和椭圆D的方程;
(n)若过点M斜率不为零的直线|与椭圆D交于A、B两点,求证:
直线NA与直线NB的倾角互补
22
42•椭圆E:
X2y2=1(ab0)的焦点到直线x-3y=0的距离为,离心率为2,抛物线
ab55
G:
y2=2px(p-0)的焦点与椭圆E的焦点重合;斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A,B,与G交于C,D.
(1)求椭圆E及抛物线G的方程;
一1扎
⑵是否存在学常数九,使——+为常数,若存在,求人的值,若不存在,说明理由.
AB|CD|
个高为3,面积为33的等腰梯形.
(1)求椭圆的方程;
⑵过点F1的直线和椭圆交于两点AB,求厶F2AB面积的最大值
—3,直线l:
y=x+2与以原点为圆心
3
22
44•已知椭圆C:
x2y2=1(ab0)的离心率为
ab
椭圆的短半轴为半径的圆O相切.
(I)求椭圆C的方程;(n)设椭圆C与曲线|y|=kx(k0)的交点为A、B,求OAB面积的最大值
J2
2,离心率为,过点
2
22
45.已知椭圆C:
X2+y2=1(a>b>0),焦点到短轴端点的距离为
ab
(m,o)作圆x2+y2=1的切线I交椭圆C于,A,B两点.
(1)求椭圆C的标准方程:
⑵将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值
点,且满足.RAB=90°.
(1)求椭圆C的离心率e;
uiruuu
⑵若P为椭圆C上的任意一点,是否存在过点F2、P的直线I,使|与y轴的交点R满足RP=「2PF2?
若存在,求出直线I的斜率k;若不存在,请说明理由.
一点,△AFR的周长为4+23.
求椭圆C的方程;
过点Q(-4,0)任作一动直线I交椭圆C于MN两点,记MQ二
使得MR二-■RN,则当直线I转动时,点R在某一定直线上运动,求该定直线的方程
2
2.抛物线的标准方程为x2=4y,所以准线为y--1.圆的标准方程为,所以圆心为
2
222
代入一y=1得x=4(Vb),所以
4
当b=0时,|AB有最小值4,选C.
5.由题意知a=2,所以|BF2|+|AF2|+AB=4a=8因为|BF2IAF2|的最大值为5,所以AB的最小值
222
―,所以44b4P1,即'A1,所以Al,解得宀3,所以3,
选D.
6.抛物线的焦点坐标F(1,0),准线方程为y=-1.根据抛物线的定义可知|PM|=|PF
8.抛物线的焦点为(3,0),即c二3.双曲线的渐近线方程为
b2=2a2二c2-a2,所以c2=3a2,即e2=3,^3,即离心率为
9.B抛物线的焦点为(P,0),准线为x二-P.双曲线的右焦点为(3,0),所以P=3,即p=6,即y=6x.
222
=AM|,设A(x,y),则y=x+3代入
过F做准线的垂线,垂足为M,则|AK二2AF二2AM|,即|KM
y2=6x,解得x=3.选B.
K
10.不妨取双曲线的右焦点为(c,0),双曲线的渐近线为y=一x,即bx-ay=0.则焦点到准线的距离为
a
一一ITc,即一=35^春
11.因为三个数2,m,8构成一个等比数列
22
xy22
〔,此时为椭圆,其中a=4,b
42
22422293
=c2-a2,所以一c2=a2,即e2,所以离心率e,选A.
942
所以=28=16,即m=「4.若m=4,则圆锥曲线方程为
=2,c?
=4-2=2,所以a=2,c=#3,离心率为e=—=-^-3
a2
yx222
2—4,则圆锥曲线方程为2一4儿此时为双曲线,其中a=2,b",c*26,所
a=<2,c=16,离心率为e=2=$6=v3.所以选C.
aV2
+9=c?
=25,所以a?
=16,a=4,所以离心率为e=E
a
选C.
13.双曲线的右焦点为(3,0),双曲线的渐近线为
y一2x,不妨取渐近线
2
y誇x,即弋N-2y=o,所以
圆心到直线的距离等于圆的半径,即r=
32
辺二3=
(2)22263
3,所以圆的标准方程为
(x-3)2y2=3,选D.
14.抛物线的焦点为F(p,0),准线方程为xp,所以|MF=1-(-p)=5,解得p=8,即抛物线为
222
y2=16x,又m2=16,所以m=4,即M(1,4),所以半径为1,所以圆的方程为(x-1)2•(y-4)2=1,选A.
15.解:
抛物线的焦点为F(p,0),即p=c.当x=c时,y2=4pc=4c2,所以y=,2c,不妨取y=2c,即
c24c2
A(c,2c).又因为点A在双曲线上,所以
VrU,ooooo
—2…2=1,即2ac二b,所以2ac=b二c-a,即e-2e-1=0,
ab
抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x二
「1.由题意PF二PA",则Xp—(―〔)=4,即Xp=3,
所以
yP2=43,即yP=23,不妨取P(_123),则设直线AF的倾斜角等于r,则tan--—33,
—1—1
所以
2n
八3,选B.
17.抛物线的焦点坐标为(p,0),椭圆的右焦点为(2,0),所以由p=2得p=4,选D.
22
18.由题意知2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,所以b=c—^a=3.又双曲线的渐近线方程是y=x,
a
即y=3x,选C.
19.椭圆的焦点为(1,0),顶点为(2,0),即双曲线中a=1,^2,所以双曲线的离心率为e=c=2=2,选C.
a1
20.抛物线的焦点为(0,-4),所以双曲线的焦点在y轴上,且c=4,又双曲线过点
P(0,2),所以P为双曲线的
2一个顶点,所以a=2,b2二c2-a2=16-4=12,所以双曲线的标准方程为y
4
2
—=1,选C.
12
_22
21.双曲线的右焦点为(J3,0),即c=*''13,所以9+a=c=13,所以a=4.即双曲线为—=1,所以
94
双曲线的渐近线为y=2x.
3
bx22x
22.圆心到直线的距离d七",所以心2抛物线的方程为yp,函数的导数为八环
1
-x,
P
即y‘=1x=1,所以x=p,代入得y二P,代入切线y=x,b得P二b,p,即b=-P,所以
p222
所以制=2忑,即p=2血.
22
23.抛物线y-8x的焦点为(2,0),双曲线的一个焦点如抛物线的焦点重合,所以c=2.又a
2
=1,b=m,所
222
c=ab,即4=1m,m=3.
2
24.因为双曲线的焦点为(0,2),所以焦点在y轴,所以双曲线的方程为y
-3m-m
2
a2二-3m,b2二-m,c2二-3m-m二-4m二4,解得m=-1,所以椭圆方程为y-川'x=1,且n•0,椭圆的焦
n
距为2c=4,即c=2,所以c2二n-1=4,解得n=5.
KAu
25.双曲线的渐近线为y=±—x.直线x+2y=0的斜率为y=.因为y=—x与直线x+2y_1=0垂
a2a
—i_
直,所以—(一_)=一1,即b=2a.所以c2二a2•b2=5a2,即e2=5,e二5.
a2
22
26.抛物线的焦点坐标为(0,2),所以双曲线的焦点在y轴上且c=2,所以双曲线的方程为y一x=1,即
n—m
22—c
an0,bm0,所以aFn,又e--aJn
222
2,解得n=1,所以b=c
2
—a4—1=3,即
-m=3,m二-3,所以双曲线的方程为
2
2X
y-1.
3
27.抛物线的焦点坐标为
(-2,0),准线方程为x=2.则c=2.所以c2=m-3=4,解得m=1,所以双曲线的
离心率为e=纟=2.
a
28.抛物线的焦点坐标为
(b,0),由题意知
2
c=2b,所以c2=4b2=4(c2-a2),即4a2=3c2,
所以2a=』3c,所以e=c=_2r=23aJ33
29.双曲线的左顶点为(-a,0),抛物线的焦点为(p,0),准线方程为x二-p.由题意知p「(-a)=4,即
222
P,a=4.又双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点坐标为(-2,-1),所以xP=-2,解得p=4,代
22
入一亠a=4得a=2.且点(—2,—1)也在渐近线yx上,即~1(_2),解得b-1,所以
2a2
c二a2,b2二4*1=5,所以双曲线的焦距为2c=2.5.
30.解:
(I)直线PQ斜率为1,设直线l的方程为y=x・c,其中c=4a2-b2
设P(x「%),Q(X2,y2),则P,Q两点坐标满足方程组
y=xcoa2p
x2y2化简得(a2b2)x22a2cx•a2(c2「b2)=0,则x1x^
a2b2_1
a2b2'
22.2
ac-b
X1X2——22a2b2
因为,所以|PQ|="2|X2—X1|=佃(*+X2)2—4X1X2]fa得3a=將,故a^2b2,所以椭圆的离心率吒=号
(n)设PQ的中点为N(x0,y°),由⑴知x°二
x1x2-a2c
孑b2
2c
=-3C,y0=x0C=3.
33
yo--1,得c=3,从而a=32,b=3.故椭圆的方程为
Xo
31【答案】解:
⑴T2a=4,
--a=2
又M(3,22)在椭圆上
12
—=1解得:
b2=2,•••所求椭圆方程
42b
2
x-y
4
⑵kMO匚
联立方程组
-2
X-y
一6.设直线AB的方程:
y--6xm,
1消去y得:
13x2-46mx2m2-4=0
y=r'6x+m
—2222
^(46m)-413(2m-4)=8(12m-13m26)0,
2m2-4
二m2:
:
26.
4j6m
X1X2,X1X2
1313
设A(X1,yJ,B(X2,y2),
则OAOB二xxy1y2
2
=7x1x^:
6m(x1x2)m
3m2二28
—13—
•OAOB的取值范围
32.【答案】
2850
13'13
*:
(【)因AM^*tj+2x=O的圆心为(7.0)冲桧zl,所以椭闻的半焦距“I.又橢圈上的点到点F的彊离最小值为匝",所Wa-€=^-lt即所以,所求欖圆的方程为y+/=!
■2分
(n)(p当倉线i与*轴垂亶时」的方禅为““,可求得飢-1角上(.i,■坷
22
此时*初-M3=(-1"1*gr辛)=-器*…卄4分
②当直线I与x轴不垂克时,没克线I的方程为+
y=fc(x+1)
由V,得(I+2iJ)i!
+4Vx+2fcJ-2=0.&分
™+y=1
dk1.7
设机⑧j)上(衍,50.则曲+*3"'★汕*=厂页F7分
S为亦袖=3*£片)<仙诗肿十宀手)3诗}f和
所以,和・血为定佻且定值为「L
悅分
33.【答案】
解:
(1)由题意可设椭圆G的月程炉UIS"O)
Ork
S'Ja=2,f=~r2分
•、心打只±1AC3的方程为斗+#=L4分
(U)由机-2』)’设已虑的坐标为(xL,y)J<线J的斜率为叙则直纱f的方程为y=k(x+2).
y=fc(i+2),
于是“两点的坐标满足方規组,/,
-訂+V=I.
4-
由-3
2-8V叶W从耐
由方配组悄去『井整雁■得{】*4FW“曲工屮]肿-4=0,
4斤
I+4F
.ftt-iti
设銭段AS的申点为M*则M的坐IS为(-]+4V*l+4i1)'7分
①M^=0时芒怖坐掠为心①),线段乂B的垂直平分线为孑釉.于是/=(-2p-J.)^=(2<■加•由/'讷"、得
yn=的方捏为y=09分
②当^#0时,线段的莊权平分线方程为
由鬲=(-2.-*}笑心川-yJ-
4(16^+\5k2-I)
J1+4k2)2=
整理谒?
F=2.故"士
7
•J的方程为y=+2).
34.【答案】
fi?
;(I)设林圜的方程为»$=1(泊宀0:
由題蔥知3=2伤加“:
一-1分
由广HQ*:
伽•1“,所以XI「从而“禺一:
*3分
:
所戌•所求摘闊方程Ay+/*L—:
斗分
(n)假设存在溝足条件的直线丄
囲为立线耳f的斜寧等于1HR芒、故可设i的方程为厂"也
[2一+,一彳#3諾上号4znx+2nF+2=(X・-*•■**'•*•****'■•'■•*••*****•*■**********5分
ly=x+tFi…
由SSffl^=16m1-\2(2^-2)“
且屯5=晋严円丈遥二三打一••……二…7分
tn赫R—4叫工—4(2皿2=2,_473-m3
所以“①=血!
禺pj二吃*/(円r)"虹声厂农屮E丁)-3■3
虑O到总线PQ們距肉为d=曙;■……■:
;9分
m*-3mJ+2匸心
辭得卅=1或2,所以心±1或士住邂然潇足卅《3・也当砒=-〔时卫致了二八£与合*故舍去・
2二|皿*—jiMJ.JlJLMi丿—***「I———.if—.
所以•存在询足条件的i£线/,这样曲立线共3条成方程为汙"十2/土找…12分
35.【答案】
1)vWHI离心率为亨:
斗先・心屁1分
又"衲岡杞为M皿曲再2分
c-1
二挿圆£的标曲方+y-i]分
(H1由題盘设点川乳.、J.旳心虽)f(%氐)当無率不fF在时潘样的眇不淸定題恿
*.设直线I的斜率为$则直线I的方程为:
-1)
将的方程代人嚅匱方晁•幣理可得:
(2+3F)『-6fcLx+3L'-6=0*55t
■-■四边J^OAPfi为平行削边JB二5?
=苗*屈■从而
2+3F
电=軌+x.
又P(JCflT>Jftffifflt»
:
*I2V+8V=4+l2V+9?
-4k'-4=0
,-.(3A:
+2)(r-2)二0
解得:
&二±J1H分
干是所求直SU的方程为:
T=±^(x-l)12分
36.【答案】
解:
(I)»W8S的方程为£+$=1">6>0)■由題酒可得:
楠國<?
两焦点塑标分别为>Fa(it0).[分
**■2a-J(】+1)**(^)1+*;(1-I):
+(y)J*y+y*4*3分
Aa=2t又c=141=4-]=3t
故椭圆的方程为半+彳=1.3分
(n)当直绘/丄■轴时,ti■算得到:
4(-1r-,9(-1孑),
比旳洛TMI""過曲其—3’不符合题款—当亶线』与丄轴不垂直时罰线/的方程为寸=i(x+1)try=+i)
由H丿,消去(3
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