椭圆离心率高考练习题.docx

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椭圆离心率高考练习题

椭圆的离心率专题训练

一．选择题（共29小题）

1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值围是（　　）

A．B．C．D．　

2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（　　）

A．B．C．D．　

3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值围为（　　）

A．B．C．D．

4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（　　）

A．B．C．D．

5．设椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（　　）

A．B．C．D．　

6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（　　）

A．B．C．D．

7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值围是（　　）

A．B．C．D．　

8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（　　）

A．B．2﹣C．2（2﹣）D．　

9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值围是（　　）

A．B．C．D．或

10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值围是（　　）

A．B．C．D．　

11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值围是（　　）

A．（0，）B．（0，）C．D．

12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（　　）

A．B．C．D．

13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C：

+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（　　）

A．B．C．D．一l

14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（　　）

A．B．C．D．

15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（　　）

A．B．C．D．　

16．已知椭圆C：

的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（　　）

A．B．C．D．

17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（　　）

A．B．C．D．　

18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值围是（　　）

A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）　

19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（　　）

A．B．C．D．﹣1　

20．已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）和圆O：

x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值围是（　　）

A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]

21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆

的离心率的取值围是（　　）

A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）

22．设F1、F2为椭圆C：

+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，

则e2=（　　）

A．2﹣B．3﹣C．11﹣6D．9﹣6

23．直线y=kx与椭圆C：

+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值围是（　　）

A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）　

24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值围是（　　）

A．[，]B．（0，]C．[，1）D．[，]

25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值围为（　　）

A．B．C．D．

26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：

y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（　　）

A．B．C．D．

27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值围是（　　）

A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）

28．已知椭圆C1：

=1（a＞b＞0）与圆C2：

x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值围是（　　）

A．B．C．D．

29．已知圆O1：

（x﹣2）2+y2=16和圆O2：

x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（　　）

A．B．C．D．

参考答案与试题解析

一．选择题（共29小题）

1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值围是（　　）

A．B．C．D．

解答：

解：

①当点P与短轴的顶点重合时，

△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，

此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；

②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，

以F2P作为等腰三角形的底边为例，

∵F1F2=F1P，

∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上

因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，

存在2个满足条件的等腰△F1F2P，

在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，

由此得知3c＞a．所以离心率e＞．

当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠

同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P

这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形

综上所述，离心率的取值围是：

e∈（，）∪（，1）

2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（　　）

A．B．C．D．

解答：

解：

∵表示焦点在x轴上且离心率小于，

∴a＞b＞0，a＜2b

它对应的平面区域如图中阴影部分所示：

则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为

P==，

故选B．

3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值围为（　　）

A．B．C．D．

解答：

解：

已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：

N

则：

连接AF，AN，AF，BF

所以：

四边形AFNB为长方形．

根据椭圆的定义：

|AF|+|AN|=2a

∠ABF=α，则：

∠ANF=α．

所以：

2a=2ccosα+2csinα

利用e==

所以：

则：

即：

椭圆离心率e的取值围为[]

故选：

A

4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（　　）

A．B．C．D．

解答：

解：

两个交点横坐标是﹣c，c

所以两个交点分别为（﹣c，﹣c）（c，c）

代入椭圆=1

两边乘2a2b2

则c2（2b2+a2）=2a2b2

∵b2=a2﹣c2

c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c2

2a^4﹣5a2c2+2c^4=0

（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0

=2，或

∵0＜e＜1

所以e==

故选A

5．设椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（　　）

A．B．C．D．

解答：

解：

设|PF2|=x，

∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，

∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，

又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c

∴2a=3x，2c=x，

∴C的离心率为：

e==．

故选A．

6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（　　）

A．B．C．D．

解答：

解：

设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，

∴G点坐标为G（，），

∵，∴IG∥x轴，

∴I的纵坐标为，

在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c

∴=•|F1F2|•|y0|

又∵I为△F1PF2的心，∴I的纵坐标即为切圆半径，

心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为切圆半径的小三角形

∴=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||

∴•|F1F2|•|y0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||

即×2c•|y0|=（2a+2c）||，

∴2c=a，

∴椭圆C的离心率e==

故选A

7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值围是（　　）

A．B．C．D．

解答：

解：

设P（m，n），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，

∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．

把P（m，n）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，

把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，

b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．

又m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．

综上，≤≤，

故选：

C．

8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（　　）

A．B．2﹣C．2（2﹣）D．

解答：

解：

如图，

在Rt△MF1F2中，∠MF2F1=60°，F1F2=2c

∴MF2=4c，MF1=2c

MF1+MF2=4c+2c=2a⇒e==2﹣，

故选B．

9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值围是（　　）

A．B．C．D．或

解答：

解：

∵椭圆C上的点P满足，∴|PF1|==3c，

由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．

利用三角形的三边的关系可得：

2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，

化为．

∴椭圆C的离心率e的取值围是．

故选：

C．

10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值围是（　　）

A．B．C．D．

解答：

解：

F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），

则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．

在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，

解得x12=．

∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1

∴e=≥．

故椭圆离心率的取围是e∈．

故选A．

11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值围是（　　）

A．（0，）B．（0，）C．D．

解答：

解：

设P（asinα，bcosα），A1（﹣a，0），A2（a，0）；

∴，；

∴；

∴；

∴，a，c＞0；

∴解得；

∴该椭圆的离心率的围是（）．

故选：

C．

12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（　　）

A．B．C．D．

解答：

解：

设椭圆（a＞b＞0），

F1（﹣c，0），F2（c，0），

|MF2|=|F1F2|=2c，

由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，

|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，

即a﹣c=2，①

取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，

由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，

即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②

由①②解得a=7，c=5，

则离心率e==．

故选：

D．

13．椭圆C：

+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（　　）

A．B．C．D．一l

解答：

解：

设F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A（m，n），则，

∴m=，n=c，

代入椭圆方程可得，

化简可得e4﹣8e2+4=0，

∴e=﹣1，

故选：

D．

14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（　　）

A．B．C．D．

解答：

解：

F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，

设F1（﹣c，0），F2（c，0），（c＞0），

P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，

可得2c=2，即ac=b2=a2﹣c2．可得e2+e﹣1=0．

解得e=．

故选：

D．

15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（　　）

A．B．C．D．

解答：

解：

由题意作图如右图，

l1，l2是椭圆的准线，设点Q（x0，y0），

∵2|PF1|=3|QF1|，

∴点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；

又∵|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，

∴2|MP|=3|QA|，

又∵|MP|=﹣c﹣x0+，|QA|=x0+，

∴3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），

解得，x0=﹣，

∵|PF2|=|F1F2|，

∴（c+x0+）=2c；

将x0=﹣代入化简可得，

3a2+5c2﹣8ac=0，

即5﹣8+3=0；

解得，=1（舍去）或=；

故选：

A．

16．已知椭圆C：

的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（　　）

A．B．C．D．

解答：

解：

如图所示，

在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．

又|MF2|=2|OA|，

在Rt△OMF2中，

∴∠AF2F1=60°，

在Rt△AF1F2中，

|AF2|=c，|AF1|=c．

∴2a=c+c，

∴=﹣1．

故选：

C．

17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（　　）

A．B．C．D．

解答：

解：

∵|MF1|=|MO|=|MF2|，

由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|，

即|MF2|=a，|MF1|=a，

在△F1OM中，|F1O|=c，|F1M|=a，|OM|=a，

则cos∠MOF1==，

在△OF2M中，|F2O|=c，|M0|=|F2M|=a，

则cos∠MOF2==，

由∠MOF1=180°﹣∠MOF2得：

cos∠MOF1+cos∠MOF2=0，

即为+=0，

整理得：

3c2﹣2a2=0，

即=，即e2=，

即有e=．

故选：

D．

18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值围是（　　）

A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）

解答：

解：

由已知P（，y），得F1P的中点Q的坐标为（），

∴，

∵，∴y2=2b2﹣，

∴y2=（a2﹣c2）（3﹣）＞0，

∴3﹣＞0，

∵0＜e＜1，

∴＜e＜1．

故选：

C．

19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（　　）

A．B．C．D．﹣1

解答：

解：

如下图所示：

设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得

直线OP的斜率为k=tan60°=，

∴点P坐标为：

（c，c），

代人椭圆的标准方程，得

，

∴b2c2+3a2c2=4a2b2，

∴e=．

故选：

D．

20．已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）和圆O：

x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值围是（　　）

A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]

解答：

解：

如图所示，连接OE，OF，OM，

∵△MEF为正三角形，

∴∠OME=30°，

∴OM=2b，

则2b≤a，

∴，

∴椭圆C的离心率e==．

又e＜1．

∴椭圆C的离心率的取值围是．

故选：

C．

21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值围是（　　）

A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）

解答：

解：

如图所示，

设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：

，

取y=，A．

∵△ABC是锐角三角形，

∴∠BAD＜45°，

∴1＞，

化为，

解得．

故选：

A．

22．设F1、F2为椭圆C：

+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（　　）

A．2﹣B．3﹣C．11﹣6D．9﹣6

解答：

解：

可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，

若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，

则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，

由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，

即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，

则|AF2|=2a﹣m=

（2）a，

在直角三角形AF1F2中，

|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，

即4c2=4（2﹣）2a2+4（）2a2，

即有c2=（9﹣6）a2，

即有e2==9﹣6．故选D．

23．直线y=kx与椭圆C：

+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值围是（　　）

A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）

解答：

解：

设F2是椭圆的右焦点．

∵•=0，

∴BF⊥AF，

∵O点为AB的中点，OF=OF2．

∴四边形AFBF2是平行四边形，

∴四边形AFBF2是矩形．

如图所示，

设∠ABF=θ，

∵BF=2ccosθ，BF2=AF=2csinθ，

BF+BF2=2a，

∴2ccosθ+2csinθ=2a，

∴e=，

sinθ+cosθ=，

∵θ∈（0，]，

∴∈，

∴∈．

∴∈，

∴e∈．

故选：

D．

24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值围是（　　）

A．[，]B．（0，]C．[，1）D．[，]

解答：

解：

设P（x0，y0），则2c2==（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=+，化为．

又，∴=，

∵，

∴，

∵b2=a2﹣c2，∴，

∴．

故选：

A．

25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值围为（　　）

A．B．C．D．

解答：

解：

设P（x0，y0），则，

∴=．

∵，

∴（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=c2，

化为=c2，

∴=2c2，

化为=，

∵，

∴0≤≤a2，

解得．

故选：

D．

26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：

y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（　　）

A．B．C．D．

解答：

解：

由题意知c=1，离心率e=，

椭圆C以A，B为焦点且经过点P，

则c=1，

∵P在直线l：

y=x+2上移动，

∴2a=|PA|+|PB|．

过A作直线y=x+2的对称点C，

设C（m，n），则由，

解得，即有C（﹣2，1），

则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，

此时a有最小值，

对应的离心率e有最大值，

故选C．

27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值围是（　　）

A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）

解答：

解：

如图所示：

|AF2|=a+c，|BF2|=，

∴k=tan∠BAF2=，

又∵0＜k＜，

∴0＜＜，

∴0＜＜，

∴＜e＜1．

故选：

D．

28．已知椭圆C1：

=1（a＞b＞0）与圆C2：

x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值围是（　　）

A．B．C．D．

解答：

解：

连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，

∵∠BPA