平面上直线的位置关系和度量关系.docx
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平面上直线的位置关系和度量关系
平面上直线的位置关系和度量关系
【本讲教育信息】
一.教学内容:
暑假专题——平面上直线的位置关系和度量关系
二.教学目的:
1.通过专题复习,梳理这一章的有关内容,综合运用本章知识解决一些问题。
2.正确识别线段、角、平行、垂直等有关概念。
准确理解并掌握几何图形的性质。
3.并能准确画出平面几何图形,解决平面几何图形问题的推理计算。
三、教学重点、难点:
重点:
线段、角、平行、垂直等有关概念、几何图形的性质与判定。
难点:
平面几何图形的画图、平面几何图形问题的推理计算。
四、本周教学的知识要点:
1.直线、射线、线段的联系和区别
联系:
射线、线段是直线的一部分,把射线反向延长,而线段向两方延长,就得到一条直线。
区别:
直线没严密的定义,只能说明像一根拉紧无限长的线,可用两个大写字母或一个小写字母表示,无始无终,没有端点,向两方向延伸,并且两点确定一条直线。
射线是直线上一点和它一旁的部分,可用两个大写字母表示,顶点字母写在前面,也可用小写字母表示,有一端点,可向一方向延伸,线段是直线上两点和它们之间的部分。
可用两大写字母表示,或一个小写字母表示,有两个端点,不可延伸,并且两点之间,线段最短。
2.角的定义:
①有公共端点的两条射线组成的图形。
②一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置组成的图形。
3.线段的比较、角的比较:
方法一:
度量法
线段的度量工具是刻度尺。
角的度量工具是量角器。
方法二:
叠合法。
4.线段与角的换算:
5.线段的中点:
它是把一条线段分成两条相等的线段的点。
6.角的平分线是把一个角分成两个相等的角,并且以这个角的顶点为端点的一条射线。
7.角的分类:
特殊角:
周角、平角、直角、0°角
关系角:
数量关系的角:
互为余角、互为补角
位置关系的角:
对顶角、同位角、内错角、同旁内角
数、位关系角:
邻补角
范围角:
钝角、锐角
8.角的性质:
①互余的两个角和为90°
②互补的两个角和为180°
③同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等
9.点与直线的位置关系
①点在直线上
②点在直线外
10.平面内不重合的两直线的位置关系有平行、相交。
11.平行线的几个结论:
①平行公理及推论:
公理:
过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
推论:
如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。
②平行线的性质与判定:
两直线平行
12.垂直的概念、结论
①两条直线相交所成的四个角中,有一个是直角时,这两条直线互相垂直,其中每一条直线叫另一条的垂线,交点叫垂足。
②在平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行。
③在平面内,如果一直线垂直于两平行线中的一条,那么这条直线必垂直于另一条。
④在平面内通过一点有一条并且只有一条直线与已知直线垂直。
⑤垂线段最短。
⑥两平行线的所有公垂线段都相等。
⑦两平行线上各取一点连结而成的所有线段中,公垂线段最短。
【典型例题】
例1.(几何图形中的角的简单计算)
如图,AB//CD,P为AB、CD之间的一点,若∠1=32°,∠2=25°,求∠BPC。
分析:
要求∠BPC的大小,先要联想它与已知的∠1、∠2可建立什么联系,及由AB//CD得到什么结论,可尝试过P点引AB的平行线(在∠BPC内部或外部)也可以延长CP交AB于一点E。
此题只要想到辅助线的作法一点都不难了。
解:
方法一:
过P作PL//AB,如图
则∠1=∠3
又∵AB//CD
∴PL//CD
∴∠2=∠4
又∵∠1=32°,∠2=25°
∴∠BPC=∠3+∠4=∠1+∠2=32°+25°=57°
方法二:
延长CP交AB于E
∵AB//CD
∴∠5=∠2
∵∠2=25°,∴∠5=25°,又∵∠1=32°
∴∠BPC=∠1+∠5=32°+25°=57°
说明:
此方法二里涉及三角形一外角等于不相邻两内角的和,还可尝试过C点作PB的平行线。
例2.(线段长度的计算)已知AB=11cm,C为AB上一点,M、N分别是AC、CB的中点,求MN的长。
分析:
这道题要根据已知准确地画图,理解中点的含义,观察MN与已知线段的联系。
解:
根据已知画出草图如下:
∵M、N分别为AC、CB的中点
答:
MN的长为5.5cm。
例3.如图A、B、C、D在一条直线上,那么图中共有多少条线段?
n个点在一条直线上,图中共多少条线段?
分析:
这是一道根据线段的定义按照一定的顺序归纳线段的条数,可按从左到右的顺序去数线段的条数,分别以A、C、D为端点,做到不重复不遗漏。
譬如,AB与BA是同一条线段,不能重复。
解:
如图中以A为端点,从左往右数有线段AC、AD、AB共3条
以C为端点,从左往右有CD、CB共2条
以D为端点,只有DB1条
所以A、B、C、D在同一直线上,共有3+2+1=6条线段
如果图中有n个点在一条直线上,方法一样。
对于左边起第一个点它与后面(n-1)点构成(n-1)条线段
对于左边起第二个点,可构成(n-1-1)=(n-2)条
……
对于右边起第二个点,可构成1条
所以n个点在一条直线上,图中有
例4.(角的换算)
①把18.18°化成度、分、秒的形式。
②把59°31’30’’化成度的形式。
③当钟表的时间为12点30分钟时,时针与分针构成多少度的角?
④一个角∠α的余角是∠β的补角的
,且∠α:
∠β=2:
3,求∠α与∠β的度数。
分析:
①把度化成度、分、秒形式,要用度的小数乘以60,化成分,再以分的小数部分乘以60化成秒,秒的小数部分四舍五入。
记住以大化小要乘60。
②把度、分、秒化为度的形式,以小化大要除以60,或3600,
每小格对应6°。
④根据∠α、∠β的关系列出方程组来解,用代数的方法解决几何问题。
解:
①
∴18.18°=18度10分48秒
③12点30分钟时针位于钟表上12与1的中间位置,分针位于6的位置。
它们之间有5格半的差距,∴它们所构成的角=5.5×30°=165°
答:
时间为12点30分钟时,时针与分针构成165°的角。
④根据已知得
答:
∠α为60°,∠β为90°。
例5.如图,已知∠A=∠F,∠C=∠D,求证,BD//CE。
分析:
这道题要利用分类讨论和转化的方法,通过分类转化,在证明或计算过程中,使大家在对各类图形及性质、判定有了深刻的认识,通过已知结合所学的概念、公理、定理一步一步转化出结论,此题要证明BD//CE可想办法证得∠D=∠CEF或∠D+∠CED=180°,
因此只需证得∠C=∠CEF或∠C+∠CED=180°,
这要先证得AC//DF,这里只用一种情况来证明,余下由同学自己证。
证明:
∵∠A=∠F(已知)
∴AC//DF(内错角相等,两直线平行)
∴∠C=∠CEF(两直线平行,内错角相等)
又∵∠C=∠D(已知)
∴∠D=∠CEF(等量代换)
∴BD//CE(同位角相等,两直线平行)
例6.如图,在△ABC中,BD⊥AC于D,FG⊥AC于G,ED//BC,求证:
∠1=∠2。
分析:
这道题要用到化归和比较的方法,解题时要把生避的问题化归为简单的熟悉的几何知识,从而轻易解决。
同时通过比较的方法找到一个中间量,从而更熟悉各类几何知识。
此题可以找一个中间角∠3与∠1、∠2加以比较。
证明:
∵BD⊥AC,FG⊥AC(已知)
∴BD//FG(同一平面内,垂直于同一直线的两直线互相平行)
∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等)
又∵ED//BC(已知)
∴∠1=∠3(两直线平行,内错角相等)
∴∠1=∠2(等量代换)
【模拟试题】(答题时间:
40分钟)
一、填空
1.∠A与∠B互为邻补角,∠A=124°,∠B=________。
2.如图,OA⊥OB,∠1:
∠2=2:
1,则∠1=________,∠2=________。
3.如一个角两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角的关系为________。
4.小明沿南偏东60°方向到某地,然后又沿路返回,其返回方向为________。
5.如图所示,∠1=∠2=100°,∠5=65°,则∠3=________,∠4=________。
6.如图所示,∠1=∠2,再添条件________,可使AB//CD。
7.如图,AD//BC,BD、AC交于O,且OC=2OA,△AOB的面积为
,则△BDC的面积=________。
8.①5.18°=________度________分________秒。
②9°30’12’’=________度。
③3点钟时,时针与分针所构成的角=________。
9.AB=16cm,点C为AB中点,点D为CB中点,则AC=________,AD=________。
二、解答与证明:
1.如图所示,直线AB、CD互相垂直,垂足为O,直线EF过O点,∠DOF=36°,求∠AOE的度数。
2.如图所示,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠ACB的关系,并说明理由。
3.如图,M为AC上一点,AB//CD,∠1=∠B,∠2=∠D,那么BM与DM的位置关系怎样?
说明理由。
【试题答案】
一、填空
1.56°
2.60°30°
3.互补或相等
4.北偏西60°
5.35°,65°
6.∠EBD=∠FDN或∠MBE=∠MDF或∠EBD+∠BDF=180°
7.
8.①51048②约9.503③90°
9.8cm12cm
二、解答与证明:
1.解:
又
2.解:
可判断
理由如下:
(对顶角相等)
(已知)
(等量代换)
(同旁内角互补,两直线平行)
(两直线平行,同旁内角互补)
又
(已知)
(等量代换)
∴DE//BC(同旁内角互补、两直线平行)
∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等)
3.解:
BM⊥DM
理由如下:
过M作ML//AB
又
又
第3章平面上直线的位置关系和度量关系
第1课时
教学课题:
3.1.1直线、射线和线段
教学目标:
1、认识直线、射线和线段。
2、能正确区分直线、射线和线段;掌握它们的联系和区别。
3、掌握点与直线的两种位置关系及直线的基本性质。
教学重点:
1、直线、射线、线段的概念2、直线的性质3、点与直线的位置关系
教学难点:
点与直线的位置关系、直线的性质
教学过程:
一、启发谈话,引出线,认识直线。
在我们日常生活中经常可以看到各种各样的线,如电线、电话线、电视天线、广播线、电话机的话绳、跳绳的绳子,写字的时候铅笔尖移动会画出各种各样的线。
小结:
这些线有的是直的,有的是弯曲的。
1、两团毛线中间是一条曲线,能不能把它变成一条直线呢?
(把线拉紧,就成一条直线)
2、假设线球的线是无限长的,这样就形成一条直线。
小结:
今天我们一起来讨论一下它的性质及有关知识。
直线可以向两端无限延长,那么它有没有端点?
板书:
没有端点
直线没有首尾无法度量,我们就说直线是无限长的。
二、认识线段和射线。
在黑板上画一条直线,这是一条直线,在直线上加上两个点,一点A一点B,指出:
直线上两点之间的一段叫线段。
(1)观察线段,它有几个端点?
两个端点
(2)小结:
它有头有尾,所以它的长度是有限的。
小结:
我们可以用直尺度量出它的长度。
(3)如果我们把线段的一端端点去掉,这一端就可怎样?
这样我们就得到一种新的线,这种只有一个端点的线叫做射线。
(4)仔细观察射线并和线段进行比较后思考:
<1>射线有几个端点?
<2>它的长度是不是固定的?
<3>能否用直尺度量出它的长度?
(5)在日常生活中我们经常可以看到一些直线、射线、线段,谁来举一些例子?
小结:
刚才我们和大家一起认识了直线、线段和射线。
打开课本38页仔细阅读课文,并准备回答以下几个思考题。
<1>直线有什么特点?
<2>什么叫线段?
<3>射线有什么特点?
<4>线段、射线和直线有什么关系?
(6)同学们不仅认识了直线、射线和线段,了解了它们之间的联系和区别。
在黑板上画出不同的线,要求学生说出哪些是直线?
哪些是线段和射线?
(7)线段、射线、直线的表示方法
三、点与直线的位置关系
(1)画出点与直线的两种位置关系,引导学生观察它们的特点
(2)自己画出点与直线的两种位置关系
(3)师生共同举出一些生活上的点与直线的位置关系的例子
四、直线的基本性质
(1)经过一点画直线
(2)经过两点画直线
(3)经过三点画直线,经过n个点呢?
(4)归纳:
经过两点有一条并且只有一条直线。
五、巩固
通过刚才的学习,我们不仅认识了直线、线段和射线及直线的特点,下面老师考考大家,看你是否真掌握。
1、判断:
<1>一条直线长12CM。
()
<2>直线比射线长。
()
<3>线段是直线的一部分。
()
<4>两个端点之间可连成一条直线。
()
2、下面图形有几条线段?
哪条线段最长?
哪条线段最短?
<1>学生自由数线段各抒己见。
<2>教给学生数线段的方法。
方法一:
以线段的端点为顺序,从左向右观察以A为左端点的线段有几条?
AB、AC、AD一共有三条。
以B为左端点的线段有几条?
BC、BD一共有两条。
以C为左端点的线段有几条?
CD一条。
一共有几条线段?
哪条线段最长?
哪条线段最短?
方法二:
以基本线段的条数为顺序基本线段有AB、BC、CD三条。
线段上有一个分点的线段有AC、BD共两条。
线段上有两个分点的线段有AD一条。
一共有几条线段?
3+2+1=6(条)
<3>小结:
数线段的方法有多种,同学们应灵活运用。
<4>发展:
同学们你们有没有发现有两条基本线段的图形就有(2+1)条线段;有三条基本线段的图形就有(3+2+1)条线段;那么有四条、五条基本线段的图形又有几条线段呢?
课后好好动动脑筋想一想。
3、练习P40
六、总结:
这堂课你了解了哪些知识?
七、作业:
完成基础训练册的有关内容
第2课时
教学课题:
3.1.2线段长短的比较
教学目标:
1、掌握比较线段长短的方法,会比较线段的长短。
2、会作一条线段等于已知线段的几倍;会作两条线段的和与差。
3、掌握线段中点的概念。
4、会度量线段的长度;会画指定长度的线段。
培养学生动手能力以及良好的空间观念。
教学重点:
1、比较线段长短的方法2、按要求画出线段
教学难点:
按要求画出线段
教学过程:
一、复习
1、线段的概念,学生动手画出
(1)直线AB。
(2)射线OA。
(3)线段CD。
2、提出问题:
能否量出直线、射线、线段的长度?
二、讲解P40动脑筋
1、怎样比较两个学生的身高?
得出为什么要站在一起,脚底要在一个平面上?
2、怎样比较两座大山的高低?
只要量出它们的高度。
3、通过实例,引导学生发现线段大小的比较方法
教师设计以下过程由学生完成。
由此引导学生发现线段大小比较的两种比较方法:
重叠比较法将两条线段的各一个端点对齐,看另一个端点的位置。
教师为学生演示,步骤有三:
(1)将线段AB的端点A与CD的端点C重合。
(2)线段AB沿着线段CD的方向落下。
(3)若端点B与端点D重合,则得到线段AB等于线段CD,可以记作AB=CD。
若端点B落在D上,则得到线段AB小于线段CD,可以记作AB 若端点B落在D外,则得到线段AB大于线段CD,可以记作AB>CD. CDCDCD └─────┘ └─────┴─┘ └─────┴──┘ ABABAB 数量比较法用刻度尺分别量出线段AB和线段CD的长度,将长度进行比较.可以用推理的写法,培养学生的推理能力。 写法如下: 因为量得AB=5cm,CD=5cm,所以AB=CD(或AB 三、度量线段的长度 1、这里有一条线段,要知道它的长度,该怎么测量? 教师讲解: 把线段的一个端点A对准直尺0刻度线,读出另一个端点B所对直尺的刻度就是线段的长度。 2、同学们已经会度量线段的长度,现在老师要同学们画一条3.5CM长的线段,会不会画? 你准备怎样画? (相互讨论一下后交流汇报) (1)、定点<定位置>画线段 (2)、找点(板书) (3)、连线 3、在练习本上画一条4.5CM长的线段,巩固画线段的方法。 4、提出数与形的问题: 线段是一个几何图形,而线段的长度可用一个正数表示。 这就是数与形的结合。 5、线段的两种度量方法: (1)直接用刻度尺。 (2)圆规和刻度尺结合使用。 (教师可让学生自己寻找这两种方法) 四、线段的性质 1、阅读P41的动脑筋 2、归纳线段的性质: 连续两点的所有连线中,线段最短。 画图说明。 3、两点的距离: 连结两点的线段的长度。 4、线段的中点: 如果B在线段AC上,并且AB=BC,那么B点叫作线段AC的中点。 5、画一条线段,找出它的中点 五、讲解P42的例1和例2 例1已知线段a,作一条线段使它等于2a。 (启发引导学生画出图形,并写出作法) 例2已知线段a,b(a>b),1、作一条线段使它等于a-b。 2、作一条线段使它等于 a+b。 (启发引导学生分析,画出图形,并写出作法) 六、练习及小结 1、P42的练习 补充练习: (1)如图,根据图形填空。 ABCD ┕━━┷━━━━┷━━┛ AD=AB+______+_____, AC=_____+_____,CD=AD—_____。 (2)如图,已知线段AB,量出它的长度并找出它的中点、三等分点、四等分点。 A B ABA B 2、小结本节课内容 七、作业: P43,A组3题 第3课时 课题: 3.2.1角与角的大小比较 教学目标: 1、理解角及角的有关概念,巩固平角及周角的认识。 2、学会比较角的大小,能估计一个角的大小,在操作活动中认识角平分线,能画出一个角的平分线。 3、能用符号语言叙述角的大小关系,解决实际问题,能通过角的测量、折叠等体验数、符号和图形是描述现实世界的重要手段。 教学重点: 角的大小的比较方法 教学难点: 对角的有关概念的理解,比较角的大小的方法。 课前准备: 三角板 教学过程 一、引入: 小明家新买了一台电冰箱,包装箱上标明: 将冰箱向后倾斜可推动冰箱,但倾斜角不能走过30度。 什么叫角? 什么叫角的度数呢? 二、观察P44的图形 1、讲解角的概念: 一条射线绕着它的端点旋转到另一位置时所成的图形叫角。 画图示意 2、角的有关概念 角的顶点、角的始边、角的终边、角的边、角的内部 3、平角、周角 当射线绕端点旋转到与原来的位置在同一直线上但方向相反时,所成的角叫平角。 当射线绕端点旋转一周,又重新回到原来的位置时,所成的角叫周角。 画图示意 4、角的大小由角的始边绕顶点旋转至终边位置时旋转量的大小决定。 5、角的表示方法 ∠BAC ∠A ∠1 等 6、角也可以看成是具有公共端点的两条射线组成的图形。 7、说一说我们生活中的角 三、比较角的大小 1、画出P46的几个图形,说明角的大小的不同情况 2、P47做一做,折出一个角的平分线 以一个角的顶点为端点的一条射线,如果把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。 3、学生画一个角,然后再画出它的平分线 D 四、练习及小结 C 1、练习P46的练习1-3 B 2、补充练习 (1)根据图形填空: O A ①∠DOB=∠DOC+_______②∠DOC=∠DOA-_____=∠DOA-_____ ③∠DOB+∠AOB-∠AOC=______ (2)写出图形中的所有的角。 3、通过本节课的学习,你学到了哪些知识? (学生回答) 五、作业 P50 A组 2题 补充: 从一个顶点A引出五条射线,AB、AC、AD、AE、AP,写出所有的角,并说明最大的角。 第4课时 课题: 3.2.2角的度量 教学目标: 1、会用量角器测量角的大小,理解1度的角的概念,掌握周角、平角、直角的大小及它们之间的关系。 2、理解余角及补角的概念,并掌握求一个角的余角和补角的方法。 3、掌握角的大小的计算。 教学重点: 测量角的大小,角的大小的计算 教学难点: 对余角及补角的概念的理解,角的大小的计算方法。 教学过程: 一、P48的第一个做一做 1、画出P47的图3-26中的各个角,并用量角器测量它们的大小。 2、1度的角的大小的确定 3、角的换算单位: 1°=60′=3600″ 1″=1/60′=1/3600° 4、直角、平角、周角、锐角、钝角的概念 二、P48的第二个做一做 1、测量P48的两个图形的角的大小,并求出它们的和与差。 2、从两个图形的角的大小的计算,可以发现∠1+∠2=180度,∠3+∠4=90度 3、互为余角和互为补角的概念 两角之和等于180度,这样的两个角叫做互为补角。 两角之和等于90度,这样的两个角叫做互为余角。 4、互为余角及互为补角的性质 同角或等角的余角相等;同角的或等角的初角相等。 三、讲解P49的例题 例 如图,已知∠AOB与∠BOD互为余角,OC是∠BOD的角平分线,∠AOB=29.66°,求∠COD的度数。 按P49的例题写出解答 四、巩固 1、练习P49 1-3题 2、小结讲课内容 五、作业 P50的第1题 每3题 第5课时 课题: 3.3.1平行、相交、重合 教学目标: 1.理解平行线的意义,了解同一平面内两条直线的位置关系; 2.理解并掌握平行公理及其直线平行关系的传递性的内容; 3.会根据几何语句画图,会用直尺和三角板画平行线; 教学重点: 平行线的概念与平行公理 教学难点: 对平行公理及直线平行关系的传递性的理解。 教学过程: 一、复习提问 1、经过一点可以画几条直线? 经过两点呢? 经过三点呢? 2、线段AB=CD,CD=EF,那么AB与EF的关系怎样? 二、讲授新内容 1、观察P51的图形 说出这些直线的不同的位置关系? 相交、重合、不相交也不重合(平行) 平面内两条直线的位置关系可能相交,可能重合,也可能不相交也不重合。 归纳得出平面内两条直线的位置关系及平行线的概念。 关键: 有没有公共点 2、平行线概念: 在同一平面内,没有公共点的两条直线叫做平行线。 3、直线AB与CD平行,记作AB∥CD,读作AB平行于CD。 4、用三角板画平行线AB∥CD。 平行线的画法是几何画图的基本技能之一,在以后的学习中,会经常遇到画平行线的问题.方法为: 一“落”(三角板的一边落在已知直线上),二“靠”(用直尺紧靠三角板的另一边),三“移”(沿直尺移动三角板,直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点),四“画”(沿三角板过已知点的边画直线)。 5、P52的注意内容。 6、说一说: 生活中的平行线的实例。 7、
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- 平面 直线 位置 关系 度量