届中考数学全程演练易错提分练四 综合与实践.docx
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届中考数学全程演练易错提分练四综合与实践
易错提分练(四) 综合与实践
一、选择题
1.(杭州模拟)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,D为斜边AB上的一个动点,作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,以EF为直径作一个圆,记圆的周长为l,则下面结论中错误的是(C)
A.若∠A=30°,则l的最小值等于
π
B.若∠A=45°,则l的最小值等于2π
C.若∠A=60°,则l的最小值等于
π
D.若EF∥AB,则l等于2π
【易错分析】 对求l的最小值没有思路:
先证明四边形DFCE是矩形,得出EF=CD,当CD⊥AB时,CD最小,EF最小,再求出BC,AC,CD,即可求出l的最小值.由∠A=30°,AB=4,得BC=2,CD=
,得EF的最小值为
,即l的最小值为
π,A正确;由∠A=45°,得出△ABC是等腰直角三角形,CD=
AB=2,得出EF的最小值为2,即得l的最小值为2π,B正确;C不正确,理由同A;先证明四边形BFED是平行四边形,得出DE=BF,证出EF为△ABC的中位线,得出EF=
AB=2,因此l=2π.D正确.
2.(贵阳中考)如图Y4-1,M是Rt△ABC的斜边BC上异于B,C的定点,过点M作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,这样的直线共有(C)
A.1条B.2条
C.3条D.4条
图Y4-1 第2题答图
【易错分析】 容易出现漏解.
∵截得的三角形与△ABC相似,
∴过点M作AB的垂线,或作AC的垂线,或作BC的垂线,所得三角形满足题意,∴共有三条.
3.(杭州模拟)割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法:
随着圆内接正多边形边数的增加,它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”.刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率.请你也用这个方法求出二次函数y=
(x-4)2的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是(A)
A.5B.225C.4D.17-4π
第3题答图
【易错分析】 没有看出△OCD的面积即为抛物线图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积,
如答图,设抛物线与坐标轴的交点为A,B,则有:
A(4,0),B(0,4);
作直线l∥AB,易求得直线AB为y=-x+4,
设直线l为y=-x+h,当直线l与抛物线只有一个交点(相切)时,有:
-x+h=
(x-4)2,
整理得
x2-x+4-h=0,
b2-4ac=1-4×
(4-h)=0,即h=3;
所以直线l为y=-x+3;
设直线l与坐标轴的交点为C,D,则C(3,0),D(0,3),
因抛物线的图象与两坐标轴所围成的图形面积大于S△OCD小于S△OAB
S△OCD=
×3×3=4.5,S△OAB=
×4×4=8,
故抛物线的图象与两坐标轴所围成的图形面积在4.5~8之间,选项中符合的只有A.
图Y4-2
4.(雅安中考)如图Y4-2,正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,△AEF是等边三角形,连结AC交EF于G,下列结论:
①BE=DF;②∠DAF=15°;③AC垂直平分EF;④BE+DF=EF;⑤S△CEF=2S△ABE.其中正确结论有(C)
A.2个B.3个C.4个D.5个
【易错分析】 不能充分运用问题中的条件,利用正方形的性质,全等三角形的判定及性质,勾股定理,等边三角形的性质,三角形的面积公式对给出的结论进行判定.通过条件可以得出△ABE≌△ADF,而得出∠BAE=∠DAF,BE=DF,①正确;∠BAE=∠DAF,∴∠DAF+∠DAF=30°,即∠DAF=15°,②正确;由正方形的性质就可以得出EC=FC,就可以得出AC垂直平分EF,③正确;设EC=x,则EF=
x,CG=
x,AG=
x,
∴AC=
x,AB=
x,BE=
x,
BE+DF=
x-x≠EF,④错误;2S△ABE=S△CEF=
,⑤正确.
二、填空题
图Y4-3
5.(宁波模拟)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图Y4-3,点A,B,C,D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,点D的坐标为(0,-3),AB为半圆的直径,半圆圆心M(1,0),半径为2,则经过点D的“蛋圆”的切线的解析式为__y=-2x-3__.
【易错分析】 对“蛋圆”组成不理解,不能建立数学模型.
∵AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2,
∴A(-1,0),B(3,0),
∵抛物线过点A,B,
∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),
又∵抛物线过点D(0,-3),
∴-3=a·1·(-3),即a=1,
∴y=x2-2x-3,
∵经过点D的“蛋圆”切线过D(0,-3)点,
∴设它的解析式为y=kx-3,
又∵抛物线y=x2-2x-3与直线y=kx-3相切,
∴x2-2x-3=kx-3,即x2-(2+k)x=0只有一个解,
∴(2+k)2=0,
解得k=-2,
即经过点D的“蛋圆”的切线的解析式为y=-2x-3.
6.(烟台中考)如图Y4-4,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=2.将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置,B,A,C′三点共线,则线段BC扫过的区域面积为__
__.
【易错分析】 不能分析出线段BC扫过的区域面积是什么.S阴影=AB扫过的扇形面积-AC扫过的扇形面积.Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=2,BC=
AB=
×2=1,AC=2×
=
,
∴∠BAB′=150°,S阴影=AB扫过的扇形面积-AC扫过的扇形面积=
-
=
.
7.(杭州模拟)如图Y4-5,在一张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,则线段BF的取值范围为__3≤BF≤4__.
图Y14-5 第7题答图
【易错分析】 不善于利用折叠问题抓住在折叠变化中不变的线段,折叠的实质是轴对称,折叠前后对应线段相等,对应角相等.如答图①,当点H与点A重合时,BF取最小值.
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠B=90°;
由题意,得AF=CF,设AF=CF=λ,则BF=8-λ;
由勾股定理,得λ2=42+(8-λ)2,
解得λ=5,BF=3;
如答图②,当点E与点D重合时,
由翻折变换的性质得∠HEF=∠CEF=45°,HE=CE;
∴∠CEF=∠CFE,
∴CF=CE=4,BF=8-4=4,
综上所述,线段BF的取值范围为3≤BF≤4.
8.如图Y4-6,点E是正方形ABCD内一点,连结AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置,若AE=1,BE=2,CE=3则∠BE′C=__135__度.
图Y4-6 第8题答图
【易错分析】 不能运用旋转把分散的条件集中,利用直角三角形的性质及勾股定理求解.首先根据旋转的性质得出∠EBE′=90°,BE=BE′=2,AE=E′C=1,进而根据勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形,进而得出答案.
9.(泸州中考)如图Y4-7,点P1(x1,y1),点P2(x2,y2),…,点Pn(xn,yn)在函数y=
(x>0)的图象上,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…,△PnAn-1An都是等腰直角三角形,斜边OA1,A1A2,A2A3,…,An-1An都在x轴上(n是大于或等于2的正整数),则点P3的坐标是__(
+
,
-
)__;点Pn的坐标是__(
+
,
-
)__(用含n的式子表示).
图Y4-7
【易错分析】
(1)求不出P1,P2,P3的坐标;
(2)得不出一般规律,得不出点Pn的坐标.
如答图,过点P1作P1E⊥x轴于点E,过点P2作P2F⊥x轴于点F,过点P3作P3G⊥x轴于点G,
∵△P1OA1是等腰直角三角形,
∴P1E=OE=A1E=
OA1,
第9题答图
设点P1的坐标为(a,a),(a>0),
将点P1(a,a)代入y=
,可得a=1,
故点P1的坐标为(1,1),
则OA1=2,
设点P2的坐标为(b+2,b),将点P1(b+2,b)代入y=
,可得b=
-1,
故点P2的坐标为(
+1,
-1),
则A1F+A2F=2
-2,OA2=OA1+A1A2=2
,
设点P3的坐标为(c+2
,c),将点P3代入y=
,可得c=
-
,
故点P3的坐标为(
+
,
-
),
综上可得,P1的坐标为(1,1),P2的坐标为
(
+1,
-1),P3的坐标为(
+
,
-
),
总结规律可得Pn坐标为:
(
+
,
-
).
三、解答题
10.(海宁模拟)某公司生产的某种时令商品每件成本为20元,经过市场调研发现,这种商品在未来40天内的日销售量Q(件)与时间t(天)的关系如下表:
时间t(天)
1
3
6
10
36
…
日销售量Q(件)
94
90
84
76
24
…
未来40天内,前20天每天的价格y1(元/件)与时间t(天)的函数关系式为:
y1=
t+25(1≤t≤20且t为整数);后20天每天的价格y2(元/件)与时间t(天)的函数关系式为:
y2=-
t+40(21≤t≤40且t为整数).
(1)求Q(件)与时间t(天)的函数关系式;
(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大,最大日销售利润是多少?
(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a<4)给希望工程,公司通过销售记录发现,前20天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,求a的取值范围.
【易错分析】 设定价为x元,利润为y元,根据利润=(定价-进价)×销售量,列出函数关系式,结合x的取值范围,求出当y取800时,定价x的值;
(1)不会从表格中获取数据:
从表格可看出每天比前一天少销售2件,所以判断为一次函数关系式;
(2)利润、定价、进价、销量之间的关系不清:
分别表示前20天和后20天的日利润,根据函数性质求最大值后比较得结论;不能分类讨论求函数解析式;
(3)在给定区间如何求最大值是易错点:
列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润,根据函数性质求a的取值范围.
解:
(1)设一次函数为y=kt+b,
将(36,24)和(10,76)代入一次函数y=kt+b中,
有
解得
故所求函数解析式为y=-2t+96;
(2)设销售利润为W,
则W=
配方得W=
当1≤t≤20,t=14时,W最大=578,
当21≤t≤40时,W随x增大而减小,故当t=21时,W最大=513,
综上知,当t=14时,利润最大,最大利润是578元;
(3)由题意,得W=(-2t+96)
(1≤t≤20),
配方得W=-
[t-2(a+7)]2+2(a-17)2(1≤t≤20),
要使日销售利润随时间t增大而增大,则要求对称轴x=2(a+7)≥20,
解得a≥3,
又因为a<4,故3≤a<4.
11.
(1)如图Y4-8①,已知:
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D,E.证明:
DE=BD+CE;
(2)如图②,将
(1)中的条件改为:
在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?
如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)拓展与应用:
如图③,D,E是D,A,E三点所在直线m上的两动点(D,A,E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连结BD,CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.
图Y4-8
【易错分析】
(1)不知道如何证明线段的和差:
根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA,则AE=BD,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE;
(2)没有运用类比思想:
与
(1)的证明方法一样;
(3)等边三角形的判定方法模糊:
与前面的结论得到△ADB≌△CEA,则BD=AE,∠DBA=∠EAC,根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°,则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,则∠DBF=∠FAE,
利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF,所以DF=EF,∠BFD=∠AFE,于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形.
证明:
(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,
∴∠BDA=∠CEA=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°,
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠CAE=∠ABD,又AB=AC,
∴△ADB≌△CEA.
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(2)∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,
∴∠DBA=∠CAE,
∵∠BDA=∠AEC=α,AB=AC
∴△ADB≌△CEA,
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(3)由
(2)知,△ADB≌△CEA,
BD=AE,∠DBA=∠CAE,
∵△ABF和△ACF均为等边三角形,
∴∠ABF=∠CAF=60°,
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,
∴∠DBF=∠FAE,
∵BF=AF,
∴△DBF≌△EAF.
∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,
∴△DEF为等边三角形.
12.如图Y4-9①,等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合,将此三角板绕点A旋转,使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC,DC于点E,F,连结EF.
图Y4-9
(1)猜想BE,EF,DF三条线段之间的数量关系,并证明你的猜想;
(2)在图①中,过点A作AM⊥EF于点M,请直接写出AM和AB的数量关系;
(3)如图②,将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC,E,F分别是BC,CD边上的点,∠EAF=
∠BAD,连结EF,过点A作AM⊥EF于点M.试猜想AM与AB之间的数量关系,并证明你的猜想.
【易错分析】
(1)猜想错误.BE,EF,DF三条线段之间的数量关系EF=BE+DF,延长CB到Q,使BQ=DF,连结AQ,证△ADF≌△ABQ,证△EAQ≌△EAF;
(2)不能利用全等和面积关系进行判定.
根据△EAQ≌△EAF,EF=EQ,
得出
·EQ·AB=
·FE·AM;
(3)不善于运用类比思想:
延长CB到Q,使BQ=DF,连结AQ,证△ADF≌△ABQ,证△EAQ≌△EAF.
解:
(1)猜想:
EF=BE+DF.
证明:
如答图①,在CB延线上长截取BQ=DF,连结AQ.
第12题答图①
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠D=∠ABE=∠ABQ=90°,AD=AB.
又∵BQ=DF,
∴△ADF≌△ABQ.
∴AF=AQ,∠DAF=∠BAQ.
∵∠EAF=45°,∠BAD=90°,
∴∠DAF+∠BAE=45°.
∴∠BAQ+∠BAE=45°,即∠QAE=45°.
∴∠QAE=∠EAF.
又∵AQ=AF,AE=AE,
∴△QAE≌△FAE.
∴QE=EF.
∵QE=BQ+BE=DF+BE,
∴EF=DF+BE;
(2)AM=AB;
(3)猜想:
AM=AB.
证明:
如答图②,在CB延长线上截取BQ=DF,连结AQ.
同
(1)可证△QAE≌△FAE,
∴∠QEA=∠FEA.
又∵AB⊥QE,AM⊥EF,AM=AB.
13.(杭州模拟)已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x(如图Y4-10所示)与x的另一交点为A,现将它向右平移m(m>0)个单位,所得抛物线与x轴交于C,D点,与原抛物线交于点P.
图Y4-10
(1)求点P的坐标(可用含m式子表示);
(2)设△PCD的面积为S,求S关于m关系式;
(3)过点P作x轴的平行线交原抛物线于点E,交平移后的抛物线于点F.请问是否存在m,使以点E,O,A,F为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
【易错分析】
(1)不会运用待定系数法将抛物线表示出顶点式的形式,再进行平移,左加右减,求P点;
(2)不能根据m的范围分类讨论求△PCD的面积为S;(3)不会根据E,O,A,F为顶点的四边形是平行四边形,表示出E点的坐标.
解:
(1)原抛物线为y=-2x2+4x=-2(x-1)2+2,
则平移后的抛物线为y=-2(x-1-m)2+2,
∴有
,
解得
∴点P的坐标为
;
(2)抛物线y=-2x2+4x=-2x(x-2),
∴抛物线与x轴的交点为O(0,0),A(2,0),
∴AO=2,
∵C,D两点是抛物线y=-2x2+4x向右平移m(m>0)个单位所得抛物线与x轴的交点,
∴CD=OA=2,
①当0<m<2,即点P在第一象限时,如答图①,作PH⊥x轴于H.
∵P的坐标为
,
∴PH=
,
∴S△PCD=
CD·
=-
m2+2;
②当m=2,即点P在x轴时,△PCD不存在;
③当m>2,即点P在第四象限时,如答图②,作PH⊥x轴于H.
第13题答图① 第13题答图②
∵P的坐标为
,
∴PH=
=
,
∴S△PCD=
CD·HP=
×2×
=
m2-2;
∴S△PCD=
第13题答图③
(3)如答图③,若以E,O,A,F为顶点的四边形是平行四边形,则EF=OA=2,
由轴对称可知PE=PF,
∴PE=
OA=1,
∵P
,
∴点E的坐标为
,
把点E代入抛物线解析式得
-2×
+4×
=
,
解得m=1.
∴存在m使以点E,O,A,F为顶点的四边形是平行四边形,且m=1.
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